第02讲 等差数列的概念及其通项公式（高效培优讲义）高二数学北师大版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中数学等差数列核心内容，系统梳理从概念（定义三要素：从第2项起、差为同一个常数）到等差中项，再到通项公式（累加法推导基本式与推广式），延伸至单调性、性质及应用的完整知识脉络，搭建从定义理解到公式推导再到实际应用的学习支架。 资料以数学抽象（精准把握定义本质）、逻辑推理（累加法推导通项）、数学运算（基本量“知三求一”）为核心素养导向，设易错辨析（如区分“前几项差为常数”与等差数列）、即学即练（多选题判断递增等差数列）及题型分类（如已知两项求通项），课中助力教师突破重难点，课后学生可通过解析与练习查漏补缺，强化知识应用。

第2讲 等差数列的概念及其通项公式 教学目标 1.数学抽象：理解等差数列“从第2项起、每一项与前一项差为常数”的本质特征，能准确区分等差数列与非等差数列，把握等差数列的定义内涵. 2.逻辑推理：能从等差数列的定义出发，推导通项公式的两种形式（基本式、推广式），理解“累加法”推导通项的核心思路，能通过定义或通项公式判定数列是否为等差数列. 3.数学运算：熟练掌握通项公式的直接应用（已知、、求；已知、、求；已知、、求），能利用等差中项性质进行简单运算，会求解“已知两项求通项”“已知通项求项数”等基础题型. 4.直观想象：结合等差数列的函数本质（一次函数或常函数），理解其图像的孤立点特征，能通过图像分析等差数列的单调性与公差符号的关系. 5.应用意识：能将实际问题转化为等差数列模型，利用通项公式解决简单的实际应用问题（如等差数列的增长、递减类问题），培养数学建模能力. 教学重难点 （一）核心重点 1.等差数列的定义理解与判定方法（定义法、等差中项法）. 2.等差数列通项公式的推导过程与灵活应用. 3.等差中项的概念与性质应用. （二）高频难点 1.等差数列定义中“从第2项起”“任意”“同一个常数”三个关键条件的精准把握. 2.通项公式推导思路的理解（累加法的应用逻辑）. 3.已知等差数列中两项求通项公式的解题思路构建. 4.等差数列实际应用问题中，首项、公差、项数的准确识别与转化. 知识点01 等差数列的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 2.定义的符号表示：（，为常数）. 3.特殊说明：当时，数列为常数列（如2,2,2,…），常数列是特殊的等差数列. 易错辨析： 易错点1：忽略“从第2项起”的条件，误将“前几项差为常数”判定为等差数列，如数列1,3,5,8，前3项差为2，但第4项与第3项差为3，不是等差数列. 易错点2：忽略“同一个常数”的条件，如数列1,3,6,10，差分别为2,3,4，不是同一个常数，不是等差数列. 易错点3：符号表示中遗漏“”，忽略对所有正整数成立的要求，仅验证前几项满足差为常数不可靠. 重点记忆内容： 等差数列定义的三个核心关键词：从第2项起、每一项与前一项的差、同一个常数，三者缺一不可. 定义的双重作用：①判定一个数列是否为等差数列；②推导通项公式的依据. 常考结论： 若数列是等差数列，则对任意正整数，数列是常数列（值为）. 若数列满足（，为常数），则是等差数列，首项为，公差为. 【即学即练】 1．【多选题】（2025高二·全国·专题练习）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 2.【多选题】下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 知识点02 等差中项 1.定义：如果三个数，，成等差数列，那么叫做与的等差中项. 2.核心公式：（即）. 3.延伸性质：在等差数列中，任意连续三项，，都满足，即中间项是前后两项的等差中项. 易错辨析： 易错点1：混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间项都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提，如1,2,4中，2不是1与4的等差中项（）. 易错点2：利用等差中项判定数列时，仅验证部分连续三项满足，未验证对所有成立，导致判定错误. 重点记忆内容： 等差中项的核心等价关系：，即是与的算术平均数. 等差中项的两大作用：①快速判断三个数是否成等差数列；②判定一个数列是否为等差数列的辅助方法（任意连续三项满足等差中项关系）. 常考结论： 若数列是等差数列，则对任意正整数、、、，若，则（当为偶数时），本质是等差中项性质的延伸. 若是与的等差中项，则、、构成等差数列，这是构造等差数列的常用方法. 【即学即练】 1．（2025·四川绵阳·一模）与4的等差中项为 . 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 知识点03 等差数列的通项公式 1.基本形式：（），其中为数列首项，为公差，为项数，为第项. 2.推导过程（累加法）：由等差数列定义，，，…，（），将以上个式子左右两边分别相加，得，整理得. 3.推广形式：（、），即等差数列中任意两项的关系，可由基本通项公式推导（，，两式相减得）. 易错辨析： 易错点1：通项公式记忆错误，误写为或，导致计算偏差. 易错点2：使用推广形式时，混淆与的位置，误写为. 易错点3：已知两项求通项时，未先求公差，直接代入基本形式导致错误，正确思路应先由两项求出，再求通项. 易错点4：忽略项数的取值范围（），代入非正整数计算，导致无意义. 重点记忆内容： 通项公式的核心逻辑：将等差数列的“等差”特征转化为“线性表达式”，是关于的一次函数（时）或常函数（时）. 通项公式的四个核心量：（首项）、（公差）、（项数）、（第项），已知其中三个量可求第四个量（“知三求一”）. 推广形式的优势：无需知道首项，仅已知任意两项即可求通项或其他项，简化计算. 常考结论： 若数列的通项公式为（、为常数），则是等差数列，且公差，首项；反之，若是等差数列，则其通项公式必为的形式（线性函数形式）. 在等差数列中，若，（），则. 在等差数列中，若，（），则公差. 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中，，求. 2.（23-24高二下·全国·课前预习）在等差数列中，若，则 . 知识点04 等差数列的单调性与最值 1.单调性判定：由通项公式，结合一次函数性质判定： 当时，是关于的增函数，数列为严格递增等差数列； 当时，是关于的减函数，数列为严格递减等差数列； 当时，（常数），数列为常数列，不增不减. 2.最值求解（针对有穷等差数列）： 递增等差数列（）：最小值为第1项，最大值为末项； 递减等差数列（）：最大值为第1项，最小值为末项； 常数列（）：所有项相等，任意项都是最值. 易错辨析： 易错点1：混淆等差数列的单调性与一次函数的单调性，忽略的限制，误将一次函数的定义域当作全体实数，导致对最值的理解偏差（如无穷递增等差数列无最大值）. 易错点2：求解有穷等差数列最值时，遗漏末项的作用，仅根据首项和公差判断，忽略项数限制（如递减有穷等差数列的最小值是末项，不是无最小值）. 易错点3：认为常数列没有最值，实际常数列所有项都是最值. 重点记忆内容： 等差数列单调性的核心决定因素：公差的符号，与首项无关. 无穷等差数列的最值特征：递增无穷等差数列有最小值，无最大值；递减无穷等差数列有最大值，无最小值；常数列任意项为最值. 有穷等差数列最值的快速判断方法：先看公差符号确定增减性，再结合首项和末项确定最值. 常考结论： 若等差数列满足且（），则第项是数列的最大值； 若等差数列满足且（），则第项是数列的最小值； 若等差数列的通项公式为（），则当时，数列递增，前项中最小；当时，数列递减，前项中最大. 【即学即练】 1．（25-26高二下·全国·课前预习）等差数列的单调性 对于，可将记作，它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线上的一些 ，这些点的横坐标是正整数，其中 是该直线的斜率. 当时，数列为 ；当时，数列为 ；当时，数列为 . 2．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点05 等差数列的简单性质 1.项的对称性：在等差数列中，对任意正整数、、、，若，则；特别地，当时，（即是与的等差中项）. 2.公差的计算性质：在等差数列中，公差（），可由通项公式变形推导. 3.子数列性质：若是等差数列，则从第项起，取间隔相等的项构成的新数列仍是等差数列，如、、、…（为常数），新数列的公差为. 易错辨析： 易错点1：应用项的对称性时，忽略“”的前提，误将任意两项之和相等，如等差数列1,3,5,7中，，（满足），但（不满足）. 易错点2：计算公差时，混淆分子分母的顺序，误写为，导致符号错误. 易错点3：判断子数列性质时，认为间隔相等的子数列公差与原数列相同，忽略间隔的影响（实际公差为）. 重点记忆内容： 项的对称性是等差数列最核心的性质之一，常用于快速计算两项之和或证明相关等式，简化运算. 公差的两个计算公式的适用场景：已知首项和第项用；已知任意两项用，无需首项即可计算. 子数列性质的关键：间隔相等的子数列仍为等差数列，公差为原公差的倍（为间隔数），这是解决“等差数列分段问题”的核心依据. 常考结论： 在等差数列中，若、、，且，则. 若和都是等差数列，且公差分别为和，则数列（、为常数）仍是等差数列，公差为. 【即学即练】 1．（23-24高二下·全国·课前预习）由等差数列构造新等差数列 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列. 2.（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 题型01 累加法求数列的通项公式 【典例1】（25-26高二上·吉林延边·月考）已知数列满足，，则 . 【变式1】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．求数列的通项公式． 【变式3】（24-25高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 适用条件：递推公式为（，），且数列的前项和可直接计算（如为一次函数、等差数列、可拆分的分式、指数函数等）. 核心方法技巧： 1.列递推式：按递推关系写出从到（）的所有递推式，即，，…，. 2.累加消项：将上述个式子左右两边分别相加，左边利用“错位相消”化简为，右边为. 3.求和整理：计算右边的和式（根据的类型选择对应求和方法，如一次函数用等差数列求和公式，分式用裂项相消法），整理得. 4.验证首项：将代入整理后的表达式，若与一致，则合并为一个通项；若不一致，则分段表示（为一段，为一段）. 常见考法与技巧： 当（一次函数）时，右边和式用等差数列求和公式：. 当（分式拆分）时，裂项为，累加后消去中间项，和式为. 易错辨析： 易错点1：累加时漏数或多数项，牢记递推式的个数为项（从到）. 易错点2：忽略首项验证，直接将的表达式当作通用通项，导致首项错误. 题型02 等差数列的判断 【典例1】（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ 【变式2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 核心判断方法：共3种常用方法，优先选择定义法，其次为等差中项法或通项公式法. 1.定义法（最核心，适用于所有递推型题目）： 步骤：①计算（或，）；②判断结果是否为与无关的常数；③若恒为常数，则是等差数列，公差为；否则不是. 符号表示：若（，为常数），则为等差数列. 2.等差中项法（适用于已知数列前几项或连续三项关系的题目）： 步骤：①验证对任意，是否满足；②若恒成立，则是等差数列；否则不是. 拓展：若三个数满足，则成等差数列. 3.通项公式法（适用于已知或可推导通项公式的题目）： 步骤：①求出数列的通项公式；②判断是否为关于的一次函数（即，为常数）；③若是，则是等差数列，公差为；否则不是. 常见考法与技巧： 若递推式为，需先判断是否为常数，若为常数则直接用定义法判定. 判断含参数列是否为等差数列时，需令为常数，求解参数的值. 易错辨析： 易错点1：仅验证前3项满足，就判定为等差数列，忽略“对任意成立”的要求. 易错点2：将（二次函数）误判为等差数列，牢记等差数列通项必为一次函数或常函数（）. 题型03 用定义求等差数列的通项公式 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且．求的通项公式． 【变式1】（25-26高三上·北京·月考）已知数列满足，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【变式2】（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【变式3】（25-26高三上·天津东丽·月考）已知数列满足，求 ． 适用条件：已知数列是等差数列（或已判定为等差数列），需通过定义推导或求解通项公式. 核心方法技巧： 1.基础型（已知首项和公差）： 直接代入等差数列通项公式基本式：（）. 关键：准确识别和，明确两者的几何与代数意义. 2.进阶型（已知等差数列任意两项和，）： 步骤：①先求公差：利用定义推导的推广式；②代入基本式求通项：选择其中一项，代入（为目标通项，注意区分下标）. 常见考法与技巧： 若已知等差数列的前几项，先通过相邻项之差求公差，再确定首项，最后写通项. 当公差时，数列为常数列，通项公式为. 易错辨析： 易错点1：混淆公差公式的分子分母，误写为，导致公差符号错误. 易错点2：通项公式记忆偏差，误写为或，需牢记“”的由来（累加个公差）. 题型04 等差数列基本量的求解 【典例1】（25-26高二上·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·月考）若数列为等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 核心思路：等差数列的核心基本量为“首项”和“公差”，所有量均可由这两个量表示，解题核心是“知三求一”（已知通项公式中4个量中的3个，求第4个）. 方法技巧与步骤： 1.明确已知量与未知量：先梳理题目中给出的条件，确定涉及的量（），明确需求解的未知量. 2.选择对应公式：根据已知条件，选择通项公式基本式或推广式. 3.列方程（组）求解：将已知量代入公式，建立关于未知量的一元一次方程（或方程组），求解即可. 常见考法分类： 1.已知，求：直接代入基本式计算. 2.已知，求：变形公式为，注意必须为正整数，若结果不是正整数，则说明该数不是数列中的项. 3.已知（），求和：列方程组，两式相减先求，再代入求. 技巧补充：当题目中涉及多个项的和或差时，可利用“整体代换”简化计算，将多项和转化为含和的最简表达式，无需单独求和. 易错辨析： 易错点1：计算时忘记加1，如由变形为，遗漏“”导致项数错误. 易错点2：已知两项求和时，方程组列写错误，混淆项的下标与公差的倍数关系. 题型05 等差中项及其应用 【典例1】（24-25高一下·上海·月考）1945和1949的等差中项为 ． 【变式1】（23-24高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【变式2】（25-26高三上·福建三明·月考）已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 核心知识点：若三个数成等差数列，则是与的等差中项，且满足（等价于）；在等差数列中，任意连续三项满足（即中间项是前后两项的等差中项）. 方法技巧与常见应用： 1.应用1：判断三个数是否成等差数列 步骤：①计算中间数的2倍；②判断是否等于另外两个数的和；③若相等，则成等差数列；否则不成. 2.应用2：求等差中项或未知项 若已知和，直接用求等差中项；若已知等差中项和其中一个数，用求另一个数. 在等差数列中，已知和，用求中间项. 3.应用3：简化计算（核心技巧） 在等差数列中，若下标满足（），则（即是与的等差中项），可快速计算两项之和. 易错辨析： 易错点1：混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间数都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提. 易错点2：应用拓展性质时，忽略下标和为2倍关系的前提，误将任意两项之和等于某一项的2倍. 题型06 等差数列下标性质 【典例1】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【变式1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在等差数列中，已知，则 . 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 【变式3】（25-26高三上·天津·期中）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 核心性质：在等差数列中，对任意正整数，若，则；特别地，当时，，此时（即等差中项性质）. 方法技巧与应用场景： 1.场景1：快速计算两项之和（已知某一项的值） 步骤：①观察下标，判断是否满足或；②利用性质将两项之和转化为已知项的倍数或已知项之和，简化计算. 2.场景2：求解含多个项的等式问题 步骤：①根据下标关系，利用性质将等式中的多项合并或转化；②结合等差数列的其他性质（如通项公式、公差性质）求解未知量. 常见考法与技巧： 当题目中出现多个项的和，且下标和相等时，优先利用下标性质合并计算，避免逐一求解通项后再求和，提升解题效率. 若下标和不相等，可通过调整项的组合，构造下标和相等的形式，再应用性质. 易错辨析： 易错点1：忽略下标必须为正整数的前提，构造的下标关系超出正整数范围，导致性质应用无效. 易错点2：混淆“下标和相等”与“项数相等”，误将项数相同的两项之和当作相等关系. 题型07 由递推关系证明等差数列 【典例1】25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【变式1】（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，其中．求证：数列是等差数列． 核心思路：证明的关键是紧扣等差数列的定义，即证明对任意，为常数；或证明对任意，（等差中项性质）. 方法技巧与步骤： 1.定义法证明（最常用，适用于递推式为与关系的题目）： 步骤：①由已知递推式变形，推导的表达式；②化简表达式，判断是否为与无关的常数；③明确首项，得出数列是首项为、公差为该常数的等差数列. 常见变形技巧：若递推式含分式或根式，需先通分、化简或平方（保证等价变形），再分离出. 2.等差中项法证明（适用于递推式含三项关系的题目）： 步骤：①由已知递推式变形，整理出的表达式；②判断是否等于；③验证时恒成立，结合前两项确定首项和公差，得出结论. 常见考法与技巧： 若递推式中含参数，需先根据“差为常数”的条件求解参数，再证明等差数列. 证明时需明确的取值范围（如或），确保证明的严谨性. 易错辨析： 易错点1：证明时仅推导为常数，未证明对任意，均为该常数，导致证明不严谨. 易错点2：递推式变形过程中出现不等价变形（如随意平方含根式的式子，未考虑定义域），导致推导结果错误. 题型08 等差数列的单调性与最值 【典例1】（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 核心思路：等差数列的单调性由公差的符号决定，最值需结合单调性与数列的有穷/无穷性判断；也可利用通项公式的函数性质（一次函数）分析. 方法技巧与步骤： 1.单调性判断： 方法1：利用公差符号判断（最直接）：①若，则数列严格递增；②若，则数列严格递减；③若，则数列为常数列（不增不减）. 方法2：利用函数性质判断：等差数列通项公式是关于的一次函数（），①当时，函数单调递增，数列单调递增；②当时，函数单调递减，数列单调递减. 2.最值求解： 无穷等差数列：①递增数列（）：有最小值，无最大值；②递减数列（）：有最大值，无最小值；③常数列：所有项均为最值. 有穷等差数列：①递增数列：最小值为，最大值为末项；②递减数列：最大值为，最小值为末项；③非单调数列（特殊含参数数列）：通过解不等式组（求最大值）或（求最小值）确定最值项的项数，再代入通项求最值. 常见考法与技巧： 求有穷等差数列最值时，若已知项数范围，可直接结合单调性确定首尾项为最值；若含参数，需先判断公差符号，再分析最值位置. 利用不等式组求最值时，需注意为正整数，若解得为小数，需取其左右相邻的正整数，代入通项比较大小确定最值. 易错辨析： 易错点1：混淆无穷与有穷等差数列的最值特征，认为无穷递增数列有最大值或无穷递减数列有最小值. 易错点2：利用函数性质分析时，忽略的限制，将一次函数的定义域当作全体实数，导致最值判断错误. 易错点3：求解含参数的等差数列最值时，未先讨论公差符号，直接套用最值公式，导致结果偏差. 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C．8 D．10 4．（25-26高二上·河南开封·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 7．（24-25高二下·上海宝山·期末）等差数列中，2和8的等差中项为 . 8．（25-26高二上·安徽·月考）在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 9．（25-26高二上·广东揭阳·月考）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则 ． 10．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列中，，，前n项和为，若，则 . 11．（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 12．（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 三、解答题 13．（2025高二·全国·专题练习）数列中，，，，求数列的通项公式． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式． 15．（25-26高三上·北京·月考）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 16．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 17．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 18．（25-26高二上·天津·月考）（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 等差数列的概念及其通项公式 教学目标 1.数学抽象：理解等差数列“从第2项起、每一项与前一项差为常数”的本质特征，能准确区分等差数列与非等差数列，把握等差数列的定义内涵. 2.逻辑推理：能从等差数列的定义出发，推导通项公式的两种形式（基本式、推广式），理解“累加法”推导通项的核心思路，能通过定义或通项公式判定数列是否为等差数列. 3.数学运算：熟练掌握通项公式的直接应用（已知、、求；已知、、求；已知、、求），能利用等差中项性质进行简单运算，会求解“已知两项求通项”“已知通项求项数”等基础题型. 4.直观想象：结合等差数列的函数本质（一次函数或常函数），理解其图像的孤立点特征，能通过图像分析等差数列的单调性与公差符号的关系. 5.应用意识：能将实际问题转化为等差数列模型，利用通项公式解决简单的实际应用问题（如等差数列的增长、递减类问题），培养数学建模能力. 教学重难点 （一）核心重点 1.等差数列的定义理解与判定方法（定义法、等差中项法）. 2.等差数列通项公式的推导过程与灵活应用. 3.等差中项的概念与性质应用. （二）高频难点 1.等差数列定义中“从第2项起”“任意”“同一个常数”三个关键条件的精准把握. 2.通项公式推导思路的理解（累加法的应用逻辑）. 3.已知等差数列中两项求通项公式的解题思路构建. 4.等差数列实际应用问题中，首项、公差、项数的准确识别与转化. 知识点01 等差数列的概念 1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示（）. 2.定义的符号表示：（，为常数）. 3.特殊说明：当时，数列为常数列（如2,2,2,…），常数列是特殊的等差数列. 易错辨析： 易错点1：忽略“从第2项起”的条件，误将“前几项差为常数”判定为等差数列，如数列1,3,5,8，前3项差为2，但第4项与第3项差为3，不是等差数列. 易错点2：忽略“同一个常数”的条件，如数列1,3,6,10，差分别为2,3,4，不是同一个常数，不是等差数列. 易错点3：符号表示中遗漏“”，忽略对所有正整数成立的要求，仅验证前几项满足差为常数不可靠. 重点记忆内容： 等差数列定义的三个核心关键词：从第2项起、每一项与前一项的差、同一个常数，三者缺一不可. 定义的双重作用：①判定一个数列是否为等差数列；②推导通项公式的依据. 常考结论： 若数列是等差数列，则对任意正整数，数列是常数列（值为）. 若数列满足（，为常数），则是等差数列，首项为，公差为. 【即学即练】 1．【多选题】（2025高二·全国·专题练习）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【分析】根据等差数列的概念及单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 2.【多选题】下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 知识点02 等差中项 1.定义：如果三个数，，成等差数列，那么叫做与的等差中项. 2.核心公式：（即）. 3.延伸性质：在等差数列中，任意连续三项，，都满足，即中间项是前后两项的等差中项. 易错辨析： 易错点1：混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间项都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提，如1,2,4中，2不是1与4的等差中项（）. 易错点2：利用等差中项判定数列时，仅验证部分连续三项满足，未验证对所有成立，导致判定错误. 重点记忆内容： 等差中项的核心等价关系：，即是与的算术平均数. 等差中项的两大作用：①快速判断三个数是否成等差数列；②判定一个数列是否为等差数列的辅助方法（任意连续三项满足等差中项关系）. 常考结论： 若数列是等差数列，则对任意正整数、、、，若，则（当为偶数时），本质是等差中项性质的延伸. 若是与的等差中项，则、、构成等差数列，这是构造等差数列的常用方法. 【即学即练】 1．（2025·四川绵阳·一模）与4的等差中项为 . 【答案】1 【分析】应用等差中项的性质求解. 【详解】若与4的等差中项为，则. 故答案为：1 2．（24-25高二上·全国·课前预习）已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【分析】运用等差中项概念及性质可解. 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 知识点03 等差数列的通项公式 1.基本形式：（），其中为数列首项，为公差，为项数，为第项. 2.推导过程（累加法）：由等差数列定义，，，…，（），将以上个式子左右两边分别相加，得，整理得. 3.推广形式：（、），即等差数列中任意两项的关系，可由基本通项公式推导（，，两式相减得）. 易错辨析： 易错点1：通项公式记忆错误，误写为或，导致计算偏差. 易错点2：使用推广形式时，混淆与的位置，误写为. 易错点3：已知两项求通项时，未先求公差，直接代入基本形式导致错误，正确思路应先由两项求出，再求通项. 易错点4：忽略项数的取值范围（），代入非正整数计算，导致无意义. 重点记忆内容： 通项公式的核心逻辑：将等差数列的“等差”特征转化为“线性表达式”，是关于的一次函数（时）或常函数（时）. 通项公式的四个核心量：（首项）、（公差）、（项数）、（第项），已知其中三个量可求第四个量（“知三求一”）. 推广形式的优势：无需知道首项，仅已知任意两项即可求通项或其他项，简化计算. 常考结论： 若数列的通项公式为（、为常数），则是等差数列，且公差，首项；反之，若是等差数列，则其通项公式必为的形式（线性函数形式）. 在等差数列中，若，（），则. 在等差数列中，若，（），则公差. 【即学即练】 1．（24-25高二上·全国·课前预习）在等差数列中，，求. 【答案】10 【分析】方法一：由等差数列的通项公式展开即可；方法二：由等差数列的性质计算即可. 【详解】方法一 ：设数列的公差为. 则 ，所以. 方法二：因为， 所以. 2.（23-24高二下·全国·课前预习）在等差数列中，若，则 . 【答案】 【分析】运用等差数列公差公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意得. 故答案为： 知识点04 等差数列的单调性与最值 1.单调性判定：由通项公式，结合一次函数性质判定： 当时，是关于的增函数，数列为严格递增等差数列； 当时，是关于的减函数，数列为严格递减等差数列； 当时，（常数），数列为常数列，不增不减. 2.最值求解（针对有穷等差数列）： 递增等差数列（）：最小值为第1项，最大值为末项； 递减等差数列（）：最大值为第1项，最小值为末项； 常数列（）：所有项相等，任意项都是最值. 易错辨析： 易错点1：混淆等差数列的单调性与一次函数的单调性，忽略的限制，误将一次函数的定义域当作全体实数，导致对最值的理解偏差（如无穷递增等差数列无最大值）. 易错点2：求解有穷等差数列最值时，遗漏末项的作用，仅根据首项和公差判断，忽略项数限制（如递减有穷等差数列的最小值是末项，不是无最小值）. 易错点3：认为常数列没有最值，实际常数列所有项都是最值. 重点记忆内容： 等差数列单调性的核心决定因素：公差的符号，与首项无关. 无穷等差数列的最值特征：递增无穷等差数列有最小值，无最大值；递减无穷等差数列有最大值，无最小值；常数列任意项为最值. 有穷等差数列最值的快速判断方法：先看公差符号确定增减性，再结合首项和末项确定最值. 常考结论： 若等差数列满足且（），则第项是数列的最大值； 若等差数列满足且（），则第项是数列的最小值； 若等差数列的通项公式为（），则当时，数列递增，前项中最小；当时，数列递减，前项中最大. 【即学即练】 1．（25-26高二下·全国·课前预习）等差数列的单调性 对于，可将记作，它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线上的一些 ，这些点的横坐标是正整数，其中 是该直线的斜率. 当时，数列为 ；当时，数列为 ；当时，数列为 . 【答案】 等间隔的点 公差d 递增数列 递减数列 常数列 2．（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的通项性质可判断是等差数列，根据等差数列的单调性即可逐一判断. 【详解】由,知，故数列是等差数列，且公差为． 由等差数列的单调性可得，若，则公差，所以数列是递增数列，故A，B一定成立； 若，则，所以数列是递增数列，所以，故C一定成立；当时，不成立，故D不一定成立． 故选：ABC． 知识点05 等差数列的简单性质 1.项的对称性：在等差数列中，对任意正整数、、、，若，则；特别地，当时，（即是与的等差中项）. 2.公差的计算性质：在等差数列中，公差（），可由通项公式变形推导. 3.子数列性质：若是等差数列，则从第项起，取间隔相等的项构成的新数列仍是等差数列，如、、、…（为常数），新数列的公差为. 易错辨析： 易错点1：应用项的对称性时，忽略“”的前提，误将任意两项之和相等，如等差数列1,3,5,7中，，（满足），但（不满足）. 易错点2：计算公差时，混淆分子分母的顺序，误写为，导致符号错误. 易错点3：判断子数列性质时，认为间隔相等的子数列公差与原数列相同，忽略间隔的影响（实际公差为）. 重点记忆内容： 项的对称性是等差数列最核心的性质之一，常用于快速计算两项之和或证明相关等式，简化运算. 公差的两个计算公式的适用场景：已知首项和第项用；已知任意两项用，无需首项即可计算. 子数列性质的关键：间隔相等的子数列仍为等差数列，公差为原公差的倍（为间隔数），这是解决“等差数列分段问题”的核心依据. 常考结论： 在等差数列中，若、、，且，则. 若和都是等差数列，且公差分别为和，则数列（、为常数）仍是等差数列，公差为. 【即学即练】 1．（23-24高二下·全国·课前预习）由等差数列构造新等差数列 （1）若分别是公差为的等差数列，则有 数列 结论 公差为 的等差数列为任一常数） 公差为 的等差数列（为任一常数） 公差为 的等差数列为常数， 公差为 的等差数列为常数） （2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列. 【答案】 等差 2.（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知等差数列，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项性质化简求解即可得答案. 【详解】已知等差数列，所以 则，所以 故. 故答案为：. 题型01 累加法求数列的通项公式 【典例1】（25-26高二上·吉林延边·月考）已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】利用累加法求解. 【详解】，，，，， ， ， ，. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由题意得到递推关系，再时，利用累加法结合等差数列的前项和公式求出即可. 【详解】由题意可知， ，，， ， 数列的一个递推关系为，， 当时，利用累加法可得， ， 将代入得， 满足， 所以数列的通项公式为，． 【变式3】（24-25高三上·重庆·期中）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 ． 【答案】91 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及累加法即可求解． 【详解】设该二阶等差数列为，则，，，， 由二阶等差数列的定义可知，，，，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即， 所以，，，，， 将所有上式累加可得， 所以． 故答案为：91． 适用条件：递推公式为（，），且数列的前项和可直接计算（如为一次函数、等差数列、可拆分的分式、指数函数等）. 核心方法技巧： 1.列递推式：按递推关系写出从到（）的所有递推式，即，，…，. 2.累加消项：将上述个式子左右两边分别相加，左边利用“错位相消”化简为，右边为. 3.求和整理：计算右边的和式（根据的类型选择对应求和方法，如一次函数用等差数列求和公式，分式用裂项相消法），整理得. 4.验证首项：将代入整理后的表达式，若与一致，则合并为一个通项；若不一致，则分段表示（为一段，为一段）. 常见考法与技巧： 当（一次函数）时，右边和式用等差数列求和公式：. 当（分式拆分）时，裂项为，累加后消去中间项，和式为. 易错辨析： 易错点1：累加时漏数或多数项，牢记递推式的个数为项（从到）. 易错点2：忽略首项验证，直接将的表达式当作通用通项，导致首项错误. 题型02 等差数列的判断 【典例1】（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可判断A选项；利用递推公式求出的值，可判断B选项；利用递推公式结合可判断C选项；利用等差数列的定义求出的通项公式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，即，C对； 对于D选项，由题意可知，数列为等差数列，首项为，公差为， 所以，D错. 故选：C. 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列，是等差数列，公差分别为，，则数列，是不是等差数列？如果是，公差是多少？ 【答案】是等差数列，公差为；是等差数列，公差为 【分析】根据等差数列的定义进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由， 即是公差为的等差数列； 由 ， 即是公差为的等差数列. 【变式2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】B 【分析】由已知递推关系得数列是等差数列，然后求出公差，再由通项公式可得． 【详解】因为，所以， 所以数列是等差数列． 因为，，所以，故， 所以． 故选：B 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意利用等差数列的定义和与的递推关系求解即可. 【详解】正项等差数列中，，则， 则，即，数列是等差数列，充分性成立； 设等差数列的公差为，，则， 则有， 当时，，即从第二项起，数列为等差数列，公差为，要使得为等差数列，则还需满足， 即，解得，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 核心判断方法：共3种常用方法，优先选择定义法，其次为等差中项法或通项公式法. 1.定义法（最核心，适用于所有递推型题目）： 步骤：①计算（或，）；②判断结果是否为与无关的常数；③若恒为常数，则是等差数列，公差为；否则不是. 符号表示：若（，为常数），则为等差数列. 2.等差中项法（适用于已知数列前几项或连续三项关系的题目）： 步骤：①验证对任意，是否满足；②若恒成立，则是等差数列；否则不是. 拓展：若三个数满足，则成等差数列. 3.通项公式法（适用于已知或可推导通项公式的题目）： 步骤：①求出数列的通项公式；②判断是否为关于的一次函数（即，为常数）；③若是，则是等差数列，公差为；否则不是. 常见考法与技巧： 若递推式为，需先判断是否为常数，若为常数则直接用定义法判定. 判断含参数列是否为等差数列时，需令为常数，求解参数的值. 易错辨析： 易错点1：仅验证前3项满足，就判定为等差数列，忽略“对任意成立”的要求. 易错点2：将（二次函数）误判为等差数列，牢记等差数列通项必为一次函数或常函数（）. 题型03 用定义求等差数列的通项公式 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且．求的通项公式． 【答案】 【分析】利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出. 【详解】， 当时，，，，，， 当时，，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立， . 【变式1】（25-26高三上·北京·月考）已知数列满足，则（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】取后可得是以为首项，以为公差的等差数列，从而可求，结合得后可求. 【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以. 故选：B 【变式2】（25-26高二上·安徽·月考）已知数列满足，且，则（   ） A．60 B．62 C．64 D．66 【答案】A 【分析】根据递推关系得到，再求出，结合等差数列的通项公式求出即可. 【详解】因为，所以， 两式作差得， 故数列中的偶数项构成的新数列是以为首项，为公差的等差数列， 又，，得， 故为偶数时，故. 故选：A 【变式3】（25-26高三上·天津东丽·月考）已知数列满足，求 ． 【答案】30 【分析】根据条件，整理变形，结合等差数列的定义，可得为等差数列，代入公式，求出，即可得答案. 【详解】因为， 所以，又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：30 适用条件：已知数列是等差数列（或已判定为等差数列），需通过定义推导或求解通项公式. 核心方法技巧： 1.基础型（已知首项和公差）： 直接代入等差数列通项公式基本式：（）. 关键：准确识别和，明确两者的几何与代数意义. 2.进阶型（已知等差数列任意两项和，）： 步骤：①先求公差：利用定义推导的推广式；②代入基本式求通项：选择其中一项，代入（为目标通项，注意区分下标）. 常见考法与技巧： 若已知等差数列的前几项，先通过相邻项之差求公差，再确定首项，最后写通项. 当公差时，数列为常数列，通项公式为. 易错辨析： 易错点1：混淆公差公式的分子分母，误写为，导致公差符号错误. 易错点2：通项公式记忆偏差，误写为或，需牢记“”的由来（累加个公差）. 题型04 等差数列基本量的求解 【典例1】（25-26高二上·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【分析】设公差为d，根据条件，联立求得，代入公式，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·月考）若数列为等差数列，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式求出，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】等差数列中，由，，得该数列公差， 因此，所以. 故选：C 【变式2】（2025高三上·福建厦门·专题练习）在等差数列中， ，则的公差为（ ） A．-3 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 所以. 故选：B 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·月考）已知数列是等差数列，且，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的性质先求出及，再根据即可求出 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的性质可知， 由可得，所以公差， 所以数列的通项公式. 故答案为： 核心思路：等差数列的核心基本量为“首项”和“公差”，所有量均可由这两个量表示，解题核心是“知三求一”（已知通项公式中4个量中的3个，求第4个）. 方法技巧与步骤： 1.明确已知量与未知量：先梳理题目中给出的条件，确定涉及的量（），明确需求解的未知量. 2.选择对应公式：根据已知条件，选择通项公式基本式或推广式. 3.列方程（组）求解：将已知量代入公式，建立关于未知量的一元一次方程（或方程组），求解即可. 常见考法分类： 1.已知，求：直接代入基本式计算. 2.已知，求：变形公式为，注意必须为正整数，若结果不是正整数，则说明该数不是数列中的项. 3.已知（），求和：列方程组，两式相减先求，再代入求. 技巧补充：当题目中涉及多个项的和或差时，可利用“整体代换”简化计算，将多项和转化为含和的最简表达式，无需单独求和. 易错辨析： 易错点1：计算时忘记加1，如由变形为，遗漏“”导致项数错误. 易错点2：已知两项求和时，方程组列写错误，混淆项的下标与公差的倍数关系. 题型05 等差中项及其应用 【典例1】（24-25高一下·上海·月考）1945和1949的等差中项为 ． 【答案】 【分析】根据等差中项的定义求解. 【详解】若成等差数列，则叫做与的等差中项，公式为， 代入数据 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·辽宁·月考）在等差数列中，，则的值为（   ） A．15 B．20 C．30 D．40 【答案】D 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 【变式2】（25-26高三上·福建三明·月考）已知等差数列满足，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质可得，再由即可求. 【详解】由， 若的公差为，则. 故选：B 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列，，也为等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意利用等差中项化简，可得关于的方程，分别取求即可. 【详解】因为数列，，为等差数列， 所以，即， 所以， 化简可得， 当时，，解得； 当时，，此时无解； 当时，，解得，不合题意； 综上，. 故答案为： 核心知识点：若三个数成等差数列，则是与的等差中项，且满足（等价于）；在等差数列中，任意连续三项满足（即中间项是前后两项的等差中项）. 方法技巧与常见应用： 1.应用1：判断三个数是否成等差数列 步骤：①计算中间数的2倍；②判断是否等于另外两个数的和；③若相等，则成等差数列；否则不成. 2.应用2：求等差中项或未知项 若已知和，直接用求等差中项；若已知等差中项和其中一个数，用求另一个数. 在等差数列中，已知和，用求中间项. 3.应用3：简化计算（核心技巧） 在等差数列中，若下标满足（），则（即是与的等差中项），可快速计算两项之和. 易错辨析： 易错点1：混淆“等差中项”与“中间项”，认为任意三个数的中间数都是等差中项，忽略“成等差数列”的前提. 易错点2：应用拓展性质时，忽略下标和为2倍关系的前提，误将任意两项之和等于某一项的2倍. 题型06 等差数列下标性质 【典例1】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列性质可得，利用累乘法运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）在等差数列中，已知，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）设数列，是项数相同的等差数列，若，，，则数列的第100项为（   ） A．1 B．0 C．100 D．10 000 【答案】C 【分析】设数列，的公差分别为，根据等差数列的通项公式列式求解即可. 【详解】因为数列，是项数相同的等差数列，设公差分别为， 则， 所以数列是公差为的等差数列， 又，，，所以， 所以数列是常数列， 所以数列的第100项， 故选：C 【变式3】（25-26高三上·天津·期中）等差数列中各项都为正数，，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先由数列各项都为正数，得，再由等差数列中任意两项的关系及基本不等式可得. 【详解】因等差数列中，，设公差为，则，， 因各项都为正数，所以，， 得，当，所以. . 当且仅当，符合各项为正数. 故选：D. 核心性质：在等差数列中，对任意正整数，若，则；特别地，当时，，此时（即等差中项性质）. 方法技巧与应用场景： 1.场景1：快速计算两项之和（已知某一项的值） 步骤：①观察下标，判断是否满足或；②利用性质将两项之和转化为已知项的倍数或已知项之和，简化计算. 2.场景2：求解含多个项的等式问题 步骤：①根据下标关系，利用性质将等式中的多项合并或转化；②结合等差数列的其他性质（如通项公式、公差性质）求解未知量. 常见考法与技巧： 当题目中出现多个项的和，且下标和相等时，优先利用下标性质合并计算，避免逐一求解通项后再求和，提升解题效率. 若下标和不相等，可通过调整项的组合，构造下标和相等的形式，再应用性质. 易错辨析： 易错点1：忽略下标必须为正整数的前提，构造的下标关系超出正整数范围，导致性质应用无效. 易错点2：混淆“下标和相等”与“项数相等”，误将项数相同的两项之和当作相等关系. 题型07 由递推关系证明等差数列 【典例1】25-26高二上·广东清远·月考）已知数列中，. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）根据数列的递推公式，利用赋值法，可求. （2）利用等差数列的定义，证明数列是等差数列，再求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， （2）因为，所以， 即， 又因为， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列. 所以， 所以. 【变式1】（2025·云南昭通·模拟预测）在正项数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【详解】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，其中．求证：数列是等差数列． 【答案】证明见解析 【详解】数列中，，，，由于，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列． 核心思路：证明的关键是紧扣等差数列的定义，即证明对任意，为常数；或证明对任意，（等差中项性质）. 方法技巧与步骤： 1.定义法证明（最常用，适用于递推式为与关系的题目）： 步骤：①由已知递推式变形，推导的表达式；②化简表达式，判断是否为与无关的常数；③明确首项，得出数列是首项为、公差为该常数的等差数列. 常见变形技巧：若递推式含分式或根式，需先通分、化简或平方（保证等价变形），再分离出. 2.等差中项法证明（适用于递推式含三项关系的题目）： 步骤：①由已知递推式变形，整理出的表达式；②判断是否等于；③验证时恒成立，结合前两项确定首项和公差，得出结论. 常见考法与技巧： 若递推式中含参数，需先根据“差为常数”的条件求解参数，再证明等差数列. 证明时需明确的取值范围（如或），确保证明的严谨性. 易错辨析： 易错点1：证明时仅推导为常数，未证明对任意，均为该常数，导致证明不严谨. 易错点2：递推式变形过程中出现不等价变形（如随意平方含根式的式子，未考虑定义域），导致推导结果错误. 题型08 等差数列的单调性与最值 【典例1】（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·福建宁德·月考）已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1)证明见解析 (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）解：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 核心思路：等差数列的单调性由公差的符号决定，最值需结合单调性与数列的有穷/无穷性判断；也可利用通项公式的函数性质（一次函数）分析. 方法技巧与步骤： 1.单调性判断： 方法1：利用公差符号判断（最直接）：①若，则数列严格递增；②若，则数列严格递减；③若，则数列为常数列（不增不减）. 方法2：利用函数性质判断：等差数列通项公式是关于的一次函数（），①当时，函数单调递增，数列单调递增；②当时，函数单调递减，数列单调递减. 2.最值求解： 无穷等差数列：①递增数列（）：有最小值，无最大值；②递减数列（）：有最大值，无最小值；③常数列：所有项均为最值. 有穷等差数列：①递增数列：最小值为，最大值为末项；②递减数列：最大值为，最小值为末项；③非单调数列（特殊含参数数列）：通过解不等式组（求最大值）或（求最小值）确定最值项的项数，再代入通项求最值. 常见考法与技巧： 求有穷等差数列最值时，若已知项数范围，可直接结合单调性确定首尾项为最值；若含参数，需先判断公差符号，再分析最值位置. 利用不等式组求最值时，需注意为正整数，若解得为小数，需取其左右相邻的正整数，代入通项比较大小确定最值. 易错辨析： 易错点1：混淆无穷与有穷等差数列的最值特征，认为无穷递增数列有最大值或无穷递减数列有最小值. 易错点2：利用函数性质分析时，忽略的限制，将一次函数的定义域当作全体实数，导致最值判断错误. 易错点3：求解含参数的等差数列最值时，未先讨论公差符号，直接套用最值公式，导致结果偏差. 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则是数列的第（ ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由等差数列的基本量法求出，再由题意求出后可得. 【详解】由题意可得， 因为在中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列， 所以，新数列的公差， 所以， 所以. 故选：B. 2．（2025·四川·模拟预测）已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列下标和的性质及诱导公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：. 3．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式列方程，求出公差，再根据通项公式即可求得答案. 【详解】在等差数列中，记公差为，由于， 则，即， 所以. 故选：B 4．（25-26高二上·河南开封·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式代入即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 可得， 所以. 故选：B 5．（25-26高二上·江苏·期末）设是等差数列，且，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是等差数列，根据条件及公式，求出，代入公式，即可得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 则. 故选：B. 二、填空题 6．（25-26高二上·安徽池州·月考）在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为 ． 【答案】14 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 7．（24-25高二下·上海宝山·期末）等差数列中，2和8的等差中项为 . 【答案】5 【分析】由等差中项的性质即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：5. 8．（25-26高二上·安徽·月考）在数列中，，若数列是公差为3的等差数列，则 ． 【答案】23 【分析】根据题意结合等差数列定义可得，再结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为数列是公差为3的等差数列， 则，即， 可知，，，是首项为2，公差为3的等差数列，在这个数列中，是第8项， 所以． 故答案为：23. 9．（25-26高二上·广东揭阳·月考）在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则 ． 【答案】 【分析】设，根据是等差数列，分别求出和，根据即可求解. 【详解】设，数列是等差数列， 则，， ，得. 故答案为：. 10．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列中，，，前n项和为，若，则 . 【答案】 【分析】运用数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的通项公式，求解即可． 【详解】由题知，，前n项和为， 因为，且， 所以，所以， 可得数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，即有， 则， 满足， 所以. 故答案为： 11．（25-26高二上·河北·月考）在等差数列中，，，则公差的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式得到不等式组，解出即可. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得，即公差的取值范围是． 故答案为：. 12．（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 【答案】4 【分析】先将递推数列进行变形化简，然后利用累加法求出结果. 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 三、解答题 13．（2025高二·全国·专题练习）数列中，，，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】解法一：利用等差数列的定义和通项公式进行求解即可； 解法二：利用等差数列的定义、待定系数法进行求解即可. 【详解】解法一： 因为， 所以，，，…，，…为等差数列，且公差为， ，，，…，，…为等差数列，且公差为， 当时：， 当时：， 综上所述，． 解法二： 因为， 所以，，，…，，…为等差数列，且公差为， ，，，…，，…为等差数列，且公差为， 令， 由于，即 故， 再将和代入得：，故， 即． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，．证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式． 【答案】证明见解析， 【详解】数列满足，，整理得（常数），所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故，整理得． 15．（25-26高三上·北京·月考）已知正项数列的前项和为，且； (1)求和的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）依次将代入递推式即可求解； （2）由结合整箱数列递推式计算分析即可求解； （3）由（2）结合裂项公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得，即， 所以即， 又数列为正项数列，所以， 所以， 所以由得； （2）因为，所以由（1）当时，， 当时， ， 整理化简得，又， 所以即， 所以数列是以为公差，1为首项的等差数列， 所以. （3）由（2）得， 所以. 16．（25-26高二上·天津蓟州·月考）已知数列满足：，. (1)数列是否为等差数列？请说明理由； (2)求； (3)判断是不是数列中的项，若是数列中的项是第几项，若不是说明理由. 【答案】(1)数列是等差数列，理由见解析. (2) (3)是数列中的项，是第5项，理由见解析. 【分析】（1）将原等式进行变形，根据等差数列的定义判断即可. （2）根据（1）中的数列是等差数列先求出其通项公式，进而可求得结果. （3）若是数列中的项，则是数列中的项，然后代入数列的通项公式中求出即可. 【详解】（1）数列是等差数列，理由： 因为数列满足：，，所以. 所以，所以数列是等差数列. （2）由（1）知数列是等差数列，首项为，公差为3， 所以，所以. 所以. （3）若是数列中的项，则是数列中的项， 令，则，解得. 所以是数列中的第5项. 17．（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为 ， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 18．（25-26高二上·天津·月考）（1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2）； 【分析】（1）利用与的关系求解；（2）在等差数列中，利用性质由的值得到的值，的等式与解方程组，求出，求出公差，利用公式求出. 【详解】（1），当时，； 当时，，也满足； 故数列的通项公式. （2）是公差为正的等差数列，公差， ，， ，联立，解得，， ， 故数列的通项公式. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $