7.3.1-7.3.2 复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

7．3　复数的三角表示 7．3.1　复数的三角表示式 7．3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课程标准 素养解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养. 对应学生用书P64 [情境引入] 前面已经学习过了复数的另两种表示．一是代数表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．二是几何表示．复数z既可以用复平面上的点Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量来表示．现在需要学习复数的三角表示，即用复数z的模和辐角来表示复数． 问题　复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？ 提示　复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的． [知识梳理] [知识点一]　复数的三角形式 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　r(cosθ＋isin θ)　的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　辐角　，r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称　三角形式　，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称　代数形式　. [知识点二]　辐角主值 规定在　0≤θ≤2π　范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作　arg z　. [知识点三]　复数三角形式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数模的　积　，积的辐角等于各复数的辐角的　和　. r1(cos θ1＋isin θ)·r2 (cos θ2＋isin θ2)＝　r1r2[cos(θ1＋θ2_)＋isin(θ1＋θ2_)]　. [知识点四]　复数三角形式的除法 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的　商　，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的　差　. ＝　[cos (θ1－θ2) ＋isin(θ1－θ2 ]　. [预习自测] 1．复数1＋i的辐角主值为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝.] 2．若复数n为实数，则正整数n的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[因为＝＝i，所以n＝in为实数，所以n的最小值为2.] 3.· ＝________. 解析：· ＝3 ＝3 ＝－3－3i. 答案：－3－3i 4．计算(cos π＋isin π)÷＝________. 解析：(cos π＋isin π)÷＝cos＋isin＝－＋i. 答案：－＋i 5．把下列复数表示成代数形式 (1)4； (2)6(cosπ＋isinπ)； (3)(cosπ＋isinπ)； (4)3. 解：(1)4＝4× ＝2＋2i. (2)6＝6＝3－3i. (3)＝×＝－1＋i. (4)3＝－3i. 对应学生用书P65 　　将复数的代数形式转化为三角形式 [例1]　将下列复数代数式化成三角形式： (1)＋i；(2)1－i. [思路点拨]　z＝a＋bi(a，b∈R)＝r(cos θ＋isin θ)．注意θ的范围． [解]　(1)r＝＝2，所以cos θ＝， 对应的点在第一象限，所以arg(＋i)＝， 所以＋i＝2. (2)r＝＝，所以cos θ＝， 对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝， 所以1－i＝. 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数三角式． [变式训练] 1．复数z＝－i的三角形式为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：D　[因为r＝2，所以cos θ＝，又z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，所以z＝－i＝2] 复数的三角形式化为代数形式 [例2]　复数z＝化为代数形式为(　　) A.i＋i　　　 B．－＋i C．－－i D.－i [思路点拨]　由求解． 解析：D　[z＝ ＝sin＋icos＝×＋i× ＝－i] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos A＋isin A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos A，y＝rsin A. [变式训练] 2．将复数z＝化为代数形式为________． 解析：z＝＝×cos－i×sin＝1－i. 答案：1－i 复数三角形式的乘法运算 [例3]　计算： (1)2×； (2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)． [思路点拨]　运用复数三角形式的乘法运算法则直接求解． [解] (1)2× ＝2 ＝－2i. (2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×(cos 25°＋isin 25°) ＝4(cos 60°＋isin 60°) ＝2＋2i. 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加． [变式训练] 3．计算：(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 解析：法一　(＋i)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i. 法二　(＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝(＋i) ＝＋i＋i－＝2i. 答案：2i 复数三角形式的除法运算 [例4]　(1)设π<θ<，则复数的辐角主值为(　　) A．2π－3θ　 B．3θ－2π　　 C．3θ　 D．3θ－π (2)计算：8÷. [思路点拨]　直接运用除法法则进行运算． (1)解析：B [＝ ＝cos 3θ＋isin 3θ. ∵π<θ<，∴3π<3θ<， ∴π<3θ－2π<，故本题应选B.] (2)解：8÷ ＝2 ＝2 ＝－＋i. 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减． [变式训练] 4．计算：2i÷. 解：2i÷ ＝2(cos 90°＋isin 90°)÷ ＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i. 学科网（北京）股份有限公司 $