8.6.3 平面与平面垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．6.3　平面与平面垂直 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并加以证明． 2．会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直． 3．能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题. 通过探究发现及应用平面与平面垂直的判定定理和性质定理，重点培养数学抽象素养及提升逻辑推理素养和直观想象素养. 对应学生用书P117 [情境引入] 　我们常说“把门开大一点”，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面形成了一个角． 问题　如何描述和度量门所在平面与墙面所形成的角？ 提示　用二面角的平面角来度量． [知识梳理] [知识点一]　二面角 1．二面角的定义 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分都叫作半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面；如图(1)(2)，棱为AB或l，面分别为α，β. 2．二面角的表示方法 (1)棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β，如图(1)． (2)棱为l，面分别为α，β的二面角记作：二面角α－l－β，如图(2)． (3)若在α，β面内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P­AB­Q，如图(1)． 1.两个平面相交，构成几个二面角？它们的平面角的大小有什么关系？ 提示：4个．相对的两个二面角相等，相邻的两个二面角互补． 2．二面角的大小范围是多少？ 提示：二面角的平面角的范围是[0，π]，当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平面合成一个平面时，平面角为π. 3．二面角的平面角的大小和在棱上所选点的位置有关吗？ 提示：根据“等角定理”可知，二面角的平面角的大小和棱上所选的点无关． 3．二面角的平面角、直二面角 (1)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．如图(1)，O为棱AB上任意一点，在平面α内过点O作OP⊥AB，在平面β内过点O作OQ⊥AB，则∠POQ为二面角α­AB­β的平面角． (2)二面角的大小：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (3)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角． [知识剖析] (1)二面角的大小与棱上取点的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)二面角的平面角必须具备三个条件：①二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半平面内；③二面角的平面角的两条边都与棱垂直．前两个条件决定了二面角的平面角在同一个平面内，第三个条件决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． (3)二面角的平面角θ的范围是0°≤θ≤180°.当两个半平面重合时，θ＝0°；当两个半平面合成一个平面时，θ＝180°. 4．二面角和它的平面角的画法 画二面角和它的平面角，最常用的有以下两种方法： (1)直立式画法，如图甲、乙； (2)平卧式画法，如图丙、丁． 5．求二面角的平面角的步骤 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)证明甲中的角就是所求的角； (3)计算出此角的大小． 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”． [知识点二]　平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． [知识剖析] 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．两直线垂直是利用两条直线所成的角是直角来定义的，两平面垂直是利用两相交平面所成的二面角是直二面角来定义的． 2．两个平面互相垂直的画法 在画两个互相垂直的平面时，通常将表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图(1)(2)，平面α与平面β垂直，记作α⊥β. [知识点三]　平面与平面垂直的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)图形语言：如图(1)(2)． (3)符号语言：l⊂β，l⊥α⇒β⊥α. 4.证明面面垂直的关键是什么？判定定理的实质是什么？ 提示：(1)判定定理简记为“若线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找其中一个平面的垂线，即证线面垂直． (2)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的平面的依据．如建筑工人在准备砌墙时，常常在较高处固定一条下端系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，这样就能保证所砌的墙面与水平面垂直． [知识点四]　平面与平面垂直的性质定理 1．性质定理的内容 文字语言：两个平面垂直，如果—个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．简记为“若面面垂直，则线面垂直”． 图形语言：如图． 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂β，AB⊥l于点B⇒AB⊥α. [知识剖析] (1)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个：①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线． (2)两个平面垂直，分别在两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直)或异面． 2．性质定理的作用 (1)证明线面垂直、线线垂直； (2)构造面的垂线． [知识剖析] (1)若题目所给的条件中有面面垂直的条件，一般要注意观察是否有垂直于两平面交线的垂线．若有，则利用性质定理转化为线面垂直、线线垂直；若没有，一般要利用性质定理作交线的垂线，转化为线面垂直、线线垂直． (2)在证明线面垂直、线线垂直，作线面角、二面角的平面角时往往利用性质定理． 5.α⊥β，a⊂α，则a⊥β对吗？ 提示：不对．只有当a与α和β的交线垂直时，a与β才垂直． 6．α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，则a⊥β对吗？ 提示：不对．只有a⊂α时，a与β才垂直． 7．线面垂直的常用判定方法有哪些？ 提示：(1)线面垂直的判定定理；(2)线面垂直的性质定理的推论； (3)面面垂直的性质定理． [预习自测] 1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α，m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ和l⊥m　　　　　 B．α∥γ和m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β和α⊥γ 解析：A　[∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.∵m⊥γ，β∩γ＝l，∴m⊥l，故选A.] 2．给出下列命题： ①两个相交平面组成的图形叫做二面角； ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是(　　) A．①③　　 B．②④　　 C．③④　　 D．①② 解析：B　[对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，是正确的；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以是错误的；④是正确的．故选B.] 3．在空间中，下列命题正确的是(　　) A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一条直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 解析：D　[A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．] 4.如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下面四个结论：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确结论的序号) 解析：连接AC，A1C1，A1B，AD1，D1C.因为AA1∥ CC1，AA1＝CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1.又因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1.同理可证AD1∥平面A1BC1，又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，且AC∩AD1＝A，所以平面ACD1∥平面A1BC1，因为A1P⊂平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，故②正确．因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变．又因为VA－D1PC＝VP－ACD1，所以三棱锥A－D1PC的体积不变，故①正确．连接DB，DC1，DP.因为DB＝DC1，所以当P为BC1的中点时才有DP⊥BC1，故③错误，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥BB1.又因为AC⊥BD，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D.连接B1D，又因为B1D⊂平面BB1D1D，所以B1D⊥AC.同理可证B1D⊥AD1.又因为AC⊂平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，AC∩AD1＝A，所以B1D⊥平面ACD1.又因为B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确． 答案：①②④ 5. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点． (1)求证：直线A1B1∥平面ABD； (2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明：(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB. 因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD. (2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1. 又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1. 又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1. 对应学生用书P120 平面与平面垂直的基本问题 [例1]　已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α； ②m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β； ③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β； ④若m⊂α，l⊂β，则α∥β，则l∥m. 其中正确的序号是________． [思路点拨]　依据线面垂直，面面垂直的判定定理判断． [解析]　①③符合线面垂直，面面垂直的判定定理；②错误，并不能得出α⊥β；④错误，l与m可以异面． [答案]　①③ 对于用符号语言表示的命题形式的判定，一是将符号语言转化为图形语言，结合定理判定其正确性；二是利用模型(几何体)进行验证。 [变式训练] 1.如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析：C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，∵BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.] 用判定定理判断面面垂直 [例2]　如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD. [思路点拨]　欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，而已知SC⊥平面ABCD，故只需在平面EBD内找一条直线与SC平行即可． [证明]　如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF. ∵F为▱ABCD对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点． ∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD. 又∵EF⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD. 利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决． [变式训练] 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点． 求证：平面BEF⊥平面BDG. 证明　连接EG，FG.∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC， ∴DF綊EG，且DF＝DE， ∴四边形EDFG为菱形，∴EF⊥DG， 又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG， 又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.又DG∩BG＝G，DG，BG⊂平面BDG， ∴EF⊥平面BDG，又∵EF⊂平面BEF， ∴平面BEF⊥平面BDG. 求二面角 [例3]　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：BD⊥平面SAC； (2)求二面角E－BD－C的大小． [思路点拨]　求二面角大小要先找出二面角的平面角，然后在三角形内求解． [解]　(1)(1)证明：∵SB＝BC，且E为SC的中点， ∴BE⊥SC，又∵DE⊥SC，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE，∴BD⊥SC. ∵SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，又SA∩SC＝S，SA，SC⊂平面SCA，∴BD⊥平面SAC. (2)由(1)BD⊥平面SAC及AC，DE⊂平面SAC，可得BD⊥DE，BD⊥AC， ∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角， 设SA＝a，则AB＝a， 在Rt△ABS中，SB＝a，∴BC＝a. 在Rt△ABC中，AC＝＝a， ∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°， 又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°， ∴二面角E－BD－C的大小为60°. 1．求二面角的步骤是：(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角两边都与棱垂直；(3)指出该角就是二面角的平面角；(4)计算该角的大小、简记为作、证、指、算． 2．(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成两条交线，这两条射线(交线)所成的角，即二面角的平面角． (3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法． [变式训练] 3.如图．已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小． 解：如图， 在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD. 设OC＝a.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD＝O，AO，OD⊂平面AOD，∴BC⊥平面AOD. 又∵AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角． 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC. 又∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a， ∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a， ∴AD＝＝＝a. 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝． ∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­O的大小是60°. 平面与平面垂直的性质 [例4]　(1)已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是(　　) A．3　　 B．2　　 C．1　　 D．0 (2)(多选题)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题．其中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β [思路点拨]　利用垂直的判定与性质判断． [解析]　(1)①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件，所以这条直线不一定垂直于另一个平面，因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线；②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交，另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面，因而也垂直于这个平面内的任一直线；③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线，过一点作一条直线的垂线有无数多条，只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线，这条垂线才垂直于另一个平面，选C. (2)根据平面与平面垂直的性质知A正确；B中．m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只能有m∥α，正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．故选A，C. [答案]　(1)C　(2)AC 一个平面内的直线与另一平面垂直必须具备三个条件：①两平面垂直；②直线在其中一平面内；③直线与两平面的交线垂直． [变式训练] 4．(1)(多选题)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈l，则下列结论不正确的是(　　) A．过P和l垂直的直线在α内 B．过P和β垂直的直线在α内 C．过P和l垂直的直线必与β垂直 D．过P和β垂直的平面必与l垂直 (2)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 解析：(1)A、C中过P与l垂直的直线可能不在α内；若过P和l垂直的直线不一定垂直β，A、C错误，过P和β垂直的直线一定在α内，B正确，过P和β垂直的平面必与l垂直，D正确． (2)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以结论A，B一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以结论C一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D. 答案：(1)AC　(2)D 平面与平面垂直的性质应用 [例5]　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证： (1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质证明，即只需证明BG⊥AD即可； (2)利用线面垂直得线线垂直，即只需证明AD⊥平面PBG. [证明]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG， 又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)； (4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)； 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线． [变式训练] 5．如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点． (1)求四棱锥D－ABCM的体积； (2)求证：平面BDE⊥平面ABCM； (3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由． 解：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点， ∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM， ∴DE⊥平面ABCM. 四棱锥D－ABCM的体积V＝\f(1,3)SABCM·DE＝ ＝． (2)证明　由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB， ∴平面DEB⊥平面ABCM. (3)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD. 线面垂直、面面垂直关系的转化 [例6]　如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，BD⊥CD，且AE＝1. (1)求证：AE∥平面BCD； (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. [思路点拨]　(1)利用面面垂直的性质，先证DM⊥平面ABC，从而AE∥DM，进一步证明AE∥平面BCD. (2)根据面面垂直的性质，证AM⊥平面BCD，进一步得CD⊥平面BDE，可证，平面BDE⊥平面CDE. [证明]　 (1)取BC的中点M.连接DM，AM， 因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2， 所以DM＝1，DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，DM⊂平面BCD， 所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM， 又DM⊂平面BCD，AE⊄平面BCD， 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1， 所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM， 因为△ABC为正三角形，所以AM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC， AM⊂平面ABC， 所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE. 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直．最终达到目的．其转化关系如下： [变式训练] 6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD. 证明　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD. 所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB， 所以PD⊥平面PAB，又PD⊂平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图，取PC中点G，连接FG，DG， 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝BC. 因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝BC. 所以DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形DEFG为平行四边形． 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 对应学生课时P315 1．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　 ) A．60°　　　　　　　　　 B．120° C．60°或120° D．不确定 解析：C　[若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.] 2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　 ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：C　[因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.] 3．已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是(　　 ) A．n∥α B．n∥α或n⊂ α C．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α 解析：A　[∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.] 4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题： ①a∥b，a∥α⇒b∥α； ②a⊥b，a⊥α⇒b∥α； ③a∥α，β∥α⇒a∥β； ④a∥α，β⊥α⇒a∥β 其中不正确的有(　　 ) A. 1个　 B. 2个　 C．3个　 D．4个 解析：D　[①中b⊂α有可能成立，所以①不正确；②中b⊂α有可能成立；故②不正确；③中a⊂β有可能成立，故③不正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.] 5．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：B　[异面直线所成的角α的范围为0°<α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角。] 6．(多选题)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝，构成三棱锥A′－BCD，则(　　) A．平面A′BD⊥平面BDC B．平面A′BD⊥平面A′BC C．平面A′DC⊥平面BDC D．平面A′DC⊥平面A′BC 解析：AD　[在三棱锥A′－BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝，DC＝，又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.] 7.如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B­PA­C的大小等于________． 解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC， 所以∠BAC是二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°， 则二面角B­PA­C的大小等于90°. 答案：90° 8.如图，PA⊥平面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可) 解析：根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时BM⊥PC.当BM⊥PC时，根据对称性可得DM⊥PC，又BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意． 答案：BM⊥PC(答案不唯一) 9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________. 解析：如图， 取AB的中点E，连接DE，CE. 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB， 所以DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝，CE＝1. 在Rt△DEC中，CD＝＝2. 答案：2 10.如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD. (1)求证：平面ABD⊥平面ACD； (2)若AB＝2BD，求二面角A­DC­B的正弦值． 解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B. ∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD. (2)由(1)知∠ADB为二面角A­DC­B的平面角． 在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝＝BD，∴sin ∠ADB＝＝． 即二面角A­DC­B的正弦值为． 11.如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题： ①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； ②恒有平面A′GF⊥平面BCED； ③三棱锥A′­FED的体积有最大值； ④直线A′E与BD不可能垂直． 其中正确命题的序号是________． 解析：对于命题①，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确． 答案：①②③ 12．如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD∥BC，BC＝kAB(k>0)，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O. (1)如图2，当k＝时，若点B1在MN上，且DM＝1，AB>1，证明：AB1⊥平面B1CD，并求AB的长度． (2)如图3，当k＝时，若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1­AC­D的余弦值的取值范围． 解析：(1)∵点B1在平面ABCD上的射影为O且点B1在MN上，∴点O恰好落在边AD上，平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，平面AB1D∩平面ACD＝AD，∴CD⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，CD∩CB1＝C，CD⊂平面B1CD，CB1⊂平面B1CD，∴AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面B1CD，∴AB1⊥B1D，设AB＝x，BC＝AD＝\r(2)x，则NB1＝，∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D＝·AB1＝，在Rt△B1CD中，x2＋ 2＝(x)2，解得x＝，∴AB＝． (2)作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，如图：当点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)时，点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1­AC­D的平面角，当k＝时，由△AEF∽△CEB，可得＝，且B1E＝EB，∴cos ∠B1EF＝∈，故二面角B1­AC­D的余弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $