6.4.3 第四课时 余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

第四课时　余弦定理、正弦定理的应用举例 课程标准 素养解读 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解决简单的实际问题，提升数学建模素养．通过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培养数学运算素养. 对应学生用书P43 [情境引入] 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要用到解三角形的相关知识． 问题　解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 提示　测量距离，测量高度，测量角度等． [知识梳理] [知识点一]　测量中的有关概念 (1)测量中的常见角 名称 意义 图示 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小　正角　。 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的　锐角　. 仰角与 俯角 在同一铅垂平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角． 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比. 1.方向角和方位角是同一个概念吗？ 提示　(1)方向角是从指定方向线到目标方向线的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角． (2)坡度和坡比 坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比． 2.利用正(余)弦定理解应用题常忽略的问题有哪些？ 提示　(1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知(原始)数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． [知识点二]　解三角形应用题的常见步骤 实际问题解三角形问题 三角形问题的解实际问题的解 [预习自测] 1．某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的(　　) A．北偏西35°　　　 B．北偏东55° C．南偏西35° D．南偏西55° 解析：D　根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以点B在点A的南偏西55°.] 2．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10 n mile B． n mile C．5 n mile D．5 n mile 解析：D　[在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝， 解得BC＝5 n mile.] 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是________ m. 解析：设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x；在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得( x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m. 答案：500 4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________ m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得 AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)． 答案：500(\r(3)＋1) 5．某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？ 解：画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得cos C＝＝，则sin2C＝1－cos2C＝，∴sin C＝ (负值舍去)． ∴sin ∠MAC＝sin (120°－C)＝sin 120° cos C－cos 120°·sin C＝． 在△MAC中，由正弦定理，得MC＝＝×＝35(千米)， 从而有MB＝MC－BC＝15(千米)． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 对应学生用书P45 测量距离问题 [例1] 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°. 求：(1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． [思路点拨]　如图：(1)由∠BDA＝60°，利用正弦定理计算AD. (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD. [解]　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24. (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°， 解得CD＝8\r(3)．即C处与D处的距离为8 n mile. 1．日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解决，常有两种情况： (1)测量从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．(如图所示) (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB. 2．解三角形应用问题的四个步骤 [变式训练] 1.如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12 nmile的水面上的B处，有蓝方一艘小艇正以每小时10 nmile的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇立即以每小时14 nmile的速度，沿北偏东(45°＋α)方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？ 解：设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 结合题意：易得∠ABC＝120°，AC＝14x，BC＝10x，BC＝12，在△ABC中，利用余弦定理：(14x)2＝122＋(10x)2－2×12×10xcos 120°，解得：x＝2，或x＝－(舍去)． ∴红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要2小时． 测量高度问题 [例2]　《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下．在远近有端，与于光，故景库内也．”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述．如图为一次小孔成像实验，若物距：像距＝6∶1，OA＝OB＝12，cos∠A′OB′＝\f(23,32)，则像高为________． [思路点拨]　根据图形，把已知和所求分别放置在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系起来，由正(余)弦定理解决． [解析]　由cos∠A′OB′＝，则cos∠AOB＝， 又OA＝OB＝12，则AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OB×＝288－2×12×12×＝81，即AB＝9， 又物距∶像距＝6∶1，则A′B′＝×AB＝，即像高为． [答案]　 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不同的三角形． [变式训练] 2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求另一山高MN. 解：根据图示，AC＝100m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝⇒AM＝100m. 在Rt△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 测量角度问题 [例3]　如图，甲船以每小时30\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ [思路点拨]　构造三角形，把已知和未知放到三角形中，利用正(余)弦定理求解． [解]　如图，连接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30×10， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10． 由已知，A1B1＝20， 在△A1B2B1中，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10． 因此，乙船的速度为×60＝30 (海里/时)． 解决测量角度问题的注意点 (1)明确方位角和方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [变式训练] 3．如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，即sin α＝＝＝． 对应学生课时P281 1．某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(　　) A． B．2 C．或2 D．5 解析：C　[本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选C.] 2．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是(　　 ) A．60° B．120° C．150° D．210° 解析：C　[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C.] 3．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　 ) A．500米 B．600米 C．700米 D．800米 解析：C　[由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C.] 4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　 ) A．5 B．10 C．10 D．10 解析：C　[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得＝．即BC＝＝＝10(m)．] 5．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值可以为(　　) A． B．2 C．2 D．3 解析：AB　[ 如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC. 即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝．] 6.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　 ) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 解析：D　[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA＝，① cos∠PBC＝．② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)， 即建筑物的高度为30 m．] 7．作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|＝30 N，|F2|＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为________． 解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡．设F3与F1之间的夹角为θ，作图(如图)， 可知当三力平衡时，由余弦定理得|F3|＝ ＝70 N，再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝． 答案： 8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点， 易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°. 由正弦定理知，x＝＝ ＝(cm)． 答案： cm 9．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是________米，乙楼的高是________米． 解析：甲楼的高为20 tan 60°＝20×＝20(米)；乙楼的高为20－20tan 30°＝20\r(3)－20× ＝(米)． 答案：20　 10.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度． 解析：在△ABC中，由余弦定理得： cos C＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得： cos D＝＝． 由∠C＝∠D，得cos C＝cos D， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 11．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度． 解：如图，设CD＝x， 在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x. 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x. 在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB， 所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，所以x＝38 (m)．所以气球的高度为38 m. 12.《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4，东畔长为2，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为(注：sin 41°≈0.66)(　　) A．6.6 B．3.3 C．4 D．7 解析：A　[由题意知：∠DAC＝49°－19°＝30°， 在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，代入得：28＝AC2＋48－12AC，即(AC－2)(AC－10)＝0， 因为∠ADC>90°，故AC＝10， 故BC＝ACcos 49°＝10sin 41°＝6.6.] 13. 如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75 km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 解：如图所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇． (1)在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300. 设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝， 由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α，即v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·， 整理得，v2＝－＋10 000＝250 000 ＋10 000－ ＝250 000 2＋3 600. 当\f(1,t)＝，即t＝时，v＝3 600，vmin＝60. 即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中． (2)当v＝60 km/h时，在△ABC中， AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375， 由余弦定理cos∠ABC＝＝0， ∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶． (3)如图所示，设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶，t小时后与汽车在E处相遇． 在△ABE中，AB＝500，AE＝100t，BE＝75t，cos ∠BAE＝． 由余弦定理(75t)2＝5002＋(100t)2－2×500×100t×，整理得t＝4或t＝(舍)，当t＝4时，AE＝400，BE＝300，AB2＝AE2＋BE2， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4 h. 学科网（北京）股份有限公司 $