6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 3．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. [情境引入] 我们从求合力、分力等中引入向量的线性运算，从求功中引入向量的数量积运算，反之，我们也可以用向量来解决物理中的这些问题． 平面几何中的平行与向量共线密切相关，平面几何中的垂直、角度、距离与向量数量积密切相关，因此，我们可以用向量作为工具，解决平面几何中的这些问题． 通过本课时的学习，我们要体会向量的工具性作用，体会如何将物理、几何问题转化为向量问题，并加以解决． [知识梳理] [知识点一]　向量在平面几何中的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)证明直线平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：　a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)　. (2)证明直线垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： 　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0　(其中a，b为非零向量)． 1.两直线平行、两直线垂直应转化为向量的什么问题来证明？ 提示：两直线平行应转化为向量的共线问题，两直线垂直应转化为两向量的垂直问题． (3)求夹角问题，若向量a与b的夹角为θ，则求夹角的余弦公式： cos θ＝＝(其中a，b为非零向量)． (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模长公式：|a|＝＝〔其中a＝(x，y)〕或|AB|＝||＝〔其中A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)〕． (5)对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决几何问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [知识点二]　向量在物理中的应用 向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积的物理背景．因此，利用向量可以解决一些物理问题． 1．向量在物理中的应用 (1)向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上． 2.有两个力F1、F2作用在质点A上，F1的大小是5 N，F2的大小是3 N，则F1、F2作用在A上的合力是8 N吗？应如何求合力，合力的大小与什么有关？ 提示：合力的大小不一定是8 N，应用向量的平行四边形或三角形法则求合力，合力的大小与力F1与F2的夹角有关． (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标运算来处理． (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ，(θ为F和s的夹角)．动量mv实际上是数乘向量． 2．用向量讨论物理学中相关问题的步骤 (1)问题的转化：把物理问题转化成数学问题． (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获取：求出数学模型的解． (4)问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象． [预习自测] 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为(　　) A．正三角形　　　　　 B．直三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定 解析：C　[∵(＋)·(－)＝0， ∴2－2＝0，2＝2. ∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．] 2．在平行四边形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　) A.＝＋ B.＝－ C．||2＋||2＝2(||2＋||2) D．||＝||＋|| 答案：D 3．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路为s km，位移为|a| km，则 A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析：A　[路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.] 4．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则合力F1＋F2的大小是________． 答案：5 5．某质点在力F＝(2,1)的作用下，由A(1,1)运动到B(2,3)，求力F对质点做的功． 解：∵A(1,1)，B(2,3)，∴位移＝(1,2)． ∴力F对质点做的功为W＝F·＝2×1＋1×2＝4. 对应学生用书P31 　　　用向量解决平面几何中的平行垂直问题 [例1]　(1)如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. [思路点拨]　要证明HG∥EF，由向量共线定理知，只需证明＝λ(λ≠0)． (2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [思路点拨] (1)解析：∵⊥，⊥，∴∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ.同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， ∴∥，即HG∥EF. (2)解析：(方法一)　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝(b＋)·(－a＋)＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. (方法二)　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 向量可以解决直线(线段)的平行、垂直、夹角、距离(长度)等问题．解决的关键是顺利把几何中的元素转化为向量，常用方法有坐标法和几何法，用坐标法注意坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底的选取． [变式训练] 1.如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC. 证明：设A＝c，A＝b，A＝m，则B＝A－A＝m－c， C＝A－A＝m－b. ∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2， ∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2， 即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2， ∴2m·(c－b)＝0，即2A·(A－A)＝0， ∴A·C＝0，∴AD⊥BC. 　　　利用向量证明线段相等 [例2]　如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长度． [思路点拨]　此题是求线段长度的问题，可以转化为求向量的模． [解]　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b. 而||＝|a－b|＝＝＝，∴||2＝5－2a·b＝4∴2a·b＝1. ∴||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋2a·b＝6.∴||＝，即AC＝. 在平面几何中求线段的长度问题，转化到向量中就是求向量的模的问题，因此可适当构造向量，利用向量知识求解．利用向量求线段长度的关系有两种方法：(1)待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求线段比例关系；(2)建立平面直角坐标系，设定端点坐标，利用向量坐标表示求线段长度的关系． [变式训练] 2．已知AD为△ABC的中线，求证：AD2＝(AB2＋AC2)－()2. 证明：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图．设A(a，b)，B(0,0)，C(c,0)，则D(，0)，||2＝(－a)2＋(0－b)2＝－ac＋a2＋b2，(||2＋||2)－2＝[a2＋b2＋(c－a)2＋b2]－＝a2＋b2－ac＋，从而||2＝(||2＋||2)－()2，即AD2＝(AB2＋AC2)－()2. 用向量法解物理问题 [例3] 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) [思路点拨]　物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量，前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积． [解]　如图所示，设木块的位移为s，则 WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)． 将力F分解，它在垂直方向上的分力F1的大小为 |F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25 N， 所以，摩擦力f的大小为 |f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F和f所做的功分别为500 J和－22 J. 先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关系，然后把物理量转化为向量求解，具体应用中一般涉及力、位移、速度等量的合成与分解，要充分借助三角形或平行四边形法则来运算． [变式训练] 3．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少？ 解：如图所示： AB＝250 m＝0.25 km，BC＝250 m＝ km，tan∠CAB＝＝⇒∠CAB＝⇒∠CAD＝，设合速度为v，小货船航行速度为v1，水流的速度为v2， 则有v1＋v2＝v⇒v1＝v－v2，所以有|v1|＝|v－v2|＝＝＝ ＝2. 对应学生课时P273 1.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ，已知礼物的质量为mkg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为(重力加速度g)(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小|F|，则8|F|cos θ＝mg，故|F|＝.] 2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　 ) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 解析：D　[∵·＝·，∴(－)·＝0. ∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．] 3．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则·＝(　　 ) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：A　[如图所示， 在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点； 在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cos A＝＝，∴·＝||×||×cos A＝＝8.故选A.] 4．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量υ＝(4，－3)(即点P的运动方向与υ相同，且每秒移动的距离为|υ|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　 ) A．(－2,4) B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 解析：C　[设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)， 则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v. 即(x＋10，y－10)＝(20，－15)⇒ ⇒] 5．(多选题)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是(　　) A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 解析：AC　[设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<\f(π,2))．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝\f(|f|,cos θ)． ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．] 6．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　 ) A． B． C． D． 解析： C　[由＋＋＝，得+++＝0， 即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示． 故＝＝．] 7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为Sa＝(4,3)，Sb＝(3,4)，则Sa在Sb上的投影向量为________． 解析：由题知Sa与Sb的夹角θ的余弦值为cos θ＝＝． ∴Sa在Sb上的投影为|Sa|cos θ ＝5×·＝（，． 答案：（， 8．已知点A(0,0)，B(\r(3),0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________ 解析：如图 ||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ， 所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝． 答案：． 9．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则向量与的夹角为____________，四边形ABCD的面积为________． 解析：由·＝1×(－4)＋2×2＝0知⊥，夹角为． 又∵||＝，||＝＝2， ∴S＝||| |＝××2＝5. 答案：　5 10.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． 解析：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2,2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又位移s＝(4,4)，故合力F所做的功为W＝F·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 ＝4×6 ＝24(J)． 即合力F所做的功为24\J. 11．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)．∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)， ＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥，得y＝－2x＋4，由 得 ∴点P的坐标为（，)．∴||＝＝2＝||，即AP＝AB. 12．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式： ①＋＋＝0； ②·＝·＝0； ③(＋)·＝(＋)·＝0. 则点O依次为△ABC的(　　) A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心 解析：C　[①由于＝－( ＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心； ②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心； ③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即| |＝| |，同理有| |＝||，于是O为△ABC的外心．] 13.如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°.(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 解：(1)由题意，△ABC为直角三角形， 由BC＝30 m，∠ABC＝37°，得AC＝BC·tan 37°＝30× ＝22.5 m，又＋＝， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正前方； (2)因为＋＝，所以中场队员的位移与球的位移相等． 学科网（北京）股份有限公司 $