8.4.1 平面-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8．4.1　平　面 课程标准 素养解读 1.掌握平面的基本事实和推论，会用符号表达基本事实与推论． 2．会用平面的基本事实和推论描述点、直线、平面之间的位置关系. 从直观认识的基础上论证点、线、面之间的位置关系，发展培养学生的空间想象素养与逻辑推理素养. 对应学生用书P89 [情境引入] 　我们的桌面、椅面都给我们平面的形象，而且木匠在做桌面时，也要求它是平的，并且用直尺在桌面上任意移动来判断所做桌面是否平． 问题　判断一个面是否是平面的依据是什么？ 提示　如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面． [知识梳理] [知识点一]　平面的概念 (1)几何里所说的“平面(plane)”就是从一些物体中抽象出来的，无厚薄，无大小，是无限延展的一个几何概念． (2)平面通常用　平行四边形　表示，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．也可以用其它的平面图形来表示，如三角形、梯形等． (3)常把一个希腊字母如α，β或γ等写在表示平面的平行四边形的一个角上来表示平面．如图(1)所示，表示平面α.如图(2)所示，表示平面α、平面β也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图(1)所示中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD. [知识点二]　点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线上 A∈l 点A在直线外 A∉l 点A在平面内 A∈α 点A在平面外 A∉α 直线l在平面内 l⊂α 直线l在平面外 l⊄α 1.一望无际的海平面是平面吗？ 提示：不是，平面是无限延展的． 2．直线l在平面α外，则l与α一定没有公共点吗？ 提示：不一定．当l与α相交时，l在α外，但有一个公共点． [知识点三]　平面的基本性质 (1)基本事实1 ①文字语言：过　不在一条直线上　的三个点，有且只有一个平面． ②符号语言：A、B、C三点不共线⇒存在唯一的α使　A、B、C∈α　. ③图形语言： (2)基本事实2 ①文字语言：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． ②符号语言：　A∈l　，　B∈l　，且A∈α，B∈α⇒　l⊂α　. ③图形语言： (3)基本事实3 ①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的　公共直线　. ②符号语言：P　∈　α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P　∈　l. ③图形语言： (4)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论1亦可说成：直线及其外一点　确定　一个平面． 推论2：经过两条　相交　直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条　平行　直线，有且只有一个平面． 3.以下条件能确定一个平面吗？ (1)一条直线以及直线外一点； (2)两条相交直线； (3)两条平行线． 提示：根据基本事实2，易知以上三个条件都能确定一个平面．此三个结论可作为“基本事实2”的三个推论，在推理证明中可直接运用． 4．由基本事实3知，两个不重合的平面的所有公共点都在哪里呢？利用公理3可证明什么问题呢？ 提示：都在交线上，可证明多点共线问题． [预习自测] 1．下列说法正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点 解析：C　[不共线的三点可以确定一个平面，排除A；四边形可以是空间四边形，排除B；根据基本事实3可以知道D不正确，故选C.] 2．图中表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　) 答案：D 3．在下列命题中，不是基本事实的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析：A　[选项A是面面平行的性质定理，是由基本事实推证出来的，而基本事实是不需要证明的，故选A.] 4．如图所示，点A　______　平面ABC；点A________平面BCD；BD______平面ABD；BD______平面ABC；平面ABC∩平面ACD＝________；________∩________＝BC. 答案：∈　∉　⊂　⊄　AC　平面ABC　平面BCD 5．证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内． 已知：如图AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C 求证：直线AB，BC，AC共面． 证明：已知点A，B，C不在同一条直线上． 由基本事实1，知过A，B，C三点可以确定一个平面α. 则A∈α，B∈α.由基本事实2，知AB⊂α. 同理可证AC⊂α，BC⊂α. ∴直线AB，BC，CA共面． 对应学生用书P91 对平面概念的理解 [例1]　现有下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　 D．4 [思路点拨]　依平面的概念判断． [解析]A　[由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确．其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确．故选A.] 对平面概念的理解要类比“平面几何中的直线”，与表示平面的实物区分开． 总结平面的特征：①平整；②无厚度；③无边界(大小)． [变式训练] 1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)平面的形状是平行四边形； (2)矩形可以表示平面； (3)平面ABCD的面积为10 cm2； (4)4个平面重叠起来比3个平面重叠起来厚． 解： 题号 结论及理由 (1) 错误．因为平面是无限延展的． (2) 正确．除了用平行四边形表示平面外，有时也用矩形、圆等表示平面． (3) 错误．平面是不可度量的，无大小，无面积． (4) 错误．平面不可度量，无厚薄. 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示 [例2]　用符号语言表示下列语句，并画出图形． (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. [思路点拨]　依据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示． [解]　(1)符号语言表示α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)． (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)． 点与直线(或平面)的关系为元素与集合的关系，用“∈”或∉表示点与直线(或平面)的关系；直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“∈”，只能用“⊂”，或“⊄”表示． [变式训练] 2．用符号表示下列语句，并画出相应的图形． (1)点A在平面α外，点B在平面α内，直线l经过点A，B； (2)平面α和β的交线是直线a，直线b经过α内不在直线a上的点P且经过β内不在直线a上的点Q. 解： (1)A∉α，B∈α，A∈l，B∈l.大致图形如图(1)． (2)α∩β＝a，P∉a，Q∉a，P∈α，Q∈β，P∈b，Q∈b.大致图形如图(2)． 点、线共面问题 [例3]　如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面． [思路点拨]　本题中直线较多，分别呈现“平行、相交”的位置关系，由基本事实可知，它们都能确定一个平面，所以证明不同平面重合即可． 证明　∵a∥b，∴a，b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵b∥c， ∴b，c确定一个平面β. 同理可证l⊂β. 于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l. 又∵b与l不重合∴α与β重合，∴a，b，c，l共面． 点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法． [变式训练] 3．在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是(　　) 解析：B　[对于选项A，如图，点E、F、H确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；对于选项B，连接底面对角线AC，由中位线定理得FG∥AC，又EH∥AC， 则EH∥FG，故E、F、G、H四点共面；对于选项C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面．] 点共线、线共点 [例4]　(1)如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点．求证：FE，HG，DC三线共点． [思路点拨]　可先证明两条直线相交于一点，再证明该交点也在另外一条直线上． (1)[证明]　如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1＝EB，∴四边形HC1BE是平行四边形，∴HE∥C1B. 又C1G＝GC，CF＝BF， ∴GF∥C1B，且GF＝C1B. ∴GF∥HE，且GF≠HE，∴HG与EF相交．设交点为K， ∴K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，∴K∈平面D1C1CD. ∵K∈EF，EF⊂平面ABCD，∴K∈平面ABCD， ∵平面D1C1CD∩平面ABCD＝DC，∴K∈DC， ∴EF，HG，DC三线共点． (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． [思路点拨]　先证两点的连线是某两个平面的交线，再证第三个点也是这两个平面的公共点． (2) [证明]　如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线． 点共线与线共点的证明方法 1．点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上． 2．三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点． [变式训练] 4.已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线． 证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线． 两平面的交线问题 [例5]　如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线． [思路点拨]　找这两个平面的两个公共点即可． [解]　在平面AA1D1D内，连接D1F并延长． ∵D1F与AD不平行，∴D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA. 又FD1⊂平面BED1F， ∴P∈平面BED1F， 又DA⊂平面ABCD， ∴P∈平面ABCD. ∴P为平面BED1F与平面ABCD的公共点． 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，则PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线． 两点确定一条直线，由平面基本事实3知，要想画出两个平面的交线，只需找到两个平面的两个公共点即可． [变式训练] 5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AB，A1D1，BB1的中点．画出过M，N，P的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线． 解：设M，N，P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B交于MP. 连接MP并延长交A1B1的延长线于一点，设为R，连接NR，则NR为平面α与平面A1B1C1D1的交线． 设RN∩B1C1＝Q，则PQ是α与平面BB1C1C的交线，如下图所示． 对应学生课时P301 1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　 ) 解析：D　[A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B，C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．] 2．能确定一个平面的条件是(　　 ) A．空间三个点　　 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 解析：D　[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．] 3．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(　　 ) A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 解析：B　[如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确．] 4．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　 ) 解析：D　[在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D.] 5．(多选题)下列命题中，错误的是(　　 ) A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面 B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面 C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面 D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 解析：ACD　[因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故B正确，ACD错误．] 6．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则(　　) A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，D1四点共面 D．G，E，O1，O2四点共面 解析：ACD　[因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面．故D正确．] 7．已知α，β为不重合的两个平面，A，B，M，N为空间中不同的四个点，a为直线，则下列推理正确的是________．(填序号)①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A. 解析：对于①，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事实：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，可知a⊂β，故①正确；对于②，由M∈α，N∈α，可知MN⊂α，同理，MN⊂β，所以α∩β＝MN，故②正确；对于③，若A∈α，A∈β，则A∈(α∩β)，由基本事实：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，可知α∩β是经过点A的一条直线而不是点A，故③不正确． 答案：①② 8．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l、C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是________． 解析：∵AC∥BD， ∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线． 答案：共线 9．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面． (2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面． 解析：(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面． (2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面． 答案：(1)4　(2)7 10．如图，在四面体A－BCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K. 求证：M、N、K三点共线． 解：∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD， ∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， ∴M在平面PQR与平面BCD的交线上． 同理可证，N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上． ∴M、N、K三点共线． 11．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出直线l的位置； (2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长． 解： (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置． (2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a. ∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a. 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是________．(填序号)． (1)直线AC1在平面CC1B1B内． (2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1. (4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面． 解析：(1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1∉平面CC1B1B. (2)正确．如图所示． 因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以A，B1，C1，D共面． 答案：(2)(3)(4) 13．如图所示，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面． 证明：连接EF，QG，A1C1，EH， 因为E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点， 所以EF∥A1C1∥QG，同理可证FG∥EH. 设E，F，Q，G确定平面α，F，G，E，H确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，所以α与β重合，即E，F，G，H，Q五点共面，同理可证E，F，G，P，Q五点共面，所以E，F，G，H，P，Q共面． 学科网（北京）股份有限公司 $