空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 考点目录 空间角的向量求法 空间距离的向量求法 考点一 空间角的向量求法 例1.(25-26高二上·北京西城期末)如图，在边长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E是棱AB上的点，平面 CAE交棱BC于点F D B D A E B (1)证明：EF∥AC; 2)若直线AB与平面℃4E所成角的正弦值为？，求线段A柜的长度 【答案】（①）证明见解析 (2)1 【详解】(1)证明：由正方体性质可知AC/1AC,因为AC￠平面GAE,A,C,c平面GAE, 所以AC11平面CAE, 因为ACc平面ABCD,平面ABCD∩平面C,A,E=EF, 所以AC IIEF. (2)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE的长为a, 则A(2,0,2),C(0,2,2),B（2,2,2),E(2,a,0) 4B=(0,2,0,4C=(-2,2,0),AE=(0,a,-2; n·AC=-2x+2y=0 设平面C4E的一个法向量为i=(x,y,z),则 i:4E=ay-2z=01 令，可得（》： 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 4B- 22 设直线4B与平面℃4E所成角为0，则sin6= 422+ ,a23, 4 解得a=1,即线段AE的长度为1. z小 D A B D E B 例2.(25-26高二上·浙江温州期末)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，ABC为等腰直角三角形， AC=BC=- 4=1<C4-号，平面Bc1平面4C0 A B B (1)证明：AC⊥平面ABC; (2)求平面ABG与平面ABC所成角的余弦值. 【答案】()证明见解析 2②7 7 【详解】1)在aC4中，4C=4=l∠C4 3 由余弦定理可得AC2=AC2+4A2-2A4ACc0s∠CAA,=4+1-2×2x1×)=3, 所以AC2+4C:=3+1=4=44,所以∠4C4=分，所以4C上AC, 又因为平面ABC⊥平面AACC, 平面ABC∩平面AA,CC=AC,ACc平面AACC, 所以AC⊥平面ABC; (2)因为ABC为等腰直角三角形，且AC=BC,所以AC⊥BC, 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 因为AC⊥平面ABC,AC,BCc平面ABC,所以AC⊥AC,A,C⊥BC, 以C为坐标原点，CA,CB,CA,所在直线为x少z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1,0,0,B,(-1,15,C-1,05),所以CB=(01,0,CA=(2,0,-5), 设平面AB,G的一个法向量为m=(x,y,z, [mC=2x-52=0,令x=5,则y=0z=2, m.CB=y=0 所以平面ABC的一个法向量为m=(5,0,2, 又因为A,C⊥AC,AC⊥BC,AC∩BC=C,A,C,BCc平面ABC, 所以AC⊥平面ABC,所以CA=(1,0,0)为平面ABC的一个法向量， 设平面AB,CG与平面ABC所成的角为O, m.CA 5 所以cos0=cosm,CA= 5√2I m:CA3+0+4×1V7 7 所以平面8G与平面ABC所成角的余弦值为 7 例3.(25-26高二上·河北唐山期末)如图，ABC和△BCD所在的平面垂直，且 AC=2,BC=CD=a,∠ACB=∠BCD=120°. (1)当AD1BC时，求a的值： (2)当a=2时，求点B到平面ACD的距离； (3)求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值. 3 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 【答案】(1)a=2 (2)2v5 5 3) 5 【详解】(I)如图，在平面BCD内，过点C作CE⊥BC交BD于点E;在平面ABC内，过点C作CF⊥BC交AB于 点F. 因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,CE⊥BC,CEC平面BCD,所以CE⊥平面ABC. 以C为坐标原点，分别以CF,CB,CE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， B 则c0a4a.-1oa00-号9 由4D1BC可待D-c=（+-a)=0,解待a=2 (2)设平面ACD的法向量为m=（xyz) 当a=2时，CA=（V5,-1,0,CD=(0,-1,5,BC=(0,-2,0), m.CA=0,∫V3x-y=0, 则 ’即 取m=1,3 m.CD=0,-y+3z=0, 所以点B到平面ACD的距离d= Bcm-2W5215 m 5 5 (3)由(2)可知平面ACD的一个法向量为m=1,V3,1,与的值无关 平面BCD的一个法向量为i=(1,0,0). cos(m,训= mi15 m拉55 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 所以平面ACD和平面BCD的夹角的余弦值为 5 例4.(25-26高三上·贵州贵阳·期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD为等腰梯 形，且AD/BC,AB=BC=2,AD=PB=4,连接BD. A D (I)证明：平面PAB⊥平面PBD; (2)求平面PBD与平面PCD所成锐角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 2257 19 【详解】(I)如图所示，取AD的中点E,连接BE,CE, .A D 所以BC/AE,BC=AE=2,则四边形ABCE是平行四边形，故AB//CE, 同理，四边形BCDE是平行四边形. 又因为DC=2,DE=2,所以四边形BCDE是菱形，故CE⊥BD, 所以AB⊥BD, 又因为PB⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以AB⊥PB. 又因为PBC平面PBD,BDC平面PBD,PBBD=B, 所以AB⊥平面PBD· 又因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBD. (2)如图所示，分别以BA,BD,BP的方向为x,y,2轴的正方向建立空间直角坐标系B-z, 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 则有B0,0,0),C-1,V3,0,D0,2V3,0,P(0,0,4), 所以CP=(1,-5,4,CD=1,5,0), 设平面CPD的法向量为万=(x,y,zo), 则有 Gi-8+4名P,放取2B2 CPi=x+V3y。=0 由(1)可知平面PBD的法向量为BA=(2,0,0), 因为cosBA,n= BA.i-4V5257 B:2×√1919， 所以平面P8D与平面PCD所成锐角的余弦值为257 19 变式1.(25-26高二上湖北十堰期末)如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E,F分别是AD,BC中点， 点G在棱CC上，且CG=3C,G. D A (I)求证：GF⊥平面EBF: (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值. 【答案】（①）证明见解析 o号 【详解】(1)法一：在正方形BCC,B中， 由条件可知amLC,FG-CC-,及=an∠BBF,所以∠CFG=∠BBP, CF 2 BB 所以∠BFB+∠BBF-号∠CFG+∠BFB,故∠BFG=x-(∠CFG+∠RFB)=, 即FG⊥BF, 在正方体中，易知DC⊥平面BCC,B,又E,F分别是AD,BC,中点，所以EFIID C, 所以EF⊥平面BCC,B,又FGc平面BCCB,.EF⊥FG, 6 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 :EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF,.GF⊥平面BEF; 法二：如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则B4,4,0),E2,0,4),F(2,4,4,G(0,4,3), 所以EF=(0,4,0),EB=(2,4,-4),FG=(-2,0,-1, 设m=a,b,c是平面BEF的一个法向量， 则 mEF=4b=0 令a=2,则b=0,c=1,所以m=2,0,1, m.EB=2a+4b-4c=0 所以FG=-m,则FG也是平面BEF的一个法向量，GF⊥平面BEF; (2)同上法二建立的空间直角坐标系，所以EG=(-2,4,-1),BG=(-4,0,3), 由(1)知FG是平面BEF的一个法向量， n.EG=-2x+4y-z=0 设平面BEG的一个法向量为i=(x,y,z,所以 i.BG=-4x+3z=0 令x=6,则z=8,y=5,即i=6,5,8), 设平面BEF与平面BEG的夹角为O, FG· 则cosa=cosFG,列= 20 _4 FG同V5×1255 即平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为 4 变式2.(25-26高三上·四川自贡·期末)如图，在四棱锥E-ABCD中，AB,AD,AE两两垂直，BC∥AD, AB:BC AD =3:2:6,AB+AE=6. > 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 A B E (I)证明：平面ACE⊥平面ABCD (2)设AB=1,三棱锥A-BDE的体积为V() (i)求V()的单调区间； (ⅱ)当V()取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 ②)（1)单调递塔区间为0，④，单调递减区间为(46，(i)25 65 【详解】(1) D B E 因为AB,AD,AE两两垂直，且AB AD=A,AB,ADC平面ABCD, 所以AE⊥平面ABCD, 又因为AEC平面ACE,所以平面ACE⊥平面ABCD. (2) D 41 6 E (i)因为AB=t,AB+AE=6,所以0<t<6 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 因为AB:AD=3:6,所以AD=2t,AE=6-t. 由AE⊥平面ABCD,得V(O=VADE='E-ABD= 4E4840-6-0 2 3 则y0)=21-3r)=4-, 当0<t<4时，V'(t)>0,当4<t<6时，V'()<0, 所以V()的单调递增区间为(0,4)，单调递减区间为(4,6 (i)由(i),r0=r4,北时4B=4,A0=8,4E=2,8C- 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA B E 则E(2,0,0), aa40.aas.c4} 则D=04,0正=20-8，D=0-49） 设平面CDE的法向量为i=(x,y,z) DE=2x-8z=0,iCD=-4y+ 62=0, 令z=3,得n=(12,4,3) 设直线BD与平面CDE所成的角为O, 则sin0=cos(BD,)= 1BD·1825 |BD‖i4V5x1365 变式3.(25-26高三上·安徽阜阳期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB/ICD,AB⊥AD,AB=AD=2CD=4,PA=PD,平面PAD⊥平面ABCD A.----->B D 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 (I)若PB=2√6，求四棱锥P-ABCD的体积： (2)若直线AD与PC所成的角为60°，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值， 【答案】(1)8 (2②)4114 57 【详解】(1)取AD的中点0，连接PO,BO 由于PA=PD,故PO⊥AD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 所以P0⊥平面ABCD,则PO⊥OB, 因为AB=AD=4,底面ABCD是直角梯形，得OB=2√5， 又PB=26,所以P0=2. 故四棱锥P-A8CD的体积为}5，anP0=x2+到x4 ×2=8. 32 (2)取BC的中点E,连接OE,则OE/AB,OE⊥AD,由(1)知，P0⊥平面ABCD, 以0为原点OD,OE,OP所在直线分别为x,y,z轴建系，如图，则 A-2,0,0),D(2,0,0),B-2,4,0),C2,2,0), 设P(0,0,a),则AD=(4,0,0),PC=(2,2,-a, 因为直线AD与PC所成的角为60， 所以ow6w-os0.o-k 得a=2√2， PA=-2,0,-2V2,PB=（-2,4,-2V2,PC=(2,2,-2V2) 设平面PBC的法向量为i=（x,y,z), nPB=0,即 -2x+4y-2V2z=0, y=2x, 则 得 3 i.P元=0,2x+2y-2W2z=0, z=- 10空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 考点目录 空间角的向量求法 空间距离的向量求法 考点一 空间角的向量求法 例1.(25-26高二上北京西城期末)如图，在边长为2的正方 ABCD-AB,CD中，E是棱MB上的点，平面 CAE 于点 B 交棱 D A B E B (I)证明：EF∥AC: (②)若直线4B与平面C4E所成角的正弦值为3，求线段4E的长度， 例2.(25-26高二-上新江温州期末)如图，在三校柱1BC-4BC中，△18C为等腰直角三角形， 4C=BC=,M-1∠CA=胥，平面ABC1平面ACC 2 A B 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 平面ABC, AC (1)证明： (2)求平面 BC与平面4BC 所成角的余弦值 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 例3.(25-26高二上河北唐山期末)如图，△ABC和△BCD所在的平面垂直，且 AC=2,BC=CD=a,∠ACB=∠BCD=120° D (I)当AD L BC时，求a的值： (2)当a=2时，求点B到平面ACD的距离： (3)求平面ACD和平面BCD夹角的余弦值. 例4.(25-26高三上贵州贵阳·期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD为等腰 梯形，且AD/IBC,AB=BC=2,AD=PB=4,连接BD. P 及 D (I)证明：平面PAB⊥平面PBD; (2)求平面PBD与平面PCD所成锐角的余弦值. 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 变式1，(25-26高二上湖北十堰期未)如图，正方体1BCD-4BCD的棱长为4，E,F分别是4D,8G中 点，点G在棱CG上，且 CG=3CG (I)求证：GF⊥平面EBF: (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值. 变式2.(25-26高三上·四川自贡·期末)如图，在四棱锥E-ABCD中，AB,AD,AE两两垂直，BC∥AD, AB:BC:AD=3:2:6,HAB+AE=6. D A (I)证明：平面ACE⊥平面ABCD. 2设MB=t,三棱锥4-BDE V(t) 的体积为 (i)求V(t)的单调区间： V(t) (i)当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 变式3.(25-26高三上·安徽阜阳·期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AB/1CD,AB1AD,AB=AD=2CD=4,PA=PD,平面PMD1平面 ABCD D (若PB=2V6 求四棱锥P-ABCD的体积： (2)若直线AD与PC所成的角为60，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 变式4.(25-26高二上·湖南长沙期末)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，4BLAC,4C=4,AB=M=4 E,F分别是BC,AB 的中点， A C B R A B AACC )证明：直线F/平面 2)求平面MBC与平面EFC EFC夹角的余弦值. 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 6 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 考点二 空间距离的向量求法 例1.(25-26高三上·天津和平·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面 ABCD,PA=AD=2,E,F分别为CD,PB的中点. A B (I)求证：EFII平面PAD: (2)求平面PAD与平面AEF的夹角的余弦值： (3)求点P到平面AEF的距离. 例2.(25-26高三上·天津河东·期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB/1CD,AB⊥AD, PC⊥底面ABCD,AB=AD=CP=2CD=2,E、F分别为AP、DP的中点. B (1)证明DE/1平面PBC: (2)求EF与平面BCE所成角的正弦值： (3)求点P到平面BCE的距离. > 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 例3.(25-26高二上新疆昌吉·期末)如图，长方体 BCD-A8CD中，4B=4D=MM=4,点P为DD的中 点 D C A B ! D B AC上平面 DD. (1)求证： (2)求点D到平面PAC的距离. 例4.(20-21高二上·山东·月考)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯 ADUBC:AB LBC:AB-AD-2BC-2,ABWEF AB=EF:AFB B -- D (I)证明：CD⊥BF: 4v2 CM (2)在线段CE上是否存在点M,使得点M到平面BDF的距离为3？若存在，求出CE的值：若不存在，说明 理由. 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 变式1.（25-26高二上·北京海淀·期末)如图所示，在三棱柱 BC-ABC中，D是4C申点，4D 平面ABC BBD 平面 与棱4C交于点E,M=1C=2,4B=BC. A 方 B BB //DE (1)求证： ； 2V21 (2)已知点C与平面AABB的距离为7，求AB的长度. 变式2.(25-26高三上湖南长沙~月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC, DM=tDP PA=AD=4 AB=2 BC=2 M B- (I)试问t为何值时，CM/平面PAB?并予以证明. (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值； 9 空间向量与立体几何：空间角的向量求法、空间距离的向量求法专项训练 4V5 BO (i)在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为5？若存在，求出BD的值：若不存在，请说 明理由. 10