8.6.1 直线与直线垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．6　空间直线、平面的垂直 8．6.1　直线与直线垂直 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．掌握两异面直线所成的角的求法. 通过异面直线所成角、线线垂直概念的学习，以及计算异面直线所成角的大小，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养、直观想象素养. 对应学生用书P109 [情境引入] 　空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系． [知识梳理] [知识点]　异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图(1)(2)，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． 1.怎样做两异面直线的夹角？ 提示：(1)由“空间等角定理”可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的任一条直线上，如图． (2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间角问题转化为平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． 2．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a和b，记作a⊥b. 2.作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗？点O的位置怎样取才比较简便？ 提示：根据等角定理可知，夹角的大小与点O的位置无关．通常将O点取在其中一条直线上比较方便． 3．如果两条直线垂直，它们一定相交吗？ 提示：不一定．在空间中，两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 3．异面直线所成角的范围 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以异面直线所成角α的取值范围是0°<α≤90°. 4．异面直线所成角的求法 求异面直线所成角的步骤如下： (1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线(即作出异面直线所成的角)．这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的端点或中点，也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点． (2)证明：证明作出的角就是要求的角． (3)计算：求角度，常利用解三角形的知识． (4)下结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是要求的异面直线所成的角． 以上步骤可简记为：作、证、求、下结论． [预习自测] 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45°　　　　 B．60° C．90° D．120° 解析：B　[取A1B1的中点M，连接GM，HM. ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，∴△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角， ∴∠MGH＝60°.] 2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．90° 解析：C　[由原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC－A1B1D1C1(图略)，∵AC1∥BD1， ∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角． ∵△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°.故选C.] 3．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①AB与CD所在直线垂直； ②CD与EF所在直线平行； ③AB与MN所在直线成60°角； ④MN与EF所在直线异面． 其中正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：C　[画出原正方体如图所示， 连接DN，DM，由图可知①②错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以③AB与MN所在直线成60°角，是正确的；显然④MN与EF所在直线异面，是正确的．] 4．空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD，BC所成的角为________． 解析：如图取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD，所以∠EHF就是异面直线AD，BC所成的角(或所成角的补角)，因为AD＝BC＝2，所以EH＝HF＝1，则△EHF是等腰三角形，又EF＝，所以∠EHF＝120°，则异面直线AD，BC所成的角为60°. 答案：60° 5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1， 求证：AC⊥B1D. 证明：如图，连接BD，交AC于O， 设BB1的中点为E， 连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角． 连接AE，CE，易证AE＝CE， 又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 对应学生用书P110 异面直线的判定或证明 [例1]　如图，若点P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点．求证：PN与MC为异面直线． [思路点拨] [证明]　(方法一：反证法) 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. ∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，∴点M与点N不重合． ∵M∈α，N∈α，∴直线MN⊂α. ∵A∈直线MN，B∈直线MN，∴A∈α，B∈α. 即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾． ∴假设不成立，即PN与MC为异面直线． (方法二：判定定理法) ∵PA≠PB，∴点N与点M不重合． ∵N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM， ∴根据异面直线判定定理可知，直线PN与MC为异面直线． 判定或证明异面直线的方法有两种：(1)定义法，由定义法判定两条直线不可能在同一平面内，常用反证法； (2)判定定理法，过平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． [变式训练] 1.如图，观察正方体ABCD－A1B1C1D1，证明直线A1B与B1C，AB与B1C为异面直线． 证明：∵直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点， ∴两直线平行， ∵直线D1D与直线D1C相交于D1点， 点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内， ∴直线A1B与直线B1C异面． 同理，直线AB与直线B1C异面． 求异面直线所成角的大小 [例2]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． [思路点拨]　先通过找平行线作出角，再求解． [解]　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1， 连接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性质知BD1∥AC1， 则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a， ∵AA1与AC、AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a，∴A1 D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝． 1．平移法作异面直线所成角的策略： (1)直接平移； (2)找等分点(如中点)平移； (3)补形平移． 2．求两条异面直线所成的角的一般步骤； (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角或其补角； (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角； (3)计算：求角度，常利用三角形求解； (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． [变式训练] 2. (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　) A．30°　　　　 B．45° C．60° D．90° (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E为BC的中点，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是________． 解析：(1)连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为异面直线B1C与EF所成的角或其补角． 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. (2)如图，取B1C1的中点E1，连接A1E1，E1C， ∵AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角或其补角． ∵A1C1＝A1B1＝AA1＝2，B1C1＝2，∴∠B1A1C1＝90°. 