8.5.2 直线与平面平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．5.2　直线与平面平行 课程标准 素养解读 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用两个定理解决空间中的平行关系. 应用线面平行的判定与性质解决空间中的平行关系，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理素养. 对应学生用书P101 [情境引入] 小王跟着老师傅学木工，遇到了一个小问题：师傅让他在一块长方体的木料上画线，需过平面A1C1内一点P与棱BC将木料锯开． 问题　他应该怎样画线？ 提示　由线面平行的性质定理知，在A1B1C1D1中作过P的直线与BC平行． [知识梳理] [知识点一]　直线与平面平行的判定定理 (1)文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的　一条直线平行　，则该直线与此平面平行． (2)符号语言：　a⊄α　，　b⊂α　，且　a∥b　⇒a∥α. (3)图形语言： 1.若a∥b，b⊂α，则a∥α，对吗？ 提示：不对．直线a可能在α内． 2．若a∥b，b∥α，则a∥α，对吗？ 提示：不对．直线a可能在α内． 3．由以上1、2可知，在运用定理判定直线与平面平行，哪些条件是不能少的？ 提示：线面平行的判定定理包含三个条件： ①直线a在平面α外，即a⊄α；②直线b在平面α内，即b⊂α；③两直线a、b平行，即a∥b，三个条件缺一不可． [知识点二]　直线与平面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面　平行　，如果过直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线　平行　. (2)符号语言：　a∥α　，a　⊂　β，α∩β＝b⇒　a∥b　. (3)图形语言： 4.如果一条直线与平面α内的一条直线平行，则这条直线与平面平行吗？ 提示：这条直线可能在平面α内.5.如果直线a与平面α平行，那么a与α内的直线有怎样的位置关系？ 提示　若a∥α在α内除了与a平行的直线外，其余都与a异面． [预习自测] 1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 解析：D　[线面平行，则线面无公共点，所以选D；a与平面α内的所有直线都不相交，故A、B、C错误．] 2．下列命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b. 其中正确命题的个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析：A　[①中a可能在α内；②中a与b可能相交或平行或异面；③中a也可在α内；④中a与b也可能异面．] 3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　) A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 解析：B　[依题意，得直线l∩α＝A(如图)．α内的直线若经过点A，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l是异面直线．] 4.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________． 解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE. 答案：平行 5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点，求证：AB1∥平面BEC1. 证明：如图，连接B1C，设BC1∩B1C＝D，连接DE， ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱． ∴四边形BCC1B1是矩形， ∴D是B1C的中点． ∵E是AC的中点，∴AB1∥DE. 又DE⊂平面BEC1，AB1⊄BEC1， ∴AB1∥平面BEC1. 对应学生用书P102 直线与平面平行的判定 [例1]　已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE. [思路点拨] [证明] 法一　作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，如图，则PM∥QN， 又∴＝，＝． 又∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ. 又AB＝CD，∴PM＝QN. ∴四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN. 又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 法二　连接AQ，并延长交直线BC于R，连接ER，如图． ∵AD∥BR.∴＝． 又DQ＝AP，DB＝AE， ∴＝．∴PQ∥ER. 又PQ⊄平面CBE，ER⊂平面CBE， ∴PQ∥平面CBE. 1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线． 2．证明线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实等． [变式训练] 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B. 证明　法一：如图(1)，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，连接EF， 则EF⊂平面AA1B1B， ＝，＝． ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝DN， ∴B1M＝NB. 又B1C＝BD，∴＝＝， ∴ME＝NF. 又ME∥BC∥AD∥NF， ∴四边形MEFN为平行四边形， ∴MN∥EF. ∵MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B. 法二：如图(2)，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B1P， 则B1P⊂平面AA1B1B. ∵△NDC∽△NBP， ∴＝． 又CM＝DN，B1C＝BD， ∴＝＝， ∴MN∥B1P. ∵MN⊄平面AA1B1B，B1P⊂平面AA1B1B， ∴MN∥平面AA1B1B. 直线与平面平行的性质定理 [例2]　如图，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上．求证：四边形MNPQ是平行四边形． [思路点拨]　可先利用线面平行的性质定理，转化为线线平行，再利用平行的传递性，转化到与交线平行． [证明]　∵AB∥平面MNPQ，过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ， ∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. ∴四边形MNPQ为平行四边形． 1．利用线面平行的性质定理证题的一般步骤． 2．性质定理可以看做直线和直线平行的判定定理． [变式训练] 2.如图，已知正三棱柱(底面是正三角形，侧面是矩形的棱柱)ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明． 解：D为AA′的中点，证明如下： 取BC的中点F，连接AF，EF，设EF与BC′交于点O，易证A′E綊AF.易知A′，E，F，A共面，因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO.所以A′E∥DO.在平行四边形A′EFA中，因为O是EF的中点(因为EC′∥BC，且EC′＝BF)，所以D点为AA′的中点． 直线与平面平行判定和性质定理的 综合应用 [例3]　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l. 问：(1)l与BC是否平行？说明理由； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． [思路点拨]　 [解]　(1)平行，理由如下： 因为BC∥AD，BC⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC， 所以BC∥l. (2)平行．证明如下：如图所示， 取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE. 又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD. 所以MN∥平面PAD. 1．． 2．应用线面平行判定定理，关键找或作平行线，应用线面平行性质关键找(或作)过线的平面． [变式训练] 3.木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面ABCD内有一裂纹DM，已知B′C′平行于平面AD.他打算经过点M和棱B′C′将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？ 解：由于B′C′∥平面ABCD，B′C′⊂平面BB′C′C，平面BB′C′C∩平面ABCD＝BC，所以BC∥B′C′，如图，过平面ABCD上一点M作EF∥BC，所以EF∥B′C′，所以E，F，B′，C′四点共面，连接B′E和C′F，则B′E，C′F，EF就是所要画的线． 对应学生课时P307 1．下列命题正确的个数是(　　 ) ①若直线a∥b，b⊂α，则a∥α ②若直线a∥α，b⊂α，则a∥b ③若直线a∥b，直线a∥α，则b∥α ④若直线a∥α，直线b∥α，则b∥a A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 解析：A　[①若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b或a，b异面；③若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α； ④若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交或a、b异面．] 2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　 ) A．m∥α，m∥n⇒n∥α B．m∥α，n∥α⇒m∥n C．m∥α，m⊂β，α∩β＝n⇒m∥n D．m∥α，n⊂α⇒m∥n 解析：C　[A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确．D中m，n可能异面．] 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中与平面D1AC不平行的是(　　 ) A．A1B　　 B．BB1　　 C．BC1　　 D．A1C1 解析：B　[∵A1B∥D1C，∴A1B∥平面D1AC. ∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面D1AC.∵A1C1∥AC.∴A1C1∥平面D1AC.] 4．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下面三个条件： ①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③a⊂γ，b∥β.如果说法“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”是正确的，则可以在横线处填的条件是(　　 ) A．①或②　　　　 B．②或③ C．①或③ D．只有② 解析：C　[①中a∥γ，b⊂β，γ∩β＝b，得出a∥b；③中a⊂γ，b∥β，b⊂γ，α∩β＝a，β∩γ＝a，得出a∥b.] 5．(多选题)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则(　　) A．AC⊥BD B．AC∥平面PQMN C．AC＝BD D．M，N分别是线段DC，AD的中点 解析：AB　[由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN，故B正确．] 6.(多选题)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出四个结论，其中正确的是(　　) A．OM∥平面PCD B．OM∥平面PDA C．OM∥平面PBA D．OM∥平面PBC 解析：AB　[矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是中位线，故OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为点M在PB上，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．] 7．在四面体A－BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 解析：MN∥AB. 答案：平面ABD与平面ABC 8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． 解析：由于在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2， 所以AC＝2．又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点，所以EF＝AC＝． 答案： 9.如图为正方体ABCD－A1B1C1D1切去一个三棱锥B1－A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是__________． 解析：如图， 将其补成正方体ABCD－A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1＝OB，即四边形D1OBO1为平行四边形，则D1O∥O1B，因为BO1⊂平面A1BC1，D1O⊄平面A1BC1，所以直线D1O∥平面A1BC1. 答案：平行 10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1. 证明：如图，连接SB. 因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 又SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1， 所以直线EG∥平面BDD1B1. 11.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 证明：如图所示， 连接AC交BD于O，连接MO， 因为ABCD是平行四边形， 所以O是AC中点，又M是PC的中点，所以AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD. 因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP∥GH. 12. 正四棱锥S­ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，则线段PQ的长为________． 解析：如图所示： 连接并延长CP与DA交于点E，连接SE，H为AD中点，连接SH，BP∶PD＝1∶2，故PC∶EP＝1∶2，ED＝2BC＝2，PQ∥平面SAD，平面ESC∩平面SAD＝ES，PQ⊂平面ESC，故PQ∥ES，故PQ＝ ES，SH⊥AD，故cos ∠SDA＝＝，ES2＝DE2＋DS2－2DE·DScos ∠SDA＝4＋4－2×2×2×＝6，ES＝，故PQ＝． 答案： 13.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置． 解：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBM交AE于点N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C， BF⊂平面FBM，平面FBM∩平面AA1C1C＝MN.所以FB∥MN. 又MB∥平面AEF，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN＝FB＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC， MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 学科网（北京）股份有限公司 $