精品解析：上海洋泾中学2025-2026学年第一学期期末高一数学试卷

洋泾中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，共34分） 1. 已知集合，则__________. 2. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 3. 函数的定义域为__________. 4. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 6. 已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 7. 写出一个满足下列条件的函数为______． ① ② ③ 8. 已知，，，则________. 9. 已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 二、选择题（第11题、第12题每题3分，第13题、第14题每题4分，共14分） 11. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 14. 已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三．解答题（共52分，第15题8分＋第16题10分＋第17题10分＋第18题10分＋第19题14分） 15. 已知集合，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调减区间； （2）求函数在区间上的值域． 17. 已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. （1）求的外接圆半径； （2）若，，且为锐角，求边上的高. 18. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为（），记，其中，且． （1）当，，，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数的取值范围； （3）当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洋泾中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 一、填空题（第1题至第6题每题3分，第7题至第10题每题4分，共34分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 2. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的圆心角的弧度数为______. 【答案】 【解析】 【分析】设该扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，根据扇形的弧长和面积公式可得出关于、的方程组，即可求解. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角的弧度数为， 由题意可得，解得， 因此，这个扇形的圆心角的弧度数为. 故答案为：. 3. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据使函数有意义得到，即可求出函数的定义域. 【详解】对于函数，可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4. 已知正实数、满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】正实数、满足，则，即， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数的单调递增区间，再利用集合的包含关系求解. 【详解】函数的单调递增区间是，而在上单调递增， 则，即有，所以的取值范围是. 故答案为： 6. 已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 【答案】3 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由幂函数的图象不过原点可知： ，解得：， 故答案为：3 7. 写出一个满足下列条件的函数为______． ① ② ③ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由条件分析函数的奇偶性，周期，和取值范围，再确定满足条件的函数. 【详解】由知是奇函数， 由知的周期为， 再由知的值域包含于区间， 所以可考虑选择周期为，最大值为2的正弦型函数，即可取， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 已知，，，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】应用两角差正弦公式结合同角三角函数关系计算求解. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以， 因为，又因为，所以， 则. 故答案为：1. 9. 已知函数，（，且），若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】转化为，求出，分和两种情况，得到的最小值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】根据题意知，. 时，函数的最小值. 当时，在上的最小值为， 则由，解得； 当时，在上的最小值为， 则，解得，与求交集，无解. 故实数的取值范围为. 故答案为： 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著， 他是数学史上第一位重视概念的人， 并且有意识地 “以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数 ，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数” ，则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论: （1） ； （2）函数 是偶函数； （3） 函数图像上存在四个点 ，使得四边形 为平行四边形； （4） 函数图像上存在三个点 ，使得 为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】（1）（3）（4） 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数和 函数的定义，结合奇偶性，可判定（1）（2）；直接取点说明（3）（4）正确； 【详解】由狄利克雷函数的定义，可得，所以（1）正确； 由，可得，不满足， 所以函数不是偶函数，所以（2）错误； 若取函数图象上四个点，，，， 因为，且，即，互相平分， 所以函数图象上四个点，使得四边形为矩形，故（3）正确； 函数图象上三个点，，， 即，，，因为， 所以为等边三角形，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4） 二、选择题（第11题、第12题每题3分，第13题、第14题每题4分，共14分） 11. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到为奇函数，图像关于原点对称，且时，可得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，图像关于原点对称， 当时，可得，所以只有选项A的图像符合. 故选：A. 12. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论 【详解】取，，但不满足“”， 故“”不能推出“”，充分性不成立； 反之，若“”，记，则， 所以，，即，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 13. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，进而得到即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以为钝角三角形． 故选：D 14. 已知函数若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数解析式作图，利用换元法整理方程，图像分情况讨论方程的根取值范围，并建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数可作图如下： 令，且， 令，由恒成立， 则方程，必存在两个实数根，由题意可得或， 当时，由图可知方程存在个根，方程存在个根，符合题意， 此时可得，即，可得无解； 当时，由图可知方程或分别存在个根，符合题意， 此时可得，即，解得； 当时，由图可知方程或分别存在个根，符合题意， 此时可得，即，解得； 当时，由图可知方程存在个根，方程存在个根，符合题意， 此时可得，即，可得无解. 综上所述，的取值范围为或. 故选：A. 三．解答题（共52分，第15题8分＋第16题10分＋第17题10分＋第18题10分＋第19题14分） 15. 已知集合，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可. （2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可. 【小问1详解】 当时，，又或， 所以. 【小问2详解】 因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调减区间； （2）求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，即可利用整体法求解单调性， （2）利用整体法求解范围，即可根据正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 ， 的最小正周期为． 令，解得， 的单调减区间为． 【小问2详解】 ，． 令，则， ， ， 在上的值域为． 17. 已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. （1）求的外接圆半径； （2）若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【小问1详解】 设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. 【小问2详解】 设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 18. 已知函数且． （1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）定义域为， 定义域为，关于原点对称； 又， 所以为奇函数； （2） 当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零求定义域，利用奇偶性定义判断并证明是奇函数即可； （2）利用奇函数和单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 要使有意义，需满足，解得，故定义域为； 是奇函数； 证明：略 【小问2详解】 由，得． 由（1）知为奇函数，所以，所以. 因为， 令，则在上单调递增， 当时，在上单调递减，则，解得； 当时，在上单调递增，则，解得． 综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是． 19. 已知函数的定义域为（），记，其中，且． （1）当，，，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数的取值范围； （3）当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【答案】（1） （2） （3）证明：必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 【解析】 【分析】（1）求出，令解方程即可得到答案； （2）求出并根据题意化简得到，令，根据题意得到，解得，再结合二次函数图象即可求得答案； （3）利用充要条件的定义，结合函数严格递增的概念进行证明. 【小问1详解】 当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. 【小问2详解】 ， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $