7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

7．1　复数的概念 7．1.1　数系的扩充和复数的概念 课程标准 素养解读 通过方程的解，了解引进复数的必要性，认识复数，理解复数的基本概念及复数相等的充要条件． 通过学习复数的基本概念，提升数学抽象素养．通过利用复数相等解决有关问题，培养数学运算素养. 对应学生用书P52 [情境引入] 希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话． 张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？ 王华：夸张的手法，不可比较． 张明：那么数m，n可否比较大小？ 王华：未必． 问题　同学们，你能准确回答张明的问题吗？ 提示　若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小． [知识梳理] [知识点一]　复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．　全体复数　所成的集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}叫做复数集． (2)复数通常用字母　z　表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部． [知识点二]　复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当　a＝c且b＝d　. 　复数能比较大小吗？ 提示　两个复数，如果不全是实数，只有相等与不相等的关系，而不能比较它们的大小． [知识点三]　复数的分类 (1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当　b＝0　时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当　b≠0　时，叫做虚数；当　a＝0且b≠0　时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数 (2)集合表示： [预习自测] 1．复数－2i的实部与虚部分别是(　　) A．0,2 B．0,0 C．0 ，－2 D．－2,0 解析：C　[－2i的实部为0，虚部为－2.] 2．复数1－i的虚部为(　　) A．i B．－i C．1 D．－1 解析：D　[由复数虚部定义可知，1－i的虚部为－1.故选D.] 3．下列命题正确的是(　　) A．复数a＋bi不是纯虚数 B．若x＝1，则复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i是纯虚数 C．若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2 D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数 解析：B　[对于A，当a＝0，b≠0，b∈R时，复数a＋bi是纯虚数，命题错误； 对于B，当x＝1时，复数z＝2i是纯虚数，命题正确；对于C，(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝2，命题错误； 对于D，复数z＝a＋bi，a，b未注明为实数，错误．] 4．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝　________　. 解析：由a－2i＝bi＋1，所以a＝1，b＝－2，所以a2＋b2＝5. 答案：5 5．若(x＋y－2)＋(x－y－4)i＝0(x，y∈R)，则x＝________，y＝________. 解析：根据复数相等的充要条件有 ∴ 答案：3　－1 对应学生用书P53 复数的概念 [例1]　写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0. [思路点拨]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)其中a为实部，b为虚部． [解]　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数：⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 复数a＋bi(a，b∈R)中．实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． [变式训练] 1．给出下列三个命题：①－的实部是－；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 解析：B　[－＝－i的实部为，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确．] 复数的分类 [例2]　当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． [思路点拨]　因为m是实数，所以m2＋m－6，都是实数．把它们分别看成一个整体，就是复数的虚部与实部，则复数z＝＋(m2＋m－6)i就化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．根据复数的分类即可确定m的取值． [解]　(1)由得m＝2. 所以当m＝2时，z是实数． (2)由得即m≠2且m≠－3. 所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数． (3)由得即m＝3或m＝4. 所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数． 复数的分类是由复数的实部与虚部的取值来决定的，在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；特别地，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．在解题时，应先分清复数的实部与虚部，再根据复数的分类，列出关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． [变式训练] 2．当m为何值时，复数z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i， ∴(1)当m满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数． (2)当m满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数． (3)当m满足 即m＝0时，z为纯虚数． 两个复数的相等 [例3]　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值． (2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． (3)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值． [思路点拨]　第(1)小题中出现复数的等式，应转化为两个复数相等的问题来解决；第(2)小题只需将0看作0＋0i即可转化为复数相等的问题；对于第(3)小题，先设出方程的实根，然后代入，最后转化为复数相等的问题． [解]　(1)由复数相等的充要条件，得解得 (2)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 解得或 所以a＝±. (3)设方程的实根为x＝m， 则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以解得a＝11或a＝－. 求解复数相等问题 复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是： (1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数． [变式训练] 3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值． 解：∵x2－y2＋2xyi＝2i， ∴解得或 对应学生课时P283 1．1－2i的虚部为(　　) A．2 B．－2 C．2i D．－2i 解析：B　[根据定义知实部为1，虚部为－2.故选B.] 2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则(　　 ) A．M∪R＝I B．(∁IM)∪R＝I C．(∁IM)∩R＝R D．M∩(∁IR)＝∅ 解析：C　[根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示． 所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅， 故A，B，D三项均错，只有C项正确．] 3．若(x＋1)i＝－y，则实数x，y的值为(　　) A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝－1 C．x＝1，y＝－1 D．x＝－1，y＝0 解析：D　[根据复数相等的充要条件得解方程组即得x＝－1，y＝0.故选D.] 4．已知i为虚数单位，a，b∈R，集合A＝{z|z＝a＋(2a－1)i}，B＝{z|z＝b－2＋bi}，则A∩B(　　) A．{2i} B．{1＋3i} C．{3＋5i} D．{2＋4i} 解析：C　[由题得a＋(2a－1)i＝b－2＋bi， 所以，解得，所以A∩B＝{3＋5i}．] 5．(多选题)下列四个命题，错误的是(　　) A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足z2∈R，则z∈R C．若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 解析：ABCD　[A中，当这两个复数都是实数时，可以比较大小．B中，若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝±i，不满足z∈R.C中，若a＝0，则ai不是纯虚数．D中，由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．] 6．(多选题)下列命题，其中不正确的是(　　) A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B．若z＋z＝0，则z1＝z2＝0 C．若a∈R，则ai为纯虚数 D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 解析：ABC　[在A中a＝0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i＝0，故C错误；在D中复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故D正确．] 7．给出下列复数：①－2i，②3＋，③8i2，④isin π，⑤4＋i； 其中表示实数的有(填上序号)________． 解析：②为实数；③8i2＝－8为实数；④i·sin π＝0·i＝0为实数，其余为虚数． 答案：②③④ 8．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________. 解析：方程可化为 解得x＝2. 答案：2 9．(多填题)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，则实数m的值为________，方程的实根x为________． 解析：设a是方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i， 所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－， 2＋＋3m＝0，所以m＝. 答案：　－ 10．若不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值． 解析：由题意，得 ∴ ∴当m＝3时，原不等式成立． 11．设复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 解析：(1)因为复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是纯虚数， 所以解得m＝1±， 所以当m＝1±时，z是纯虚数． (2)因为复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是实数， 所以解得m＝－2，所以当m＝－2时，z是实数． 12．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(　　 ) A．－7≤λ≤ B.≤λ≤7 C．－1≤λ≤1 D．－≤λ≤7 解析：D　[由z1＝z2，得 消去m，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－)2－. 由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.] 13．已知z＝sin A＋(ksin A＋cos A－1)i，A为△ABC的一内角．若不论A为何值，z总是虚数，求实数k的取值范围． 解析：令ksin A＋cos A－1＝0，则k＝，＝＝tan， 其中A∈(0，π)． ∵当∈(0，)时，tan∈(0，＋∞)， ∴的值域为(0，＋∞)． ∴当k≤0时，≠k恒成立，即当k≤0时，不论A为何值，ksin A＋cos A－1≠0恒成立，z总是虚数． 学科网（北京）股份有限公司 $