在正方形AA1C1C中，A1C＝2． ∵A1E1⊥B1C1，A1E1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1， ∴A1E1⊥平面BB1C1C，∴A1E1⊥CE1. ∴在Rt△A1E1C中，cos∠E1A1C＝＝＝，∴异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：(1)C　(2)60° 异面直线与三角形的综合 [例3]　 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． [思路点拨]　先做出角，然后把它放到可解的三角形中求解． [解]　取AC的中点F，连接EF和BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF∥CD，∴∠FEB或其补角即为异面直线BE与CD所成的角． 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，∴AB＝AC＝1. 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝． 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝． 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝． ∴BE＝BF，∴△EBF是等腰三角形． ∴cos∠FEB＝＝＝． ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为． 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． [变式训练] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的正弦值为(　　) A．　　 B．　　 C．　 D． 解析：C　[如图所示， 取DD1中点N，连接AN，CN，AC，MN，取AC中点O，连接ON，则MN∥CD∥AB，MN＝CD＝AB，所以四边形ABMN是平行四边形，所以BM∥AN，所以∠NAC或其补角是异面直线BM与AC所成角，设正方体棱长为2，则AN＝CN＝，AC＝2， 在等腰△ANC中，O是AC中点，所以ON⊥AC，所以sin ∠NAC＝＝＝＝，即异面直线BM与AC所成角的正弦值为．] 对应学生课时P311 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　 ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 解析：D　[因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.] 2．在三棱锥A­BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　 ) A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 解析：B　[如图， 在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.] 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[如图， 因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.] 4.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[如图所示， 取BC的中点G，连接FG，EG. ∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD， 且FG＝AC，EG＝BD. ∵AC＝BD，∴FG＝EG， ∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角． ∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形． ∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.] 5．(多选题)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　 ) A．15° B．30° C．75° D．60° 解析：AC　[如图， 设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綊AB，FG綊CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角，∠GEF是EF与AB所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF. 当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.] 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论，其中正确的结论为(　　) A．直线AM与C1C是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：CD　[∵A、M、C1三点共面，且在平面ABC1D1，但C∉平面ABC1D1，C1∉AM，∴直线AM与C1C是异面直线，故A错误；因为M∈C1D1⊂平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1，但N∉平面ABC1D1，B∉AM，所以直线AM与BN也是异面直线，故B错误；因为B1∈B1C1⊂平面B1BCC1，BN⊂平面B1BCC1，但M∉平面B1BCC1，B1∉BN，所以直线BN与MB1是异面直线，故C正确；因为A∈平面A1ADD1，DD1⊂平面A1ADD1，但M∉平面A1ADD1，A∉DD1，所以直线AM与DD1是异面直线，故D正确．] 7.如图，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.则异面直线PA与BC所成的角的大小为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：C　[取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA. 同理可得EF∥BC. ∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)． 在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝， ∴DE2＝DF2＋EF2， ∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.故选C.] 8.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形． 解析：由图易证：EF綊AC綊HG，∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形． 答案：AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB与A1D1所成的角为________，直线AD1与DC1所成的角为________． 解析：因为A1B1∥AB，所以∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角． 因为∠D1A1B1＝90， 所以直线AB与A1D1所成的角为90°. 连接AB1，B1D1. 因为AB1∥DC1， 所以AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角． 又AD1＝AB1＝B1D1， 所以△AB1D1为正三角形， 所以直线AD1与AB1所成的角为60°， 即直线AD1与DC1所成的角为60°. 答案：90°　60° 10.在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成角的大小． 解：如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF. ∵EO∥AB，∴＝＝，＝＝． ∵AB＝3，∴EO＝2. 又＝，∴＝ ∴OF∥DC，∴OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角，＝＝． ∵DC＝3，∴OF＝1. 在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，所以AB和CD所成的角为90°. 11. 如图，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小． 解：(法一)　如图， 连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O， 取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G， 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1.∴∠GOA1＝90°， ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. (法二)　如图，连接A1D 取A1D的中点H，连接HE， 则HE綊DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角． 连接HF，设AA1＝1， 则EF＝，HE＝， 取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF， ∴HF2＝HI2＋IF2＝， ∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 12.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为______. 解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确. 答案：①③ 13.已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角． 解：如图， 取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝AB； PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角． 因为直线AB与CD成60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为AB＝CD，所以PM＝PN， ①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°. ②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°. 综上可知：AB与MN所成角为60°或30°. 学科网（北京）股份有限公司 $