函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 利用导数证明不等式问题 考点一 含参单调性讨论问题 例1.(25-26高三上辽宁锦州期末)设函数f(x)=alnx+x,其中a为实常数. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在1，f1月处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性， 例2.(24-25高二下·贵州贵阳期末)己知函数f(x=ax2-2x-nx. (1)若函数f(x)在点1，f1)处的切线与x轴平行，求a; (2)若a>0,讨论f(x)的单调性. 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 例3.(2425高二下-广东月考)已知函数fx)=】x2-(a+1x+alnx,其中aeR. (I)当a=1时，求曲线y=f(x在x=1处的切线方程； (②)讨论∫(x)的单调性. 例4.(25-26高二上江苏·期末)己知函数f(x)=a(2x-lnx),g(x)=bx-x2,且曲线y=g(x)在点(L,g()处的切线 与直线y=x+1垂直 (1)求b; (2)讨论函数h(x=∫(x+gx的单调性； (3)若函数mx)=f(x)-gx)在1,4上单调递减，求a的取值范围. 2 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 变式1.(2526高三上陕西洲南期中)已知函数f)=-2+a加+2an(a>0) (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(I)处的切线方程； (②)求函数∫(x)的单调递增区间. 变式2.(25-26高三上山东济南期中)已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnr(a∈R) (1)若a=-1,求曲线f(x在1，f(1)处的切线方程； (②)讨论f(x)的单调性 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 变式3.25-26高三上宁夏银川期中)已知函数fx)=x-20-(a+21mr,4eR x (1)当a=-1时， (1)求函数f(x)在(1，f1)处的切线方程； (i)求f(x)在[l,e]上的最值： (2)讨论fx的单调性 变式4.(25-26高三上安徽期中)已知函数fx=+ar-a e (I)讨论f(x)的单调性； ②若a<-2,证明：当x>2时，f为<2 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 考点二 利用导数证明不等式问题 网1.(2026：河北邢台一模)已知函数x云+在x-1处取待极小值-2。 (1)求a,b的值； (2)证明：x>-1时，f(x)<x-1. 例2.(25-26高三上·湖南月考)函数fx=ax+1-lnx. (I)若a=e,求f(x的极小值： (2)当a=-1时，证明：xe+fx≥0. 5 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 例3.(25-26高三上广东广州月考)已知函数f(x)=3sinx-xcosx,设g(x)=f'(x) (1)求证：g(x)是(0，元上的单调递减函数； (2)求证：当x>0时，f(x)<2x. 例4.(2025广东模拟预测)已知函数f(x)=x2-2x31nx. (I)求曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程； (2)证明：f(x)≤1； ③)证明：0<1+2e. 3 6 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 变式1.(25-26高三上福建莆田期中)己知函数f(x)=(x+1)nx. (I)求函数∫(x)的单调区间； (2)证明：当x≥1时，f(x≥2x-1. 变式2.(2025·内蒙古赤峰·一模)已知函数f(x=sinx. (1)求函数∫x在点(0,0)处的切线方程： (2)证明：当xe(0,+o)时，fx)<x; （同求函数g到-方+c0sx的最小值 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 变式3.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知a≥0，f(x)=x-1-(lnr)+2alnx (I)令F(x=xf'(x),求F(x)的最小值： (2)求证：当x>1时，x>(lnx)-2alnx+1. 变式4.(25-26高三上山东青岛月考)已知函数f(x)=x-alnx-3e,xe[1,+o）, (I)若f(x)是单调递减函数，求实数a的取值范围； (2)当a≥1时，证明：f(x)+x2+1≤0. 8函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 函数与导数：含参单调性讨论问题、利用导数证明不等式问题专项训练 考点目录 含参单调性讨论问题 利用导数证明不等式问题 考点一 含参单调性讨论问题 例1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数，其中为实常数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数，，． 曲线在处切线方程为：，即． （2）因为，令，可得，即， 当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 当，即时，的解为，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 例2．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 例3．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 例4．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数， 所以， 所以， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，其定义域为， 所以， 当时，由，解得或； 当时，恒成立且在时取等号； 当时，由，解得或. 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 变式2．（25-26高三上·山东济南·期中）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1），， 所以切线方程为，即. （2）定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 变式3．（25-26高三上·宁夏银川·期中）已知函数，. (1)当时， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求在上的最值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（i）；（ii）最大值为，最小值为 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 则， （i）因为，， 故在处的切线方程为，即. （ii）在上，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，，， 所以在上的最大值为，最小值为； （2）的定义域为， 又. ①当时，令则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. ②当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. ③当时，恒成立，所以在上单调递增. ④当时，令则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 变式4．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 考点二 利用导数证明不等式问题 例1．（2026·河北邢台·一模）已知函数在处取得极小值. (1)求的值; (2)证明：时，. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）由题知，则，又因为，所以. 检验：若， 则， 当 时，单调递减，当时，单调递增， 为的极小值点，符合题意. 所以：. （2）由（1）知， 证，即证， 即证，即证. 设，则， 令，得或， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以. 所以当时，. 例2．（25-26高三上·湖南·月考）函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 例3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； (2)求证：当时，. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）， ， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，其中， 故在上恒成立， 故是上的单调递减函数； （2）当时，令， 则， 由（1）可知是上的单调递减函数，故， 故在上恒成立， 故在上单调递减， 故，故， 当时，， 故，， 所以， 所以，， 综上，当时，. 例4．（2025·广东·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，                     又，则，                         故曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，，，故，故单调递增；                 当时，，，故，单调递减．             故． （3）由（2）得，对任意恒成立， 所以，                 故． 变式1．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 所以函数的增区间为，无减区间. （2）当时，要证，即证， 令，其中，则， 故函数在上单调递增，则，即， 故原不等式得证. 变式2．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知函数. (1)求函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，； (3)求函数的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）， 在点处的切线的斜率， 在点处的切线的方程为. （2）设，， ， 因为，恒成立， 在上单调递减； ，即，即， 所以当时，； （3）的定义域是，对于，都有， 且，为偶函数； ，由，得 由（2）知，当时，， 在上单调递增； 因为为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增 当时，. 变式3．（25-26高三上·北京顺义·月考）已知. (1)令，求的最小值； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 所以，易知，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为，则， 由（1）可知在恒成立， 所以在恒成立， 即在区间上单调递增， 所以当时，， 即，命题得证. 变式4．（25-26高三上·山东青岛·月考）已知函数． (1)若是单调递减函数，求实数的取值范围； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：因为是单调递减函数， 所以恒成立， 所以恒成立，即， 令，则， 所以在上单调递减， 所以，所以． 解法二：由题意得，， 令，所以， 所以在上单调递减，当， 即时，，即，所以在上单调递减． 当，即时，， 使得在时，，即， 所以在定义域上单调递减不成立．所以． （2）证法一：令， 所以，因为， 所以， 令，则， 因为，所以，所以在单调递增， 所以，所以，所以， 所以， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以． 证法二：因为，所以， 欲证，所以只需证， 所以只需证， 令，则， 令，则， 因为，所以，所以在单调递增， 所以，即，所以， 所以， 因为在上单调递减， 所以的最大值为，令，则的最小值为， 所以，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $