8.5.1 直线与直线平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．5　空间直线、平面的平行 8．5.1　直线与直线平行 课程标准 素养解读 1.了解基本事实4和定理． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系. 通过学习基本事实4和定理，培养数学抽象核心素养，在应用基本事实4和定理的过程中，提升直观想象、逻辑推理核心素养. 对应学生用书P98 [情境引入] 1．如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 提示　不一定．这两条直线可能相交、平行或异面． 2．同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．空间中是否有类似规律？ 提示　有．观察图形有∠AOB＝∠A′O′B′. [知识梳理] [知识点一]　直线与直线平行 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一 条直线的两 条直线平行 a∥c，b∥c⇒a∥b 作为证明空间中两条直线平行的依据 用此定理证明空间中两条直线a，b平行的步骤：(1)先找到直线c；(2)证明a∥c，同时b∥c； (3)得到a∥b. 证明两条直线平行还可以依据平行线的定义：平面内没有交点的两条直线为平行直线． 依据平行线的定义证明两条直线平行的步骤：(1)证明两条直线共面；(2)证明两条直线没有交点． [知识剖析] 基本事实4所表述的性质也叫作空间平行线的传递性，这是对初中所学的平行线的传递性内容的推广．注意并非所有对于平面图形成立的结论对于立体图形都成立． [知识点二]　空间等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 符号表示：已知∠AOB和∠A′O′B′，AO∥A′O′，BO∥B′O′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°，如图． [知识剖析] (1)此定理实质上由如下两个结论合成：①若一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． (2)此定理表明，把空间一角平移后，角的大小不变． (3)由这个定理可推出，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等． 1.基本事实4有什么作用呢？ 提示：可用于证明空间中两条直线平行，也可用于作空间中直线的平行线． 2．空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补呢？ 提示：观察两个角在空间中张口的相对方向，当方向相同时，两角相等；当方向相反时，两角互补． 3．两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角(或直角)相等吗？ 提示：相等． [预习自测] 1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　) A．60° B．120° 　 C．30°　 D．60°或120° 解析：D　[由等角定理可知，β为60°或120°.] 2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，则这两个三角形(　　) A．全等　　　　　　　 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 解析：B　[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．] 3．下列命题中，真命题有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；’ ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 解析：B　[如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以①为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以③为假命题；②④是真命题．] 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________． 解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC. 又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1. 答案：平行 5．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． 证明　如图，连接AC. ∵M，N分别为棱CD，AD的中点，∴MN綊\f(1,2)AC.由正方体的性质可知AC綊A′C′，∴MN綊\f(1,2)A′C′，∴A′N与MC′相交， 即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′， ∴四边形MNA′C′是梯形． 对应学生用书P99 　　　平行线的传递性(基本事实4)的应用 [例1]　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形． [思路点拨]　利用基本事实4转化． [证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH∥BD，EH＝BD. 因为EF＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形． 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线；(2)利用三角形的中位线平行于第三边这一性质；(3)利用基本事实4；(4)利用平行四边形的对边互相平行这一性质． [变式训练] 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1. 证明　如图．取BB1的中点G，连接GC1，GE. ∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F， ∴四边形BGC1F为平行四边形， ∴BF綊GC1. 又∵EG綊A1B1，A1B1綊D1C1，∴EG綊D1C1， ∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1.∴BF綊ED1. 空间等角定理及其应用 [例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1. [思路点拨]　等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情形都有可能． [证明]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝\f(1,2)AB.连接MF1，MB，F1C.∵BF∥A1M， ∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. ∵F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，∴F1M綊C1B1. ∵C1B1綊CB，∴F1M綊CB， ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C. 又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C.取A1D1的中点N， 连接E1C，ND. 同理得A1E∥CE1. ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且两边方向对应相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1. 