8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 课程标准 素养解读 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养. 对应学生用书P94 [情境引入] 深夜的街道非常寂静．路口处只有几盏灯亮着，斑马线上无人走过． 问题　街道上斑马线所在直线都互相平行吗？ 提示　互相平行． [知识梳理] [知识点一]　空间中直线与直线的位置关系 1．异面直线 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作　异面直线　. 2．空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种：　相交、平行和异面　. (1)相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 . (2)平行直线：在同一平面内，没有公共点 . (3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 . 3．空间中两条直线位置关系的分类 　空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： (1)从有无公共点的角度分类： 直线 (2)从是否共面的角度分类： 直线 1.分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？ 提示： (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点． (2)“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”二字必不可少．不能把“不同在任何一个平面内”误认为“不同在某一平面内”．例如，图(1)中直线a⊂α，直线b⊄α，a∥b，不能因a，b不同在平面α内就误认为a与b异面．实际上，由a∥b知a与b共面． (3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者指的是分别在两个平面内确定的两条直线，这两条直线的位置关系不能确定．它们可能平行[如图(1)]，也可能相交[如图(2)]，还可能异面． 4．异面直线的画法 画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交的特点，通常用一个或两个平面衬托，以加强直观性，如图． [知识点二]　空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种： (1)直线在平面内——　有无数个公共点　； (2)直线与平面相交——　有且只有一个公共点　； (3)直线与平面平行——　没有公共点　. 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为　直线在平面外　.直线a在平面α外可用a⊄α来表示． 2．空间中直线与平面位置关系的符号表示和图形表示 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2.怎样具体画直线与平面相交？ 提示：一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，勿画在平行四边形外；直线a与平面α相交时，应画成直线与平面有一个公共点，被平面遮住部分画成虚线或者不画；直线与平面平行时，表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的一条边平行． 3．直线和平面位置关系的分类 (1)按公共点个数分类： (2)按是否平行分类： (3)按直线是否在平面内分类： 3.如何判断一条直线在平面内呢？ 提示：利用基本事实1判断． 4．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”意义相同吗？ 提示：不同．前者包括直线与平面平行和直线在平面内两种情况，后者仅指直线与平面平行． [知识点三]　空间中平面与平面的位置关系　(重点) 1．两个平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： (1)两个平面平行——　没有公共点　； (2)两个平面相交——　有一条公共直线　. 2．平面与平面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系 图形表示 符号表示 公共点情况 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝a 有一条公共直线 5.两个平面会只有1个交点吗？ 提示：根据基本事实3，若两个不重合的平面相交，则有一条公共交线，而不会只交于一点． 6．平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a和平面β的关系是什么？ 提示：a∥β.∵α∥β， ∴平面α与平面β无公共点． 又∵a⊂α，∴直线a与平面β无公共点， ∴a∥β. 3．两个平行平面的画法 　画两个平行平面时，注意要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图． 7.判断线面、面面位置关系的方法有哪些？ 提示：依据定义，判断线面、面面位置关系的方法是看公共点的个数：若线面没有公共点，则线面平行；若线面有且只有一个公共点，则线面相交；若线面有无数个公共点，则线在面内；若面面没有公共点，则面面平行；若面面有公共点，则面面相交． [预习自测] 1．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2(　　) A．是异面直线 B．是相交直线 C．是平行直线 D．可能是相交，或平行，或异面直线 解析：D　[构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D.] 2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　) A．平行　　　　　　 B．相交 C．垂直 D．异面 解析：C　[若直线l∥平面α，则直线l不会和平面α内的任何直线相交，所以排除B. 若直线l与平面α相交，则直线l不会和平面α内的任何直线平行，所以排除A. 若直线l⊂平面α，则直线l和平面α内的任何直线都是共面直线，所以排除D.] 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是(　　) A．三条交线为异面直线 B．三条交线两两平行 C．三条交线交于一点 D．三条交线两两平行或交于一点 解析：D　[三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是互相平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点．] 4．给出下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，，则a与b平行或异面； ④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交． 其中正确的是________．(将你认为正确的说法的序号都填上) 解析：分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，所以可能平行，也可能异面，所以③正确；④中a与β也可能平行． 答案：③ 5.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的位置关系并证明你的结论． 解：a∥b，a∥β证明如下： 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ， 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ， ∵α∥β，a⊂α，b⊂β.∴a，b无公共点． 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点． 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 对应学生用书P96 空间中两直线位置关系的判定 [例1]　如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱和中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)． [思路点拨] [解析]　如题干图①中，GH∥MN. 图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面． 图③中，连接GM，GM∥HN，因此，GH与MN共面． 图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面． 所以图②，④中GH与MN异面． [答案]　②④ 判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α则AB与l是异面直线(如图)． [变式训练] 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 解析： 序号 结论 理由 (1) 平行 因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C (2) 异面 A1B与B1C不同在任何一个平面内 (3) 相交 D1D∩D1C＝D1 (4) 异面 AB与B1C不同在任何一个平面内 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 直线与平面的位置关系 [例2]　下列说法中，正确的有(　　) ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面． A．0个　 B．1个　　 C．2个　　 D．3个 [思路点拨]　利用定义进行判断，为提高准确性，可选择适当的载体． [解析]　B　[如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．] 直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决． 