6.4.3 第三课时 正、余弦的综合运用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

第三课时　正、余弦的综合运用 课程标准 素养解读 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推理，数学运算素养. 对应学生用书P40 [情境引入] 我国南宋数学家秦九韶(约1202～1261)独立地发现了求三角形面积的方法．他把三角形的三边分别叫作大斜、中斜、小钭(如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之．为实；一为从隅，开平方得积．”用今天的符号来表示即是S＝． 问题　你能用所学的知识证明这个结论吗？ 提示　S＝acsin B＝ac＝ac＝ ． [知识梳理] [知识点一]　三角形的面积公式 (1)S＝a·ha(ha为a边上的高)； (2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B； (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识点二]　几个重要结论 在△ABC中， (1)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (2)若cos A＝cos B，则　A＝B　； (3)若a2>b2＋c2，则△ABC为　钝角三角形　； (4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为　直角三角形　； (5)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则△ABC为　锐角三角形　. 　解三角形问题需注意哪些？ 提示　1.解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题的关键． 2．解几何计算问题的注意点 (1)几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、角度、面积等，解题时要充分挖掘几何图形的性质． (2)分析图形中涉及的三角形或多边形，将所求问题归结到尽可能少的三角形中． (3)合理利用正、余弦定理，选用恰当的计算公式． [预习自测] 1．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：B　[∵S＝bcsin A，∴＝×2csin 120°，∴c＝2，∴a＝＝ ＝2，设△ABC外接圆的半径为R，∴2R＝＝＝4，∴R＝2.] 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B． C． D．3 解析：C　[∵c2＝(a－b)2＋6 ∴a2＋b2－c2＝2ab－6 ∵a2＋b2－c2＝2ab cos C＝ab ∴2ab－6＝ab，∴ab＝6 ∴S＝absin C＝×6×＝，选C.] 3．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，则λ的值为(　　) A．8 B．12 C．16 D．21 解析：B　[由三角形的面积公式可得，S△ABC＝absin C＝ ab≤·2＝λ2，当且仅当a＝b时取“＝”，令λ2＝9，解得λ＝12，选B.] 4．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________． 解析：S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝， 在锐角三角形中A＝，由余弦定理 BC＝＝7. 答案：7 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－． (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求c. 解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－． 又0<A<π， 则sin A＝． (2)根据余弦定理，有 (4)2＝52＋c2－2×5c×(－)， 解得c＝1或c＝－7(负值舍去)． 对应学生用书P41 有关线段长度或夹角计算 [例1]　如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长． [思路点拨]　选择适当的三角形，合理利用正、余弦定理解题． [解]　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理得＝， ∴sin∠ABC＝＝＝． ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABC＝． 同理，在△ABC中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°， ＝， 即＝，解得BD＝． 解决与三角形长度有关的问题的策略(1)若已知条件在同一个三角形中．则直接利用正、余弦定理求解．(2)若已知条件及所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． [变式训练] 1．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，DE⊥AB，求梯形的高． 解：∵∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°. 在△ACD中，AC＝，CD＝2，∠ADC＝120°， 由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC， 即()2＝AD2＋22－4ADcos 120°， 整理得AD2＋2AD－15＝0， ∴AD＝3或AD＝－5(舍去)． ∴DE＝ADsin 60°＝，所以梯形的高为． 与面积有关的问题 [例2] 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝45°，B＝105°，a＝10，则△ABC的面积为(　　) A．25(＋) B．25(1＋) C．50 D．25(－) [思路点拨]　根据所给条件，先利用正弦定理求出边b及角C，再利用面积公式求解． [解析]　由题意得，sin B＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝×＋×＝， 在△ABC中，由正弦定理得，＝， 所以b＝×＝5(＋)， 又因为C＝180°－A－B＝180°－45°－105°＝30°， 所以△ABC的面积为absin C＝×10×5(＋)×＝25(1＋)． [答案]　B 1．在已知三角形一角求其面积时常运用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解． 2．在已知两边及一边的对角运用正弦定理求另一边时应注意对解的个数的判定不能漏解，若有两解一般面积也有两个不同的值． 3．已知三边求面积时，可用余弦定理求出一个角的余弦进而求出它的正弦值，再代入面积公式，也可直接用海伦公式S＝来计算． 4．若所求面积的图形不规则，可通过作辅助线或其他途径构造三角形转化为三角形的面积；而对于面积的最值问题常利用函数的方法解决． [变式训练] 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解：(1)由已知得tan A＝－，所以∠BAC＝ 在△ABC中，由余弦定理得， 28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0， 解得c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝， 故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1， 又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2，所以△ABD的面积为． 　三角形中的边角等式的证明 [例3] △ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. 求证：＝． [思路点拨]　(1)运用正、余弦定理把左边转化为角的式子，再推到右边． (2)运用正、余弦定理把右边角的式子转化为边的式子，再推到左边． [证明]　证法一：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， 即a2－b2＝c(acos B－bcos A)， 变形得＝＝cos B－cos A， 由正弦定理＝＝得＝， ＝，∴＝＝． ∴等式成立． 证法二：＝ ＝cos B－cos A， ∵＝＝，∴＝，＝， cos B＝，cos A＝， 代入上式得 ＝·－· ＝－＝＝． ∴等式成立． 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地运用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用． [变式训练] 3．在△ABC中，求证： ＋＋＝0. 证明：∵ ＝ ＝ ＝ ＝4R2(cos B－cos A)． 同理：＝4R2(cos C－cos B)； ＝4R2(cos A－cos C)． ∴左边＝4R2(cos B－cos A)＋4R2(cos C－cos B)＋4R2(cos A－cos C)＝0. 左边＝右边，故原等式成立． 三角形中的综合问题 [例4]　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． (1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形； (2)若m⊥p，边长c＝2，C＝，求△ABC的面积． [思路点拨]　根据向量的平行与垂直，把向量问题转化为三角形问题解决． [解]　(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B． ∴a·＝b·(2R为△ABC外接圆直径)， ∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形． (2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0. ∴a＋b＝ab. 由余弦定理得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， ∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或－1(舍)， ∴S△ABC＝absin C＝×4×sin ＝． 故△ABC的面积为． 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起．要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件．然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． [变式训练] 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1. (1)求证：A＝B； (2)求边长c的值； (3)若|＋|＝，求△ABC的面积． 解：(1)证明：∵·＝·， ∴bccos A＝accos B，即bcos A＝acos B． 由余弦定理得b·＝a·， ∴a＝b，∴A＝B. (2)∵·＝1，∴bccos A＝1. 由余弦定理得bc×＝1， 即b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)得a＝b，∴c2＝2，∴c＝． (3)∵|＋|＝， ∴||2＋||2＋2·＝6， 即c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵ c2＝2，∴b2＝2，b＝．∴△ABC为正三角形． ∴S△ABC＝×××sin 60°＝． 对应学生课时P279 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° 解析：B　[∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.] 2．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C等于(　　) A． B． C． D． 解析：B　[由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sin B＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sin C＝．] 3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：C　[由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝．由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝．] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin Bsin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　 ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝，又由sin Bsin C＝sin 2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．故选C.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC可以是(　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：AB　[由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin 2A＝sin 2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝．故选AB.] 6．(多选题)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　) A． B．3 C．2 D．4 解析：AC　[由AB＝2，AC＝2，B＝30°及正弦定理＝得sin C＝＝＝． 由角C为三角形的内角可知C＝60°或120°.因此A＝90°或30°. 在△ABC中，由AB＝2，AC＝2，A＝90°或30°， 得面积S＝AC·AB·sin A＝2或．] 7．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为________． 解析：由余弦定理，得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理，得＝＝2. 答案：2 8．在△ABC中，AB＝，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________. 解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°， 所以S△ABD＝··1·sin 30°＝，又D是BC边中点，所以S△ABC＝2SABD＝． 答案： 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________. 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．由＝得sin B＝sin A＝， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0， 解得c＝3(舍负)． 答案：　3 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A＝ccos A＋acos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 解析：(1)根据正弦定理，得2bcos A＝ccos A＋acos C⇒2cos Asin B＝cos Asin C＋sin Acos C＝sin (A＋C)＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°. (2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 把b＋c＝4代入，得bc＝3，故bc＝3. 11．在△ABC中，a2＋b2－mc2＝0(m为常数)， 且＋＝，求m的值． 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2＝c2＋2abcos C，由a2＋b2－mc2＝0，得c2＋2abcos C＝mc2，即2abcos C＝(m－1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin Bcos C＝(m－1)sin 2C，又由＋＝， 得＝＝，即sin Asin Bcos C＝sin 2C，得m－1＝2⇒m＝3. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，则△ABC为(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：D　[因为lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，所以lg ＝lg sin A＝lg ，所以c＝b，且sin A＝．因为A为锐角，所以A＝， 所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D.] 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得：2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即2cos Csin (A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C．可得cos C＝，所以C＝． (2)由已知，absin C＝．又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.故a2＋b2＝13，从而 (a＋b) 2＝25.所以△ABC的周长为5＋． 学科网（北京）股份有限公司 $