8.5.1 直线与直线平行 学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

直线与直线平行 学习目标 1.掌握基本事实4,并能用其解决相关问题. 2.理解等角定理，能运用等角定理解决一些简单的相关问题. 学习活动 目标一：掌握基本事实4,并能用其解决相关问题. 任务1：观察长方体，回答问题，理解基本事实4. 问题：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗？观察你所在教室，你能找到类似的实例吗？ 【新知讲解】 思考：经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？ 任务2：利用基本事实4，判断空间中四边形形状. 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 思考：在题中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? 练一练： 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 【方法归纳】 目标二：理解等角定理，能运用等角定理解决一些简单的相关问题. 任务：结合图象，利用基本事实4，猜想并证明等角定理. 问题：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立？并证明你的猜想. 【归纳总结】 练一练： 已知，，，则( ) A. B.或 C. D.或 学习总结 任务：根据下列关于平面的关键词，构建知识导图. “基本事实4”、“等角定理” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与直线平行 学习目标 1.掌握基本事实4,并能用其解决相关问题. 2.理解等角定理，能运用等角定理解决一些简单的相关问题. 学习活动 目标一：掌握基本事实4,并能用其解决相关问题. 任务1：观察长方体，回答问题，理解基本事实4. 问题：如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗？观察你所在教室，你能找到类似的实例吗？ 参考答案： 可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。 【新知讲解】 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 用符号可表示为：. 思考：经过直线外一点有几条直线和这条直线平行？ 参考答案：有且只有1条. 任务2：利用基本事实4，判断空间中四边形形状. 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。 参考答案：连接BD，∵EH是△ABD的中位线，∴EH//BD,且EH=BD.同理FG//BD,且FG=BD.∴EH//FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形 思考：在题中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? 参考答案：菱形. 练一练： 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形. 参考答案： 如图,连接A′C′, 因为M,N分别是A′D′,C′D′的中点,所以MN∥A′C′,且MN=A′C′.由正方体性质可知A′C′∥AC,且A′C′=AC.所以MN∥AC,且MN=AC, 所以四边形ACNM是梯形. 【方法归纳】 证明空间中两条直线平行的方法： 1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明． 2.利用基本事实：即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 目标二：理解等角定理，能运用等角定理解决一些简单的相关问题. 任务：结合图象，利用基本事实4，猜想并证明等角定理. 问题：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立？并证明你的猜想. 参考答案： 与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置。对于图一，我们可以构造两个全等三角形进行证明。 如图，分别在∠BAC和∠B’A’C’的两边上截取DA,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’，AE=A’E’.连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’ ∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形 ∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’ ∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’ ∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C’ 对于第二种情况我们可以参照第一种，再利用邻补角的性质可证得.这样我们得到如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 【归纳总结】 等角定理：如