另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． [变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD； (2)CN所在的直线与平面ABCD； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1； (4)CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 解：(1)∵A∈平面ABCD，M∉平面ABCD，∴AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)∵C∈平面ABCD，N∉平面ABCD，∴CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)因为在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AM⊂平面ABB1A1，所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交． 平面与平面的位置关系 [例3]　以下四个命题中，正确的命题有(　　) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交． A．③④ B．②③④　 C．②④　 D．①④ [思路点拨]　作出图形或选择适当的几何体，根据平面与平面之间位置关系的定义作出判断． [解析]　A　[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．] 平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点． [变式训练] 3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行　　　　 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 解析：C　[根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．] 对应学生课时P303 1．异面直线是指(　　) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 解析：D　[对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除． 对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除． 对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.] 2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　　 ) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：A　[由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．] 3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　 ) A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解析：D　[根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．] 4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　 ) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：D　[由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．] 5.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线BN与MB1是异面直线 C．直线AM与BN平行 D．直线A1M与BN共面 解析：BD　 [A选项，∵A，M，C，C1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；B选项，∵B、N、M、B1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；C选项，取DD1的中点E，连接AE、EN，则有AB∥EN，AB＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故C错误；D选项，连接A1M，MN，NB，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知：BA1∥D1C，所以MN∥A1B，∴A1，B，M，N四点共面，∴直线A1M与BN共面，故选项D正确．] 6．(多选题)以下四个命题正确的是(　　) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面 解析：AC　[由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确； 由a⊂α，b⊂β，若直线a，b相交，平面α，β必相交， 若平面α，β相交，平面α内的直线a，β内的直线b未必相交，可能异面；B错误． 由基本事实3，C正确． 对于D，若n条直线相交于同一点，则它们未必共面．] 7．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l.现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②l∥AD；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④l与平面SCD所成的角为45°.其中，正确结论的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[因为底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，所以ACBD为正方形，所以AD∥BC，又BC⊂平面SBC，AD⊄平面SBC，所以AD∥平面SBC，①正确；因为平面SAD∩平面SBC＝l，AD⊂平面SAD，AD∥平面SBC，所以l∥AD，②正确；当∠ASB≤90°时，△SAE的最大面积等于△SAB的面积，当∠ASB＞90°时，△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90°的截面三角形的面积，所以③不正确；因为l∥AD，所以l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，就是∠ADC，易知∠ADC＝45°，所以④正确．综上，正确结论的个数为3，故选C.] 8．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是________． 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交． 答案：③ 9．下列命题正确的有________． ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线； ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面； ⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b. 解析：①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的． 答案：①⑤ 10．如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？ 解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， ∴直线A′B在平面ABB′A′内． ∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B， ∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交． ∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交． ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．平面A′B∥平面CD′， 平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC、平面A′C′都相交． 11．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断c与a的位置关系，并说明理由． 解：(1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α. (2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a、b⊂γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内， 因此a∥b.又c∥b，所以c∥a. 12．给出下列命题： ①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为________． 解析：两个平面相交，则两个平面就是只有一条公共的交线，故①②错误；若空间中的任意三点在一条直线上，则经过这三点就有无数个平面，故③错误；④是正确的． 答案：④ 13.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明． 证明：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连接NB并延长，交EF的延长线于点M，连接AM，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面， 因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB， 而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点． 又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，所以AM为这两平面的交线． 学科网（北京）股份有限公司 $