证明角相等常用以下三种方法：(1)利用三角形相似；(2)利用三角形全等；(3)利用空间等角定理．根据等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两条边分别对应平行；②证明两个角的两条边的方向相同或者相反． [变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 证明　如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1綊AE，∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1A綊E1E.又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B， ∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，且方向相同，∴∠B1E1C1＝∠BEC. 对应学生课时P305 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D，平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　 ) A．相交　　　　　　 B．异面 C．平行 D．垂直 解析：C　[连接AD1，CD1，AC(图略)，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.] 2．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有________条(　　) A．1 B．2 C．0 D．0或1 解析：C　[反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.] 3．如图所示，在三棱锥S­MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(　　 ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析：A　[∵E、F分别是SN和SP的中点， ∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.] 4．下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 解析：B　[①错误，两条直线可以异面；②正确，平行的传递性；③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；④正确，平行的传递性．] 5.如图在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是(　　) A．M，N，P，Q四点共面 B．∠QME＝∠CBD C．△BCD∽△MEQ D．四边形MNPQ为梯形 解析：D　[由题图可知，在△ABC中，M，N，P，Q分别是AB，BC的中点，所以MN∥AC，且MN＝AC，同理在△ADC中，QP∥AC，且QP＝AC，所以MN∥QP，MN＝QP，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以M，N，P，Q，四点共面，所以A正确；在△ABC中，由中位线定理得ME∥BC，同理在△ABD中，由中位线定理得MQ∥BD，所以由等角定理知，∠QME＝∠DBC，所以B正确；在△ADC中，由中位线定理得QE∥DC，所以ME∥BC，MQ∥BD，QE∥DC, 所以由等角定理可知，∠QME＝∠DBC，∠QEM＝∠DCB，∠MQE＝∠BDC，所以△BCD∽△MEQ，所以C正确；由上述分析得四边形MNPQ为平行四边形，所以D错误；故选：D.] 6．(多选题)在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　) A．PQ＝MN B．PQ∥MN C．M，N，P，Q四点共面 D．四边形MNPQ是梯形 解析：BCD　[由题意知PQ＝DE，且DE≠MN， 所以PQ≠MN，故A不正确；又PQ∥DE，DE∥MN， 所以PQ∥MN，又PQ≠MN，所以B，C，D正确．] 7．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c. 解析：①错误，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知． 答案：②④ 8．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若\f(AE,AB)＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为________． 解析：如图 在△ABD中，∵＝＝，∴EH∥BD且EH＝ BD. 在△BCD中，∵＝＝， ∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH＞FG，∴四边形EFGH为梯形． 答案：梯形 9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，H分别为棱C1D1，C1C，DD1的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④∠DAH＝∠CBN. 其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析：∵A，M，C，C1四点不共面， ∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误； 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 易得∠DAH＝∠CBN，故④正确． 故答案为：③④ 答案：③④ 10.如图，P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝AC. 证明：如图，连接PD，PE并延长分别交AB，BC于M，N. 因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点，连接MN，则MN∥AC，且MN＝AC.① 在△PMN中，因为＝＝， 所以DE∥MN，且DE＝ MN.② 由①，②，根据基本事实4，得： DE∥AC，且DE＝× AC＝ AC. 11．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形． 解：∵梯形ABCD中，AB∥CD， E、F分别为BC、AD的中点，∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)， 又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. ∵G、H分别为AD′、BC′的中点， ∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)， ∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形． 12．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为________． 解析：EH＝3，FG＝6×＝4，设EH，FG间的距离为h， 则S梯形EFGH＝＝28，得h＝8 (cm)． 答案：8 cm 13.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N，P分别为AA1，BB1，CC1的中点．求证：∠MC1N＝∠APB. 证明：因为N，P分别是BB1，CC1的中点，所以BN∥C1P，BN＝C1P，所以四边形BPC1N为平行四边形，所以C1N∥BP.同理可证C1M∥AP，又∠MC1N与∠APB方向相同，所以∠MC1N＝∠APB. 学科网（北京）股份有限公司 $