8.1 第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

第二课时　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 课程标准 素养解读 1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征． 2．会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征． 3．理解柱、锥、台体的关系． 通过圆柱、圆锥、圆台和球的定义和空间结构特征的学习，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养. 对应学生用书P74 [情境引入] 　空间几何体分为多面体和旋转体两类，我们已经研究了多面体的结构特征．旋转体有哪些基本的类型呢？它们各自有怎样的结构特征呢？由一些基本的几何体可以构成它们的组合体，简单组合体的结构特征又如何描述呢？ [知识梳理] [知识点一]　圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以　矩形的一边所在直线　为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 以　直角三角形的一条直角边所在直线　为旋转轴．其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥． 用　平行于圆锥底面　的平面去截圆锥，　底面与截面之间的部分　叫做圆台． 半圆以　它的直径所在直线　为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 相 关 概 念 (1)轴：　旋转轴　. (2)底面：　垂直于轴的边旋转而成的圆面　. (3)侧面：　平行于轴的边旋转而成的曲面　. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线． (1)轴：　旋转轴　. (2)底面：　垂直于轴的边旋转而成的圆面　. (3)侧面：　直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面　. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：　母线的交点　. (1)上底面：　原圆锥的截面　. (2)下底面：　原圆锥的底面　. (3)轴： 上、下底面圆心的连线所在的直线　. (4)侧面：　原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面　. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分。 (1)球心：　半圆的圆心　. (2)半径：　连接球心和球面任意一点的线段　. (3)直径：　连接球面上两点并且经过球心的线段　. 图 形 及 表 示 圆柱OO′ 圆椎SO. 圆台OO′. 球O. 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆 (2)圆柱有无数条母线．圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等． (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形． (1)底面是圆面． (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点． (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形． (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面． (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点． (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形． (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面．另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合． (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体． [知识点二]　简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成． 1.除了绕矩形的一边所在直线旋转外，还有哪些方法可得圆柱体？ 提示：如图矩形ABCD及各边中点，可以绕直线AB，DC，BC，AD，EG，FH旋转得到圆柱． 2．除了直角三角形外，圆锥还可以由什么平面图形作怎样的旋转得到？ 提示：以等腰三角形底边高线所在直线为旋转轴． 3．圆台除了可以由平行于圆锥底面的平面截圆锥而得，还可以由什么平面图形怎样旋转而成？ 提示：圆台可以由直角梯形以其垂直底边的腰线为轴旋转而成，也可以由等腰梯形以其上下底边中点连线为轴旋转而成． 4．圆台可由平行于圆锥底面的平面而截得，那么，截面与圆锥底面有何关系？ 提示：上下底面相似，其面积比值为相似比的平方． 5．除了半圆，球还可以由什么平面图形旋转得到？ 提示：截面与球还可由圆面绕其一条直径旋转半周得到． 6．用一个平面去截一个球，截面是什么形状？ 提示：截面是一个圆面． 7．什么样的平面截球，使截面的面积最大？ 提示：经过球心的截面圆面积最大． [预习自测] 1．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆柱　 B．圆锥　　 C．球　 D．圆台 答案：C 2．下列说法正确的个数是(　　) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面． A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 解析：D　[①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的，④是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故⑤错误，⑥正确．所以正确的说法有3个．] 3．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体，该几何体是(　　) A．一个圆台 B．一个圆柱 C．一个圆柱和一个圆锥的简单组合体 D．一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体 解析：D　[由于绕直角梯形较短的底边所在的直线旋转一周，借助空间想象，可知D正确，故选D.] 4．如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的________________组成的． 答案：一个半球，一个圆柱，一个圆台 5．如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体． 解析： 旋转轴 图示 几何特征 边AD所 在直线 一个圆台． 边AB所 在直线 由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的组合体． 边CD所 在直线 由一个圆柱挖去一个同底圆锥而成的组合体． 边BC所 在直线 由一个圆台挖去一个同底(上底面)圆锥后和一个同底(下底面)圆锥拼接而成的组合体. 对应学生用书P76 旋转体的基本概念及应用 [例1] ①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球； ②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合，构成半径为r的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． 上述四种说法中正确的个数是______． [思路点拨]　球面是个表面，球是实体． [解析]　①不正确；②正确；③中对称中心只有1个；④中截面一定是圆面． [答案]　1 旋转体特征决定了它的表面有部分为曲面，所有旋转体都是对称的几何体，经过轴的截面必为对称图形，此外，要注意的是我们这里所学的旋转体是实体，而非只有“外壳”． [变式训练] 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥； ②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台； ③圆锥、圆台的底面都是圆； ④分别以矩形(不是正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱． A．1　　　 B．2　　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[①中，若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故①说法正确；②中，必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故②说法错误；显然③④说法正确．故说法正确的是①③④.] 简单组合体的结构特征 [例2]　指出图中三个几何体的构成． [思路点拨]　首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好它们的性质，其次要有一定的空间想象能力． [解]　图①中的几何体由一个圆锥和一个四棱柱组合而成，其中上面是圆锥，下面是四棱柱． 图②中的几何体由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到，其中四棱柱内接于圆锥． 图③中的几何体由一个球挖去一个三棱锥而得到，其中三棱锥内接于球。 判断组合体构成的方法 (1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体． (2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证． [变式训练] 2．铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　) A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体 解析：B　[圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．] 旋转体中的有关计算 [例3] 一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． [思路点拨]　可先由题意画出轴截面，利用已知条件解直角三角形即可求出母线长及轴截面的面积． [解]　如图，设圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝ (cm)． SA＝＝＝(cm)． ∴S△ASB＝SO·2AO＝ (cm2)． ∴圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. 解此类问题主要是将所解决的“立体”几何问题“平面化”，其方法是：首先，画出对应轴截面的几何图形．其次，根据平面几何知识求解．结合勾股定理，三角形全等或相似等性质计算出结果．最后，将“平面”中的结果还原至“立体”图形中． [变式训练] 3．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：D　 [侧面展开图扇形的弧长为2×＝π，圆锥底边的半径r满足2πr＝π，解得r＝，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，则R(1＋2＋2)＝1×，解得R＝.] 对应学生课时P293 1．下列说法正确的是(　　 ) A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 解析：C　[对于A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面． 对于B，等腰梯形(轴截面)的腰才是圆台的母线． 对于D，圆锥的母线延长后交于顶点，因此不可能平行．] 2．下列说法正确的有(　　 ) ①球的半径是球面上任意一点与球心的连接线段； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：C　[①是正确的；②是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；③是错误的；④是正确的．] 3．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　 ) A．一个棱柱中挖去一个棱柱 B．一个棱柱中挖去一个圆柱 C．一个圆柱中挖去一个棱锥 D．一个棱台中挖去一个圆柱 解析：B　[一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.] 4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(　　 ) A．32 B． C． D． 解析：B　[设圆柱底面圆的半径为r，当圆柱的母线长为8时，2πr＝4，即r＝，所以轴截面面积S＝2r×8＝16r＝16×＝，当圆柱的母线长为4时，2πr＝8，即r＝，所以轴截面面积S＝2r×4＝8r＝8×＝.] 5．(多选题)如图，各棱长都相等的三棱锥内接于一个球，则经过球心的一个截面图形可能是(　　 ) 解析：AC　[A过三棱锥的一条棱且过球心所得截面如选项A图所示； B棱长都相等的正三棱锥的棱和球心不可能在同一个面上，所以B是错误的； C当平行于三棱锥一底面，过球心的截面如选项C图所示； D棱长都相等的三棱锥的每个面和球心不可能在同一个面上，所以D是错误的．] 6．(多选题)连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则(　　) A．弦AB，CD可能相交于点M B．弦AB，CD可能相交于点N C．MN的最大值为5 D．MN的最小值为1 解析：ACD　[球心到弦AB，CD的距离分别3,2，又因为3>2，所以AB，CD可交于AB的中点M，不可交于CD的中点N；当AB，CD在球心的同侧时，MN的最小值为3－2＝1；当AB，CD在球心的两侧时，MN的最大值为3＋2＝5.故选A、C、D.] 7．圆台的两底面半径分别为2,5，母线长是3，则其轴截面面积是________． 解析：设圆台的高为h，则h＝＝9， ∴轴截面面积S＝(4＋10)×9＝63. 答案：63 8．两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________． 解析：当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm，底面半径为4 cm； 当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm，底面半径为3 cm. 答案：3 cm,4 cm或4 cm,3 cm 9．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为____________．(只填写序号) 解析：当截面与正方体的对角面重合时，截面图形如③；当截面与正方体的一面平行，截面图形如①，继续旋转可得截面图形②. 答案：①②③ 10．一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？ 解：图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥； 图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体； 图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内． 11．已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长． 解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示．设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x. 因为△VA1C1∽VMN，所以＝，即＝， 所以hx＝2rh－2rx，即x＝. 故这个正方体的棱长为. 12．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是(　　) A．棱柱　　　　 B．棱台 C．棱锥 D．球的一部分 解析：A　[由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段(靠近AA')，当P在A'处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA'的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段(靠近AA′)， 当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA'的线段(靠近AB)， 当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′D′D内平行于AA′的线段(靠近AD)， 当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB)， 当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AD)， 同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；Q在C处，P在AA′上运动；P，Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其他情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选A.] 13．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求： (1)绳子的最短长度的平方f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． 解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长， ∴L＝2πr＝2π. ∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM， 其值为AM＝(0≤x≤4). f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)． (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR， ∴SR＝＝(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)． (3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，∴f(x)的最大值为f(4)＝32. 学科网（北京）股份有限公司 $