8.5.3 平面与平面平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．5.3　平面与平面平行 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定及性质定理，并加以证明． 2．会应用平面与平面平行的判定及性质定理证明平面与平面平行. 通过探索发现平面与平面平行的判定定理及性质定理，重点培养数学抽象素养，通过应用平面与平面平行的判定定理，提升逻辑推理素养及直观想象素养. 对应学生用书P104 [情境引入] 　工人师傅将水平仪(如图(1))在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平平面(注意：当水平仪的气泡居中时，水平仪所在的直线就是水平线)． 问题　该检测原理即为两平面平行的判定定理，如何判定两平面平行？ 提示　一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则两平面平行． [知识梳理] [知识点一]　平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果一个平面内的　两条相交直线　与另一个平面平行，那么这两个平面平行． (2)符号语言：a　⊂　β，b　⊂　β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β　∥　α. (3)图形语言： 1.若平面α中有无数条直线与平面β平行，则平面α与平面β一定平行吗？ 提示：不一定．α与β可能相交或平行． 2．若一个平面内的两条直线分别与另一个平面平行，则两个平面有何位置关系？ 提示：当两条直线相交时，两平面平行； 当两条直线平行时，两平面可能相交也可能平行． 3．平面与平面平行的判定定理的实质是什么？ 提示：由线面平行可以得到面面平行． [知识点二]　平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行． 符号语言：α∥β，a⊂α⇒　a∥β　. (2)①文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． ②符号语言：α　∥　β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒　a∥b　. ③图形语言： 4.平面平行具有传递性吗？若α∥β，α∥γ，则β∥γ成立吗？ 提示：具有传递性，即平行于同一个平面的两个平面也互相平行．成立． 5．若两个平面α与β平行，则平面α内的直线与平面β有何关系？ 提示　平行．因为若α∥β则两平面没有公共点，则平面α内的任一条直线都与β无交点，故平行． 6．若α∥β，则在这两个平面内各取一点连得线段长相等吗？ 提示　不确定，当各线段平行时，才相等． [预习自测] 1．下列条件中可以推出平面α∥平面β的是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析：D　[由面面平行的判定定理知，D正确．] 2．若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 解析：D　[按不同位置关系摆放，看是否符合即可．] 3．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，且B∉a则在β内过点B的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：D　[过一点有且只有一条直线与已知直线平行．] 4．已知三条互相平行的直线a，b，c中，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的位置关系是________． 答案：平行或相交 5.如图，在三棱锥S－ABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点．求证：平面DEF∥平面ABS. 证明：∵D，E分别是棱AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB. ∵DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB， ∴DE∥平面SAB. 同理可得DF∥平面SAB. 又∵DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF， ∴平面DEF∥平面ABS. 对应学生用书P106 平面与平面平行的判定 [例1]　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1. [思路点拨]　应用判定定理证明面面平行的关键是在一个平面内找到两条相交线都与另一个平面平行． [证明]　由棱柱的性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D， 又C1D⊂平面ADC1， EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED∥A1A，ED＝A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD， 又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1， 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB， 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1. (1)证明面面平行，可从证明线面平行入手，而证明线面平行又可通过线面平行的判定定理转化为证明线线平行．证明线线平行的途径有很多，如利用对应线段成比例关系、平行四边形对边平行、梯形两底边平行、基本事实4等，做题时应灵活应用．(2)判断或证明面面平行的方法 ①平面与平面平行的定义(常用反证法)，此法很少使用． ②平面与平面平行的判定定理． ③判定定理的推论． ④如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(平行的传送性)． [变式训练] 1.如图PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E是BC边上的任意一点．当E是BC的中点时，线段AB上是否存在点G，使得平面EFG∥平面PAC，若存在指出点G位置并证明，若不存在说明理由． 解：存在G为AB中点，使得平面EFG∥平面PAC，理由如下：当G为AB中点，连接FG，GE，EF，AC，又F是PB的中点，E是BC的中点，所以EF∥PC，FG∥PA，而EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC，同理可证FG∥平面PAC，又EF∩FG＝F，即平面EFG∥平面PAC，综上，G为AB中点时平面EFG∥平面PAC. 利用面面平行证明线面平行 [例2]　如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，且AD＝2BC＝2AB＝4.AB⊥AD，四边形ABB1A1是菱形，M为A1D的中点．求证：CM∥平面AA1B1B. [思路点拨]　根据线线平行、线面平行、面面平行的判定、性质定理判断本题是有效的方法，另外要善于构造空间图形模型． [证明]　如图， 取AD的中点N，连接MN，CN. 在△ADA1中，AN＝ND，A1M＝MD，所以MN∥A1A. 在直角梯形ABCD中，BC∥AD，且BC＝ AD＝AN， 所以四边形ABCN是平行四边形，所以AB∥CN. 又AB∩AA1＝A，CN∩MN＝N. 所以平面AA1B1B∥平面CMN. 又CM⊂平面CMN，所以CM∥平面AA1B1B. 若两平面平行，则一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，这是证明线面平行的常用方法． [变式训练] 2.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝DD1＝2，∠BAD＝60°，点E在线段AB上，且AE＝2，F为线段BC的中点． 求证：C1E∥平面ADD1A1. 证明：由题意可得CC1∥DD1，且DD1⊂平面ADD1A1，CC1⊄平面ADD1A1，可得CC1∥平面ADD1A1；因为AE∥CD且AE＝CD，可知四边形ADCE为平行四边形，则CE∥AD，且AD⊂平面ADD1A1，CE⊄平面ADD1A1，可得CE∥平面ADD1A1；且CC1∩CE＝C，且CC1，CE⊂平面CC1E，可得平面ADD1A1∥平面CC1E，由C1E⊂平面CC1E，可得C1E∥平面ADD1A1. 利用面面平行证明线线平行 [例3]　如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行． 求证：四边形ABCD是平行四边形． [思路点拨]　由面面平行得到线线平行．把空间问题转化为平面问题进行计算． [证明]　在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′， ∵A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC， ∴A′B′∥平面C′D′DC. 同理A′A∥平面C′D′DC. 又A′A∩A′B′＝A′， ∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC. ∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB， 平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD， ∴AB∥CD. 同理AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形． 1．利用面面平行性质定理证明线线、线面平行的一般步骤． 2．证明线线平行的常用方法 (1)平行公理(即基本事实4)． (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. [变式训练] 3.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 证明：∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1中．AD∥BC，BB1∥AA1. AD∩AA1＝A，BC∩BB1＝B，AD，AA1⊂平面ADD1A1，BC，BB1⊂平面BCC1B1.∴平面ADD1A1∥平面BCC1B1， 又平面A1DCE∩平面ADD1A1＝A1D，平面A1DCE∩平面BCC1B1＝EC，∴EC∥A1D. 平行关系的相互转化 [例4]　已知M，N分别是底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE，求证： (1)MN∥平面PAD； (2)MN∥PE. [思路点拨]　利用平行之间的相互转化解题． [证明]　(1)如图，取DC中点Q，连接MA，NQ. ∵NQ是△PDC的中位线，∴NQ∥PD. ∵NQ⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NQ∥平面PAD. ∵M是AB中点，ABCD是平行四边形， ∴MQ∥AD，又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.从而MQ∥平面PAD. ∵MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PAD. ∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD. (2)由(1)知平面MNQ∥平面PAD，又平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面PAD＝PE， ∴MN∥PE. 1．线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示： 解题时，往往通过构造辅助平面将线线平行、线面平行转化为面面平行． 2．平行关系综合问题的证明需灵活运用三种平行关系的判定和性质定理作为论证的依据． 3．对于空间平行的探索性问题，可采用猜想再证明的思路． [变式训练] 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由． 解：取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH，EG. ∵F，G为DP，DA的中点， ∴FG∥PA. ∵FG⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴FG∥平面PAB. ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB. 而EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB. ∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面PAB. 又GH∥CD，∴GH∥EF.∴平面EFG即平面EFGH. ∴平面EFGH∥平面PAB. 又点Q∈平面ABCD， ∴点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)． ∴点Q∈GH. ∴点Q在底面ABCD的中位线GH上． 对应学生课时P309 1．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 解析：A　[如图， 易证E1G1∥平面EGH1，G1F∥平面EGH1. 因为E1G1∩G1F＝G1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.] 2．给出下列四个命题： ①若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b；②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则α∥β；③若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥β；④若直线a∥平面α，a∥平面β，则α∥β. 其中真命题的个数为(　　 ) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 解析：A　[①错误，a与b平行或异面；②错误，平面α与平面β有可能相交；③正确；④错误，平面α和平面β有可能相交．] 3. 如图，若E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[因为E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，所以A1D1∥E1F1.又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，所以A1E1∥BE，即四边形A1EBE1是平行四边形，所以A1E∥BE1.又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.] 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 解析：C　[如图， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理，则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形．] 5．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则(　　) A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1 C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1 解析：AC　[∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D， ∴FG∥平面AA1D1D，故选项A正确； ∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交， ∴EF与平面BC1D1相交，故选项B错误； ∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故选项C正确； ∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故选项D错误．] 6．(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB 解析：ABC　[ 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B，C正确．] 7.在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是__________. 解析：因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1. 同理可证BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以平面ABC∥平面A1B1C1. 答案：平行 8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在棱DD1上且满足D1E＝ED，点F是侧面ABB1A1上的动点，且D1F∥平面AEC，则动点F在侧面ABB1A1上的轨迹长度为________． 解析：如图， 取AA1的中点G，并连接GD1、GB、BD1，因为E在棱DD1上且满足D1E＝ED，即E是棱DD1的中点，所以BG∥CE，又BG⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BG∥平面AEC，同理可证D1G∥平面AEC，又BG∩GD1＝G，所以平面BGD1∥平面AEC，又平面BGD1∩平面ABB1A1＝BG，所以动点F在侧面ABB1A1上的轨迹即为BG，因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：BG＝＝． 答案： 9.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________. 解析：因为ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，且AB＝CD. 又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD， 又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH， 所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE， 所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1. 因为PA＝AB＝PB＝2， 所以PE＝，GH＝PE＝． 答案：1　 10.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，易证A1B∥D1C.因为A1B⊄平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1.又A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，A1B∩A1D＝A1，所以平面A1BD∥平面CB1D1. 11．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②. 求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG. 证明：在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG. 12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________. 解析：由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，＝2=2＝． 答案： 13.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点． (1)若N是PD上的点，MN∥平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明． (2)在PB上是否存在一点Q，使AQ∥平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由． 解：(1)MN∥BC，理由如下，因为MN∥平面ABCD，MN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴MN∥AD.又因为BC∥AD，∴MN∥BC； (2)当Q是PB的中点时，AQ∥平面BDE成立，理由如下，取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴QF∥BE.∵QF⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴QF∥平面BDE，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，∴E为CF的中点，∴OE∥AF，∵AF⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE，又QF∩AF＝F，∴平面AQF∥平面BDE，∵AQ⊂平面AQF，∴AQ∥平面BDE. 学科网（北京）股份有限公司 $