1.1.1 数列的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

§1 数 列 1.1 数列的概念 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第一章 数 列 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第一章 数 列 课程标准 素养解读 1.了解数列通项公式的概念． 2．能根据通项公式确定数列的某一项． 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 1.通过数列基本概念的学习培养数学抽象的核心素养． 2．通过数列通项公式的概念培养逻辑推理的核心素养. [情境引入] 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念　 1．数列的有关概念 数列 按　一定次序　排列的一列数叫作数列 项 数列中的　每一个数　叫作这个数列的项 首项 数列的　第1项　常称为首项 通项 数列中的　第n项an　叫数列的通项 2．数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，a3，…，an，…； (2)字母表示：上面数列也可记为　{an}　. 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的 个数 有穷数列 项数有限的数列　 1,2,3,4，…，n 无穷数列 项数无限的数列　 1,4,9，…，n2，… 1. (1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与集合{1,2,3,4,5}有什么区别？ [提示]　(1)　因为an＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8. (2)相同之处是：数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列可以用图形表示．(　　) (4)数列的通项公式不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列各项表示数列的是(　　) A．　△，　○，　☆，　□ B．2 020，　2 021，　2 022, 2 023 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a＋b，　a－b，　ab，　λ a 解析：B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．] 3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　) A．第9项　　　　　　 B．第10项 C．第11项 D．第12项 解析：C　[由n2＋1＝122，得n2＝121，所以n＝11.] 4．数列2,4,6,8，…的通项公式为　________　. 解析：由2＝2×1,4＝2×2,6＝2×3,8＝2×4，得该数列的通项公式为an＝2n. 答案：an＝2n 数列的概念及分类 [例1]　(1)下列说法错误的是(　　) A．数列4, 7, 3, 4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列1,2,3，…就是数列{n} D．数列中的项不能是三角形 (2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由． ①8,8,8,8； ②－3，－1, 1，x , 5,7，y,11； ③当n取1, 2, 3, 4，…时，(－1)n的值排成的一列数． [解析]　（1）根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． [答案]　B 解：（1）①能构成数列，且构成的是有穷数列． ②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的． ③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，…. 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列． [变式训练] 1．(1)(多选)下面四个结论正确的是(　　) A．数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数 C．数列{2n＋1}的第6项是13 D．数列的项数是无限的 解析：BC　[对A，因为数列的项是有顺序的，所以两个数列是不同的数列，A错误；对B，由数列和函数的关系可知B正确；对C，由数列的表示可知C正确；对D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，所以D错误．] (2)下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①{1,3,5,7,9}；②4,3,2,1,0； ③1,2,3,4，…；④2,2,2,2,2. 解：①是集合，不是数列；②③④是数列；②④是有穷数列，③是无穷数列． 由数列的前几项写通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…； (2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)eq \f(1,2)，2，eq \f(9,2)，8，eq \f(25,2)…. [思路点拨]　①求数列的通项公式时，应考虑将个别项或各项进行适当的变形．②数列的通项公式不唯一． [解]　(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为eq \f(1,2)，eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，…，与序号n的关系是eq \f(n,n＋1)，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n(n∈N＋)． (3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1(n∈N＋)． (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即eq \f(1,2)，eq \f(4,2)，eq \f(9,2)，eq \f(16,2)，eq \f(25,2)，…，所以它的一个通项公式是an＝eq \f(n2,2)(n∈N＋)． 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [变式训练] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1,11,111,1 111，…. 解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N＋)． (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N＋)． (3)原数列的各项可变为eq \f(1,9)×9，eq \f(1,9)×99，eq \f(1,9)×999，eq \f(1,9)×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq \f(1,9)(10n－1)(n∈N＋)． 数列通项公式的应用 [例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断． [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq \f(7,3)(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq \f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq \f(2,3)(舍去)，所以20是该数列的第10项． 1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件． [变式训练] 3．数列{an}的通项公式是an＝eq \f(n2－21n,2)(n∈N＋)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 解：(1)若0是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝0， 因为(n∈N＋)，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则eq \f(n2－21n,2)＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，则eq \f(m2－21m,2)＝eq \f(m＋12－21m＋1,2)， 解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． [当堂达标] 1．下列有关数列的说法正确的是(　　) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 解析：D　[①错误，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②错误，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确．] 2．已知数列－1，eq \f(1,4)，－eq \f(1,9)，…，(－1)n·eq \f(1,n2)，…，则它的第6项的值为(　　) A.eq \f(1,6) B．－eq \f(1,6) C．－eq \f(1,36) D.eq \f(1,36) 解析：D　[ 由题设，数列的通项公式为(－1)n·eq \f(1,n2)，∴当n＝6时，该项为(－1)6×eq \f(1,62)＝eq \f(1,36).] 3．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝　______　，eq \f(a2,a3)＝　________　. 解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n, eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5). 答案：3－4n　eq \f(1,5) 4．已知数列{n(n＋2)}． (1)写出这个数列的第8项和第20项； (2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝82＋2×8＝80，a20＝202＋2×20＝440. (2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17或n＝－19(舍去)． 所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项． $