精品解析：北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，且，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 设、、，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度． 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ） A. 当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B. 在极安静环境里，声压不超过 C. 在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D. 若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 10. 已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（ ）（备注：不等式恒成立） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.（本题见校本卷） 12.（本题见校本卷） 11. 已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 12. 已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________． 13. 关于定义域为的两个函数，给出下列四个结论： ①若均为偶函数，则为偶函数； ②若均有最大值，则有最大值； ③若为增函数，则可以不都是增函数； ④若是以为周期的函数，则均是以为周期的函数． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 14. 已知集合，其中． （1）求集合； （2）若，求． 15. 已知函数的最大值为3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 条件①：图象的两条相邻对称轴的距离为； 条件②：的一个零点为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知关于的不等式． （1）当时，求此不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求的值； （3）若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若存在实数使得，证明：． 18. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据： 观测时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等” 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： （1）求该造父变星的光变周期和平均“视星等”； （2）求时该造父变星的“视星等”； （3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由. 19. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． （1）若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； （2）若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东城区2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 2026.1 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，且，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由存在命题的否定即可求解. 【详解】命题“”的否定为，故A正确． 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求不等式的解. 【详解】即为，故， 故原不等式的解集为. 故选：B. 4. 设、、，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用作差法可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨取，，，则，B错； 对于C选项，， 若，则且，即，与矛盾， 故， 因为，则，所以，即，C对； 对于D选项，不妨取，，满足题意，则，D错. 故选：C. 5. 下列函数中是偶函数且值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性，以及函数值域，即可求解， 【详解】，是偶函数， 值域为，故A错误， ，是奇函数， 值域为，故B错误， ，，是偶函数， 值域为，故C正确， ,，是奇函数， 值域为，故D错误， 故选：C 6. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角公式即可求得结果. 【详解】设点，因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为， 所以,则,所以, 故选：A 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断必要性成立，取特殊值代入可判断充分性不成立. 【详解】因为，所以； 若，则，所以“”是“”的必要条件； 取，则，但，所以“”是“”的不充分条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 已知函数，将其图象进行如下两种变换： ①先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）； ②先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度． 若两种变换后得到的函数图象完全重合，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出两种变换后所得函数的解析式，可得出、的关系式，结合、的取值范围可得出结果. 【详解】对于①，将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），可得到函数的图象， 对于②，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度， 可得到函数的图象， 因为两种变换后得到的函数图象完全重合，所以， 因为，所以，又因为，故， 又因为，故，即. 故选：C. 9. 在日常生活中，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉的下限阈值，是实际声压．按普通人的听觉，常见场景的声压级如下： 常见场景 声压级／dB 极安静环境 安静环境 日常轻声环境 已知正常对话的声压约为，声压级约为（参考数据：，），则（ ） A. 当声压变为原来的两倍时，声压级一定变为原来的两倍 B. 在极安静环境里，声压不超过 C. 在日常轻声环境里，最大声压与最小声压的比值不超过 D. 若某图书馆的声压约为，则该图书馆属于安静环境 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题中条件求出听觉下限阈值，再逐一分析选项即可. 【详解】由题中条件可得，解得， 对于选项，设原声压为，声压级； 声压变为，声压级， 此时，故错误； 对于选项，在极安静环境中，声压级，当取最大值计算最大声压， 此时可得，解得， 因为，故错误； 对于选项，在日常轻声环境里，声压级， 当最小声压级时，，得； 当最大声压级时，，得， 所以，故错误； 对于选项，已知，代入得， 即在安静环境范围内，故正确. 故选：. 10. 已知函数，若存在常数，使得对都有，则这个函数可以是（ ）（备注：不等式恒成立） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式满足的性质结合等式恒成立可得参数满足的条件，求出参数的值后可判断AB的正误，根据题干不等式结合放缩法可判断C的正误，对于D，根据值域的关系可求参数的值，检验后可判断D的正误. 【详解】对于A，由可得对任意恒成立， 故对任意恒成立，故，其中， 故，不合题意，故A错误； 对于B，由可得对任意恒成立， 故对任意恒成立， 故，其中，故即，矛盾，故B错误； 对于C，由可得对任意恒成立，其中， 故，其中， 因为，且，故， 而，故,故无正数解，故C不正确； 对于D，由可得对任意恒成立， 故对任意的恒成立， 而当时，的值域为， 而的值域为，故， 故此时， 故D正确， 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11.（本题见校本卷） 12.（本题见校本卷） 11. 已知命题：若，且，则．能说明为假命题的一组与的值为__________，__________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，得出，之间的关系，进行讨论，代入符合题意的角即可. 【详解】由诱导公式，可知， 因为，则，，或，， ，或， 即，或， 故想说明命题为假命题，只需举出满足的角即可， 即，， 又因为，则或时， 故，或，且满足， 如：，：，，，， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）. 12. 已知函数（为常数）．若存在最小值，则的一个取值为__________；若存在实数，使得方程恰有三个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. 0（不唯一） ②. 【解析】 【分析】根据分段函数解析式取特殊值可使函数有最小值，分类讨论作出函数图象可求满足条件的取值范围. 【详解】因为时有最小值， 所以当时，有最小值，满足题意； 此时的图象为： 不存在实数，使得方程恰有三个实数根； 当时，时单调递减， 此时的图象为： 由图可知时，存在实数，使得方程恰有三个实数根； 当时，时单调递增， 此时的图象为： 由图可知不存在实数，使得方程恰有三个实数根 综上，的取值范围是. 故答案为：0（不唯一）； 13. 关于定义域为的两个函数，给出下列四个结论： ①若均为偶函数，则为偶函数； ②若均有最大值，则有最大值； ③若为增函数，则可以不都是增函数； ④若是以为周期的函数，则均是以为周期的函数． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】逐一分析每个结论，结合函数的奇偶性、最值、单调性、周期性的定义与性质，通过定义验证或举反例的方式判断对错. 【详解】①根据偶函数的定义：对定义域内任意，有，，设， 则：，满足偶函数的定义，结论①正确； ②举反例：设，则、的最大值均为1， ，当，也有， 即无最大值，因此结论②错误； ③举反例：设，，为增函数， 但、都不是单调递增函数，因此结论③正确； ④举反例：设，则，周期为， 但的周期为，因此结论④错误. 故答案为：①③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 14. 已知集合，其中． （1）求集合； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义即可求解； （2）由，可得，求出，利用并集定义即可求解. 【小问1详解】 由于， 所以 【小问2详解】 因为，，， 所以，解得：， 则， 则 15. 已知函数的最大值为3，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （1）求的值； （2）求的单调递增区间． 条件①：图象的两条相邻对称轴的距离为； 条件②：的一个零点为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将整理为，根据函数的最大值求出的值，条件①：由图象的两条相邻对称轴的距离为，得到，结合函数的最小正周期公式和的范围求出的值；条件②：由的一个零点为得到，结合的范围求出的值. （2）求中的的范围为的单调递增区间. 【小问1详解】 ，， ， ， ，，， 的最大值为， 的最大值为，，， 若选择条件①，图象的两条相邻对称轴的距离为， ，，， ，； 若选择条件②：的一个零点为，， ， ， 当时，， ，， 当时，， ，无解； 综上可知，，. 【小问2详解】 ，，， ，， 的单调递增区间． 16. 已知关于的不等式． （1）当时，求此不等式的解集； （2）若该不等式的解集为，求的值； （3）若该不等式对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，直接解不等式； （2）根据方程与不等式的关系求解； （3）利用分离参数法求解. 【小问1详解】 当时，不等式为，即， 解得或，所以此不等式的解集为； 【小问2详解】 因为该不等式的解集为， 所以a<0,和为方程的解， 将方程化成一般式 所以，所以； 【小问3详解】 因为对恒成立， 所以， 又在上单调递减，所以， 所以的取值范围为. 17. 已知函数的图象经过点． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若存在实数使得，证明：． 【答案】（1） （2） 在上单调递增； 证明如下： ， 任取，且， 则 ， 因为， 因为且，所以， 所以，所以，所以， 所以在上单调递增； （3） 因为，所以， 所以， 因为单调递增，所以，即， 又，所以， 因为且，所以， 由（2）可知在上单调递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）利用定义法进行证明即可； （3）根据得到的关系，再根据函数单调性进行证明. 【小问1详解】 因为点在图象上， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是一类“视星等”随时间呈周期性连续变化的变星，其“视星等”随时间的变化可近似地用函数来表示，其中为振幅，为光变周期，为平均“视星等”，为初相且.一个天文学团队于每晚20:00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为.下表为连续10次的记录数据： 观测时间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 “视星等” 4.5 5.0 4.5 3.5 3.0 3.5 4.5 5.0 4.5 3.5 根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题： （1）求该造父变星的光变周期和平均“视星等”； （2）求时该造父变星的“视星等”； （3）已知“视星等”数值越小，亮度越大.若变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达到该光变周期的及以上，则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮度是否“合格”，并说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）合格 【解析】 【分析】（1）根据表中的记录数据可观察出“视星等”相等时重复规律以及“视星等”的最值，据此即可判断光变周期和平均“视星等”；（2）结合（1）和表中的记录数据求出“视星等”随时间的变化的函数，然后将代入即可求解；（3）结合的图象和方程的解，即可判断不等式符合题意. 【小问1详解】 依题意，该造父变星的光变周期； 因为“视星等”的最小值和最大值分别为3.0和5.0，所以平均“视星等”； 【小问2详解】 由（1）知，，； 又，所以，所以，解得，又，所以，所以； 所以当时，，即当时，该造父变星的“视星等”为； 【小问3详解】 由变星在其一个光变周期内“视星等”不高于3.2知，，化简得； 如图，设，满足，则，； 所以，所以； 因为，所以，满足时，； 所以可以判断该造父变星的亮度是“合格”的. 19. 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． （1）若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； （2）若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 【答案】（1）（i），（答案不唯一）， （ii）假设集合存在3维伴随拆分，由于， 所以只能取1或． 不妨设， 其中． 若，则，而，不合题意； 若，则，而，不合题意； 若或，则，而，不合题意． 所以假设不成立．所以集合不存在3维伴随拆分． （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据新定义求解即可；（ii）利用反证法进行证明得到矛盾从而得到证明； （2）不妨设中元素最少的集合为，由条件（2）得，再分和讨论即可. 【小问1详解】 （i）若，则存在非空集合，满足， 且满足条件:①对；②对，若，均有. 取，， 满足，，，， ，，，， 不存在的情况，故满足条件①②， 故一个集合的2维伴随拆分为，. （ii）略 【小问2详解】 不妨设中元素最少的集合为， 且. 记，由，可得． 由条件（2）知，对，得． 于是 当时，有，则，所以． 当时，． 综上，． 当， 时，． 所以的最小值为50． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $