10.1.1 有限样本空间与随机事件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“有限样本空间与随机事件”核心知识点，系统梳理随机试验的特点、样本点与样本空间的定义，以及随机事件、必然事件、不可能事件的概念，通过情境引入、知识梳理、例题解析构建从具体问题到抽象概念再到应用的学习支架。 该资料以“德·梅耳问题”情境引入，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过概念辨析与列表法等培养数学思维，用集合表示事件强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

10．1　随机事件与概率 10．1.1　有限样本空间与随机事件 课程标准 素养解读 1.了解不可能事件、必然事件及随机事件的概念． 2．理解样本点与样本空间的定义，会求试验中的样本空间. 在理解样本空间定义的基础上，培养学生的数学抽象等核心素养. [情境引入] 　17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，他发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少．这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题． [知识梳理] [知识点一]　有限样本空间 1．随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间． 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． [知识点二]　事件 1．随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． 2．必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件． 3．不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件． 　事件与基本事件的概念相同吗？ 提示：(1)必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集． (2)基本事件的概念可类比集合中元素的概念，试验可能发生的全部结果是一个集合，其元素是基本事件，基本事件不能分解，不能同时发生(相当于集合中元素的互异性)． (3)事件与基本事件的区别：基本事件是试验中不能再分解的最简单的随机事件，只包含一个样本点，而事件可以由若干个基本事件组成，不止包含一个样本点． [预习自测] 1．一个家庭有两个小孩，写出这个试验的样本空间是(　　) A．Ω＝{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．Ω＝{(男，女)，(女，男)} C．Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．Ω＝{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[用坐标法表示：将第一个小孩的性别放在横坐标位置，第二个小孩的性别放在纵坐标位置，可得4个不同的样本点(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．] 2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是(　　) A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 解析：C　[从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．] 3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　) A．3件都是正品　 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 解析：D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间为Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有一件正品为必然事件．] 4．同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示出现的结果，其中x，y分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为________． 解析：在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果． 答案：36 5．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)． (1)写出这个试验的所有结果； (2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件． 解：(1)当x＝1时，y＝2,3,4； 当x＝2时，y＝1,3,4； 当x＝3时，y＝1,2,4； 当x＝4时，y＝1,2,3. 因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)． (2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}． 探究样本点与样本空间 [例1]　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数． [思路点拨]　解决此类问题的重点是搞清每次试验的条件和结果，关键是充分理解试验，避免列举样本点时不全或有重复．第(3)问可用列表法求解． [解]　(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4. (2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6. (3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 　　第一次 第二次　　 红 白 黄 黑 红 (白，红) (黄，红) (黑，红) 白 (红，白) (黄，白) (黑，白) 黄 (红，黄) (白，黄) (黑，黄) 黑 (红，黑) (白，黑) (黄，黑) 则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12. (1)样本点具有如下性质：①不能或不必分解为更小的随机事件；②不同的样本点不可能同时发生． (2)样本空间是由全体样本点构成的，而不是部分样本点．在列举样本点时，要结合事件本身的特征，依据一定的规律和方法，将事件全面地列举出来，避免遗漏． [变式训练] 1．写出下列试验的样本空间： (1)连续抛掷一枚硬币2次，观察正面、反面出现的情况； (2)甲、乙、丙、丁四位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果； (3)连续抛掷一枚骰子2次，观察2次掷出的点数之和； (4)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回地逐个取出，直至白球全取出，记录取球的次数． 解：(1)第一次硬币向上面与第二次硬币向上的面构成一个样本点，样本空间为：{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}． (2)四个同学的一个排列构成一个样本点，样本空间为：{甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙，乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙丁乙甲，丙丁甲乙，丁乙丙甲，丁乙甲丙，丁丙乙甲，丁丙甲乙，丁甲乙丙，丁甲丙乙}； (3)第一枚骰子和第二枚骰子的点数和构成一个样本点，样本空间为： {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}； (4)白球全部取出，至少取4次，最多取10次，样本空间为：{4,5,6,7,8,9,10}． 随机事件的表示 [例2]　一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示． [思路点拨]　把所有的事件一一罗列出来，不能重复，也不能遗漏． [解]　(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个〔其中(1,2)表示摸到1号球和2号球〕． (2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}． 在实际生活中，一些现象的所有可能结果是可以预知的，转化到数学中，可以用样本点与样本空间来进行描述． [变式训练] 2．甲、乙两人做猜拳游戏(锤子、剪刀、布)． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点． 解：(1)样本空间Ω＝{(锤子，锤子)，(锤子，剪刀)，(锤子，布)，(剪刀，锤子)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，锤子)，(布，剪刀)，(布，布)}(其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳)． (2)“平局”包含(锤子，锤子)，(剪刀，剪刀)，(布，布)三个样本点． (3)“甲赢”包含(锤子，剪刀)，(剪刀，布)，(布，锤子)三个样本点． (4)“乙赢”包含(剪刀，锤子)，(布，剪刀)，(锤子，布)三个样本点． 对应学生课时P331 1．一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为(　　) A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．{(男，女)，(女，男)} C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．{(男，男)，(女，女)} 解析：C　[随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的基本事件，故选C.] 2．以下事件是随机事件的是(　　) A．标准大气压下，水加热到100 ℃，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯 C．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab D．实系数一元一次方程必有一实根 解析：B　[A.标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B.走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C.长和宽分别为a，b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D.实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．] 3．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是(　　 ) A．3件都是正品 B．至少有一件是次品 C．3件都是次品 D．至少有一件是正品 解析：D　[任意抽取3件的样本空间为Ω＝{“3个正品”，“2个正品1个次品”，“1个正品2个次品”}，由于只有2个次品，不会有3个次品的情况.3种样本点中都至少有1个正品，所以“至少有1个是正品”是必然发生的，即必然事件应该是“至少有1个是正品”．] 4．下列事件中，必然事件是(　　 ) A．10人中至少有2人生日在同一个月 B．11人中至少有2人生日在同一个月 C．12人中至少有2人生日在同一个月 D．13人中至少有2人生日在同一个月 解析：D　[一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.] 5．(多选题)已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题，正确的是(　　) A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件 B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件 C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件 D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件 解析：ACD　[∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此A正确，B错误，C正确，D正确．] 6．(多选题)在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是(　　 ) A．5　　　 B．6　　　 C．3　　　 D．4 解析：CD　[依题意知，10名同学中，男生人数少于5人，但不少于3人，故x＝3或x＝4.] 7．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 解析：实验的样本空间为Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}，样本点共有3个． 答案：3 8．先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，观察落地后硬币向上面的情况，某同学记录了以下事件： A．事件：只有一枚硬币正面向上． B．事件：两枚硬币均正面向上． C．事件：至少一枚硬币正面向上． 则在三个事件中含有三个样本点的事件为________． 解析：C　[先后抛掷1分，2分的硬币各一枚，其样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A事件有两个样本点，(正，反)(反，正)；B事件只有1个样本点，(正，正)；C事件有3个样本点(正，正)，(正，反)，(反，正)．] 9．下列给出五个事件： ①某地2月3日下雪；②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤若a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________． 解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案． 答案：③⑤　④　①② 10．先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 解：(1)一共出现“两枚正面”“一枚正面，一枚反面”“一枚反面，一枚正面”“两枚反面”4种不同的结果，其样本空间为Ω＝{“两枚正面”，“一枚正面，一枚反面”，“一枚反面，一枚正面”，“两枚反面”，} (2)出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种，即为“一枚正面，一枚反面”“一枚反面，一枚正面”． 11．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次． (1)写出这个试验的样本空间． (2)设A为“取出两件产品中恰有一件次品”，写出事件A的样本空间． (3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余不变，请你回答上述两个问题． 解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)，(a2，a1)，(b，a1)，(b，a2)}． (2)A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． (3)①这个试验的样本空间Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)}． ②A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}． 12．给出下列四个命题： ①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件； ②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件； ③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题是________． 解析：∵|x|≥0恒成立，∴①正确；奇函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，∴②正确；由loga(x－1)＞0知，当a＞1时，x－1＞1即x＞2；当0＜a＜1时，0＜x－1＜1，即1＜x＜2，∴③正确，④正确． 答案：①②③④ 13．设集合M＝{1,2,3,4}，a∈M，b∈M，(a，b)是一个样本点． (1)“a＋b＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“a＜3且b＞1”呢？ (2)“ab＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“a＝b”呢？ 解：这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (1)“a＋b＝5”这一事件包含以下4个基本事件 (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． “a＜3且b＞1”这一事件包含以下6个基本事件 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)． (2)“ab＝4”这一事件包含以下3个基本事件 (1,4)，(2,2)，(4,1)； “a＝b”这一事件包含以下4个基本事件 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)． 学科网（北京）股份有限公司 $