空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 动点存在性问题 例L(25-26高二上贵州贵阳期末)如图，在四面体BCD中，平面4BD平面BCD'1B=D∠B8CD=” 2, BC=CD=2,E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，AF=元AD (1)是否存在点F,使得AE/CF？若存在，求出实数入的值，若不存在，请说明理由： 2 313 (2)若三棱锥A-BCD的体积为3，且二面角A-BC-F的平面角的余弦值为13，求入的值. 【答案】(I)不存在，证明见解析 e 【详解】(I)取BD的中点O,连接AO,因为AB=AD所以AO⊥BD, 因为平面ABD⊥平面BCD,交线为BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD. 因为BC=CD=2,∠BCD= 2,所以BD=2√2，C01BD,C0=√2： 如图所示，以O为原点，OB,OC,OA所在直线分别为x,八，2轴建立空间直角坐标系， 则00.0,0，B2,00,D-20,0.C0,2,0 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 设A00,,则4正- AD=-V2,0,-h, 由1F=入1D可知征=元D, 则F=-5.0-,则F=20,1-2刃， 所以cF=5,2,1-刘， 若E/CF,则存在“使得正=uCF (99小-w55-. -a五 2 所以 2©-4W2 ,解得 -h=uh(1-2) 02-2九=1h=0 h=0时点4(00,0在平面BCD上，与题干矛盾，故点F不存在. 2)由)知5aw-icc=2, 21 则三棱锥A-BCD的体积33S.m1O, 所以号号2d.得40-1，则400.F=-201-小 Ba=-V2,01BC=-2,2,0）,CF=-N2,V2,1-, 设平面1BC的一个法向量为”=(，2)， BA.n=0 「-√2x+名=0 则BC元=0，即-V2x+V2y=0: 令=1，得%=山名=2，故=1,12 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 设平面BCF的一个法向量为乃=(5，为，2)， BC·m,=0 -2x32+V2%2=0 则CF店=0即2x,-2,+1-)=0 令5，=1，f 1- 3W13 设二面角4-BC-F的平面角的夹角为9，则os9= 13, 2(2+1) 1+1+ 所以cos0= 1-2 313 √2（元+1 13, 2.2+ 1-元 化简整理得入2 2 g,即= 又4F=无4D所以2 31 B 例2.(2026重庆模拟预测D已知边长为的等边△BC,E=D=20<入<1小，将△ADE沿DE折益，形成四 棱锥P-BCED,二面角P-DE-C大小为a,点M为BC中点. D M D (I)求P-BCED体积的最大值； (2)若= 3 3 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 (G①入=2时，求p-BCED外接球的表面积： (ii)CH⊥平面PBD,垂足为H,MH长度是否为定值？如果为定值，求MH的长：如果不为定值，请说明理由 5 【答案】(1)36 (2②Mh为定值，Mh=) 2 【详解】(1)连接AM,交DE于点O,连接OP,作PT⊥AM,垂足为T,连接PM, D A:AE=AD=(0<元<IAB=AC=BC=1∴DElBC DE=元 .SADE= nπ5 2 34 34 aww=5-及w-91-2利 .DE//BC'AC -入，40 AM :M为BC中点，△ABC是边长为1的等边三角形，∴AM⊥BC, .AM 3 AM⊥BC,DEIBC,AM⊥DE, 即DE⊥OP,DE⊥OM,又OPOOM=O,OP,OMc平面POM, ·DE⊥平面POM,又PTc平面POM,∴PT⊥DE, :DE∩AM=O,DE,AMC平面BCED,,PT⊥平面BCED, .PTOP-sin POT 若四棱锥p-BCED体积最大，则∠POT= 2 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 比利火mm0n-导1-刘91-I-利。 8 令刘-日4-90<<.则训-1--2=+令 令f川=0，解得：1=5 ， 90:当2停 f'(2)<0: )在3上单调递增，在31 上单调递减， fm=f3) 36,即四棱锥P-CED体积最大值为， (2)由(1)得：O为DE中点，.AO⊥DE,即OP⊥DE,又OM⊥DE, :∠POM即为=面角p-DE-C的平面角，∠POM-, 则以0为坐标原点， 0E,01正方向为V轴正方向，过O作2轴上平面46C,可建立如图所示空间直角坐标系， M. 当-.a可go.ao.行-号.99o小.ro9 设三棱锥P-BCD的外接球球心为xy2),半径为R,则B=1C=D=P=R, 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 +z2=R2 +z2=R2 x=0 ,解得： y=- 4 1 Z=- 12 37 ∴. 51 144 10,-412 时E-6.4诏代，明点E在三楼重p-c0的外球上 ∴.三棱锥P-BCD的外接球即为四棱锥P-BCED的外接球， ,四棱锥p-BCED外接球的表面积S=4R2=37 361 (i)由题意知： .AP- 5).c- :A,D,B三点共线，.平面PBD即为平面PAB, CH=CA+AH= 兽学小 22m,22-41 CH⊥平面PBD, 丽而：m 91入=0 7 ，解得： 4 8 16 16 6 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 1 ,3,91 列96+9+2，即M州的长度为定值，定值为立 例3.(25-26商二上上海期末)如图，在长方体MBCD-A8CD中，DD=D1,B=2,点E在楼B上运 动 D A B B,C⊥DE (1)证明： CF (2)设E为棱AB的中点，在棱CC上是否存在一点F,使得BF∥平面DEC,若存在，求CC的值，若不存在，说 明理由。 【答案】(1)证明见解析 CF 1 (2)存在点F使得BF∥平面DEC,CC2 【详解】(1)建立如图所示空间直角坐标系， ZA D B A D(0,0,1,B1,2,1,C0,2,0),B,C=(-1,0,-1) 设E1,0,0≤1≤2，则DE=(14,-, DE,BC=-1+0+1=0,所以BC1DE > 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 (2)若E是B的中点，则E1,10),C02,1 DE=(1,1,0)DC1=(0,2,1 设平面DEC的法向量为刀 ,i=(x,y1,2 万.DE=x+y=0 则7.DC=2y+名=0’ ,则1名=2 设片=1 故(--2)为平面D8C的一个法向量。 设F0,2刘，0≤元≤1，B12,0,F=-10, DEC,BF4平面 若BF∥平面 DEC 则n-BF=1-2=0,A= CF 1 2,所以F是CC的中点，所以CC,2 例4.(25-26高二上北京期末)如图1，在△MBC中，BM1BC,4D MB,MC 分别为边 的中点，且 BC=AM=2,将△MMD沿4D折起到△P1D的位置，使PAAB,如图2，连接PB PB,PC P(M) B M D B<=- 图1 图2 (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值： 5 PG (3)线段PC上是否存在点G,使平面GAD与平面PAD的夹角正弦值为5，若存在，求出PC的值：若不存在， 请说明理由。 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 【答案】(1)证明见解析 5 (2)3 PG 1 (3)存在，PC3 A,D MB,MC 【详解】(1)证明：因为分别为 的中点，所以1D1/BC 又因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD, 因为PA⊥AB,且ABOAD=A,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD. (2)解：因为PALB,PALAD,∠D1B=90,所以D,AB,D 两两垂直， 以A为原点，以 AB,AD,AP 所在直线分别为少轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(01,0),P(0,0,2),EL,1,1), 所以PC=2,2-2,DE=00,1BD=(-2,10,B驴=(-2,02) BD.i=2x+y=0 设平面P8D的法向量为n=(G,,2),则8即.=2x+2名，=0， 取=2，可得==1，所以=4,2，， DE1+0+13 设直线。与半面所成的角为，则in8-osD贩，D丽243， DE PBD 3 所以直线DE与平面PBD所成的角的正弦值为3· 5 (3)解：假设存在实数2，使得平面GAD和平面PAD的夹角的正弦值为5， 即使符平面G4D和平面PD的夹角的余弦位为25， 5， 由(2)得Pc=APC=(2,22,22X0≤元≤) 9 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 所以G21,21,2-2AD=0,10,4G=(2元，2,2-2》 由平面P4D的一个法向量为”=4,0,0) ADn,=2=0 设平面ADG的法向量为元=(x,,2),则4G.=-2元x,+2元y,+(2-22)2,=0, 取2=2，可得=0，与=2-1，所以匹=（优-1,0，）， 则有cos, % 11,0,0)-(2-1,0,2)2√5 1×V(2-1)2+2 5 2-1 25 即√-12+2 5, 整理得3以+22-1=0解得2=3或久=- 因为0≤九≤1， 所以1=1 3, PG 1 5 所以存在3，即PC3,使得平面GAD和平面PAD的夹角的正弦值为5· P(M) E D 变式1，(25-26高三上北京西城月考)如图，在多面体ABCDEF中，面ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD, 平面ABF∥平面CDE,AB=DE=2,AF=1. B (1I)求证：AF∥DE: o空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 空间向量与立体几何：动点存在性问题、最值与范围问题专项训练 考点目录 动点存在性问题 最值与范围问题 考点一 动点存在性问题 例1．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）如图，在四面体ABCD中，平面平面，，，，E是BC的中点，F是线段AD上的任意一点，． (1)是否存在点F，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若三棱锥的体积为，且二面角的平面角的余弦值为，求的值． 例2．（2026·重庆·模拟预测）已知边长为的等边，，将沿折叠，形成四棱锥，二面角大小为，点为中点. (1)求体积的最大值； (2)若. （i）时，求外接球的表面积； （ii）平面，垂足为，长度是否为定值？如果为定值，求的长；如果不为定值，请说明理由. 例3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 例4．（25-26高二上·北京·期末）如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接.    (1)求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·北京西城·月考）如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，，．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)若直线上存在点，使得，求线段的长度． 变式2．（25-26高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥中，，，，是的中点.    (1)已知，分别为，的中点，求证：平面； (2)若平面，，则： （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 变式3．（25-26高三上·贵州六盘水·月考）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．    (1)求证：平面； (2)若，，则在线段上（不含端点）是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请指出点位置；若不存在，请说明理由． 变式4．（25-26高三上·山东青岛·月考）在四棱锥中，平面，是中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面夹角的正弦值； ②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值． 考点二 最值与范围问题 例1．（25-26高二上·广东东莞·期中）在中，分别是上的点，满足，且．将沿折起到的位置，使在棱上移动（包含端点）． (1)求证：； (2)当为棱的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． (3)设直线与平面所成角为，求的最大值． 例2．（25-26高二上·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面，. (1)证明：面面； (2)设，，，且点，，，均在球的球面上. （i）证明：点在线段上； （ii）设与面所成角为，求的最大值. 例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. (1)求证：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 例4．（25-26高三上·陕西·期末）如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点S为动点，满足平面平面，且．    (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求的值； (3)以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 变式1．（25-26高二上·云南·月考）如图，平面平面，四边形为矩形，平面.    (1)证明：. (2)已知. ①求几何体体积的最大值； ②若分别为棱的中点，为线段上的动点，当几何体的体积取得最大值时，求直线与所成角的余弦值的取值范围. 变式2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图1，在梯形中，，点在线段上，，．现将沿翻折到的位置，使得二面角为直二面角，如图2所示． (1)若是的中点，证明：平面； (2)若分别是的中点，直线与平面所成角为． ①设，求的取值范围； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 变式3．（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图，在正四棱锥中，所有棱长都等于4，点分别是棱的中点，点在棱上，且． (1)若，证明：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值的取值范围． 变式4．（25-26高二上·广东中山·月考）在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $