8.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

8．1　基本立体图形 第一课时　棱柱、棱锥、棱台 课程标准 素养解读 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2．能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 通过棱柱、棱锥、棱台的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养. 对应学生用书P69 [情境引入] 　很多物体虽有不同的形状，但也有一些共同点． 问题　观察上图物体，说出它们有什么共同点？ 提示　几何体的表面都是由平面多边形围成的． [知识梳理] [知识点一]　空间几何体的有关概念 1．空间几何体的定义 对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．例如，一个牛奶包装箱，占有的空间部分就是一个几何体，这个几何体就是长方体． 2．多面体及其相关概念 (1)多面体：一般地，由若干个　平面多边形围成的　几何体叫做多面体． (2)多面体的面：围成多面体的　各个多边形　叫做多面体的面，如图(1)中面ABB′A′，面BCC′B′等． (3)多面体的棱：　两个面的公共边　叫做多面体的棱，如图(1)中棱AA′，棱BB′等． (4)多面体的顶点：　棱与棱的公共点　叫做多面体的顶点，如图(1)中顶点A，B，C等． [特别提醒] (1)多面体至少有四个面，如图(2)所示的多面体即有四个面的多面体． (2)连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．在图÷中，连接BD′，则BD′为该多面体的一条对角线． (3)一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的截面．在图(1)中，连接AC，AD′，D′C，则得到多面体的一个截面ACD′. 3．旋转体及其相关概念 (1)旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA′O′绕OO′所在的直线旋转而形成的． (2)旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的　定直线　叫做旋转体的轴．如图中直线OO′是该旋转体的轴． [知识点二]　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定 义 有　两个面互相平行　，其余各面都是四边形，并且　相邻两个四边形的公共边都互相平行　，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 有　一个面是多边形　，其余各面都是　有一个公共顶点的三角形　，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 用一个　平行于棱锥底面的平面　去截棱锥，　底面和截面之间那部分多面体　叫做棱台． 相 关 概 念 (1)底面(底)：两个互相　平行　的面 ． (2)侧面：　其余各面　. (3)侧棱：相邻侧面的　公共边 . (4)顶点：侧面与底面的　公共顶点　. (1)底面(底)：　多边形面　. (2)侧面：有公共顶点的各个　三角形面　. (3)侧棱：相邻侧面的　公共边　. (4)顶点：各侧面的　公共顶点　. (1)上底面：原棱锥的　截面　. (2)下底面：原棱锥的　底面　. (3)侧面：其余各面． (4)侧棱：相邻侧面的公共边． (5)顶点：侧面与底面的公共顶点 图 形 及 表 示 棱柱 ABCDEF­A′B′C′D′E′F′(或六棱柱AD′)． 棱锥S­ABCD(或四棱锥S­AC)． 棱台ABCD－A′B′C′D′. 结 构 特 征 (1)底面互相平行且全等。 (2)侧面都是平行四边形． (3)侧棱都相等，且互相平行 (1)底面是多边形． (2)侧面都是三角形． (3)侧面有一个公共顶点． (1)上、下底面互相平行，且是相似图形． (2)各侧棱的延长线交于一点． (3)各侧面为梯形． 分 类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. [知识延伸] 1．直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 2．正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 特别地，侧棱长与底面边长相等的三棱锥叫做正四面体． 1.棱柱的侧面一定是平行四边形吗？侧棱长都相等吗？上下两个底面全等吗？ 提示：棱柱的侧面是平行四边形，侧棱长都相等，且上下两个底面全等． 2．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？ 提示：不一定是．如图所示的几何体，不是棱柱． 3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 提示：不一定是．如图所示的几何体不是棱锥． 4．一个棱锥至少有几个面？ 提示：一个棱锥至少有四个面． 5．一个棱锥的每一个面都可以作为其底面，这样的棱锥是几棱锥，还可以怎样称呼它？ 提示：符合条件的棱锥只有三棱锥，三棱锥也叫四面体． 6．用任意一个平面去截棱锥一定能得到棱台吗？ 提示：不一定，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥才能得到棱台． 7．棱台的各侧棱延长线一定交于一点吗？ 提示：棱台的各侧棱延长线一定交于一点． 8．如何判断一个多面体是不是棱台？ 提示：侧棱延长后交于一点，并且上下底面平行． [预习自测] 1．棱锥的侧面和底面可以都是(　　) A．三角形 B．四边形　 C．五边形 D．六边形 解析：A　[三棱锥的侧面和底面均是三角形，故选A.] 2．下列几何体中，柱体有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：D　[由棱柱的定义知，这4个几何体都是棱柱．] 3.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是(　　) A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 答案：B 4.如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、BC的中点，沿AE、AF、EF将其折成一个多面体，则此多面体是________． 答案：三棱锥 5．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义． (2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 对应学生用书P71 对多面体概念的理解 [例1] 根据下列关于几何体的描述，说出几何体的名称． (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形； (2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的全等三角形； (3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点． [思路点拨]　结合多面体结构特征发挥空间想象力． [解]　(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可使相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是正六棱柱． (2)该几何体的一个面是正方形，其他各面都是全等的三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是正四棱锥． (3)该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，因此该几何体是三棱台． 由题干中的几何体的结构特征，结合多面体的概念，进行空间想象，从而得出结论．做判断题时，则可举反例进行排除． [变式训练] 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱； ②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台； ⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形． 解析：对于①，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①不正确； 对于②，如图1中的几何体，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但其不是棱柱，故②不正确； 对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故③不正确； 对于④，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故④不正确； 对于⑤，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，四棱锥A1－ABCD的四个侧面均为直角三角形，故⑤正确。 答案：⑤ 棱柱的结构特征 [例2]　下列说法正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 [思路点拨]　紧扣棱柱的概念逐一判断． [解析]　D　[选项A，B都不正确，反例如图所示．选项C也不正确，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体．根据棱柱的定义知选项D正确．] 1．棱柱结构特征的辨析方法 (1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 2．棱柱概念的推广 (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． (5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． [变式训练] 2．下列命题中，正确的是(　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 解析：D　[A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点，故选D.] 棱锥、棱台的结构特征 [例3]　(1)下列三种叙述，正确的有(　　) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 (2)下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ [思路点拨]　根据棱台、棱锥的结构特征判断． [解析]　(1)①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错，故选A. (2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误． [答案]　(1)A　(2)B 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义，举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确。(2)直接法： 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 [变式训练] 3．下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 解析：①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 答案：①② 多面体的表面展开图 [例4] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：(1)都是多面体；(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；②中折痕交于一点，是棱锥；③中侧面是梯形，是棱台． [解]　①五棱柱；②五棱锥；③三棱台．如图所示． 解此类问题应结合柱、锥、台的定义和结构特征，进行空间想象，或亲自动手，制作侧面展开图进行实践． [变式训练] 4．一正方体的六个面上用记号笔分别标记了一个字，已知其表面展开图如图所示，则在原正方体中，互为对面的是(　　) A．西与楼，梦与游，红与记 B．西与红，楼与游，梦与记 C．西与楼，梦与记，红与游 D．西与红，楼与记，梦与游 解析：B　[以红为底，折叠正方体后，即可判断出：西与红，楼与游，梦与记互为对面．] 对应学生课时P291 1．下列叙述正确的是(　　 ) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 解析：D　[A项，没有满足棱柱各侧棱平行的条件，故A项错误；B项，一个长方体上面叠加一个各侧面与长方体各侧面都不在一个面，且底面相同的斜棱柱，则满足题目条件，但不是棱柱，故B项错误；C项，不满足各侧面三角形有公共顶点，故C项错误；D项，棱台各侧棱的延长线交于一点，故D项正确，故选D.] 2．下列说法中，正确的是(　　 ) A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 解析：A　[B错，截面与底面平行时截得的几何体才是棱台；C错，棱柱底面可以是平行四边形；D错，棱柱的侧面不一定都是全等的平行四边形，如普通的长方体．] 3．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　 ) A．①是棱柱　　　　 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 解析：B　[结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．] 4．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有(　　 ) A．20条　 B．15条　　 C．12条　 D．10条 解析：D　[因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线．] 5．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．正四面体一定是正三棱锥 B．正四棱柱一定是长方体 C．棱柱的侧面一定是平行四边形 D．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 解析：ABC　[A：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A选项正确；B：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B正确；C：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C正确；D：正四棱柱的侧面两两平行，所以D错误．] 6．(多选题)下列命题中正确的是(　　) A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 解析：ACD　[ 由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确．如图，面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，B不正确．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确．棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D是正确的．故只有B不正确．] 7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 解析：因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60 cm，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12 8．下列关于棱锥、棱台的说法： (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形； (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 解析：(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 答案：(2)(3)(4) 9．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． 侧棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱． 底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱． 底面是平行四边形的四棱柱叫作平行六面体． 侧棱与底面垂直的平行六面体叫作直平行六面体． 底面是矩形的直平行六面体叫作长方体． 棱长都相等的长方体叫作正方体． 请根据上述定义，回答下面的问题(填“一定”、“不一定”“一定不”)： (1)直四棱柱________是长方体； (2)正四棱柱________是正方体． 解析：根据上述定义知：长方体一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是长方体；正方体一定是正四棱柱，但是正四棱柱不一定是正方体． 答案：(1)不一定　(2)不一定 10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． 解：截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面． EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′. 其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱． 11.长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值． 解：把长方体的部分面展开，如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为. 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号) ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析：如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤. 答案：①③④⑤ 13．正方体的截面可能是什么形状的图形？ 解：本问题可以有如下9种答案： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角(均为120°)的六边形．特别地，可以是正六边形． 截面图形举例 学科网（北京）股份有限公司 $