6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 课程标准 素养解读 1.理解平面向量数量积的坐标表示．会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两向量的夹角． 2．会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系. 通过学习数量积坐标运算的推导，培养逻辑推理的素养．通过求向量的夹角和模及在向量垂直中应用坐标运算提升数学运算素养. 对应学生用书P26 [情境引入] 1．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当a与b平行或垂直时，有什么关系式成立？ 提示　当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0；当a⊥b时，有x1x2＋y1y2＝0，这两种公式，在使用的过程中一定要分清． 2．非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系是什么？ 提示　(1)当θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0； (2)当θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0； (3)当θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y2<0. [知识梳理] [知识点一]　平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的　乘积的和　. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), θ是a与b的夹角，则 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2； 特别地a·a＝a2＝|a|2＝x＋y， 即|a|＝ . (2)当a，b同向时， a·b＝|a||b|＝ · ； 当a，b反向时， a·b＝－|a||b|＝－· ； 当a，b垂直时， a·b＝|a||b|cos 90°＝x1x2＋y1y2＝0. (3)|a·b|≤|a||b|， 即|a·b|＝|x1x2＋y1y2|≤ ·. [知识点二]　向量模的计算公式 1．若a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|＝　　. 1.已知a＝(1,1)，b＝(2,3)，如何求|a＋b|? 提示：方法一：a＋b＝(1,1)＋(2,3)＝(3,4)， ∴|a＋b|＝＝5. 方法二：|a|2＝12＋12＝2，|b|2＝22＋32＝13，a·b＝1×2＋1×3＝5. ∴|a＋b|＝＝＝5. [知识点三]　两个向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 2.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？ 提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． [知识点四]　向量的夹角公式 cos θ＝＝　　. 3.a·b<0，能说明向量a·b的夹角θ是钝角吗？ 提示：不能．因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角是180°. [预习自测] 1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：A 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若|b|＝2|a|，则x的值为(　　) A．4 B．2 C．±4 D．±2 解析：D　[|b|＝，|a|＝＝， ∴＝2，解得x＝±2.] 4．设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝________. 解析：由a⊥b，可得a·b＝1×(m＋1)＋(－1)×(2m－4)＝0，解得m＝5. 答案：5 5．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)． 求：(1)a·(a－b)；(2)|a－b|. 解：(1)a－b＝(－1,2)－(3,1)＝(－4,1)， ∴a·(a－b)＝(－1)×(－4)＋2×1＝6. (2)∵a－b＝(－4,1) ∴|a－b|＝ ＝. 对应学生用书P27 向量数量积的坐标表示 [例1]　已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)． [思路点拨]　利用数量积的坐标表示可直接求a·b；(a－b)·(2a＋3b)可以先展开再求值，也可先分别求a－b及2a＋3b的坐标，再求值． [解]　(方法一)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. (方法二)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54. (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a·b ＝x1x2＋y1y2求解，其关键是求出a，b的坐标．(2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积． [变式训练] 1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝20. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2,1)，求(b·c)·a. 解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴可设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)，且λ>0. 又由a·b＝20，可得1×λ＋2×2λ＝20， 解得λ＝4>0.∴a＝(4,8)． (2)∵b·c＝(1,2)·(2,1)＝1×2＋2×1＝4， ∴(b·c)·a＝4(4,8)＝(16,32)． 平面向量模、夹角的坐标运算 [例2] 已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)． 求：(1)2＋ 的模；(2)cos ∠BAC. [思路点拨]　先求出向量的坐标，再运用公式求模、夹角． [解]　(1)∵A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， ∴＝(－1,1)，＝(1,5)． ∴2＋＝(－2,2)＋(1,5)＝(－1,7)． ∴|2＋|＝＝＝5. (2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)，∴·＝－1×1＋1×5＝4，||＝＝，||＝＝. (1)求向量式的模有两种方法，一种是先求出向量式的坐标，然后求模，此种方法比较简单，如本例(1)．另一种方法是先用求模公式，再用坐标求模，如本例(1)也可这样做： ， 再用坐标分别求出，代入求模, (2)坐标求向量夹角的步骤如下：,①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积． ②利用|a|＝计算出这两个向量的模．,③由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．,④在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.,若cos θ>0，则θ是锐角或零角；,若cos θ<0，则θ是钝角或平角；,若cos θ＝0，则θ是直角． [变式训练],2.已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)．求： (1)|a－b|； (2)a＋b与a－b的夹角． 解：(1)|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝4－2a·b， 又a＋b＝(，1)，故(a＋b)2＝4，即a2＋2a·b＋b2＝4， 即a·b＝0，|a＋b|＝2. ∴|a－b|＝＝2. (2)设a＋b与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝＝－. 又θ∈[0，π]，故夹角θ＝. 向量垂直的坐标表示及应用 [例3] 在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求实数k的值． [思路点拨]　利用向量垂直列k的方程，再求k. [解]　根据直角的位置不同，可分为3种情形： (1)若∠A＝90°，则·＝0， 即2＋3k＝0，得k＝－； (2)若∠B＝90°，则·＝0， 因为＝－＝(－1，k－3)， 所以－2＋3(k－3)＝0，得k＝； (3)若∠C＝90°，则·＝0， 所以－1＋k(k－3)＝0，得k＝. 综上可知，k＝－或k＝或k＝. 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形讨论，利用向量垂直刻画内角为直角，列出k的方程，再求出k. [变式训练] 3．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0. 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19. 数量积的综合运用 [例4]　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)． (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小． [思路点拨]　利用向量的数量积列k的方程，然后求解． [解]　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝＝1，|b|＝＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝. (2)a·b＝＝(k＋)． 由函数的单调性容易得出，f(k)＝(k＋)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，即a·b的最小值为，此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝.∴θ＝60°. 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关系，模长具有特殊性，比如可以利用cos2α＋sin2α＝1等．由三角函数表示的数量积通常可以应用三角函数的有界性，同时要注意，sin α，cos α的取值范围是[－1,1]． [变式训练] 4．已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)． (1)若|A|＝|B|，求tan θ的值． (2)若(O＋2)·O＝1，其中O为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值． 解：(1)A＝(2sin θ－1，cos θ) B＝(2sin θ，cos θ－1) ∵|A|＝|B| ∴ ＝ ， 化简得2sin θ＝cos θ，tan θ＝. (2)∵O＋2＝(1,2)， O＝(2sin θ，cos θ)， ∴(O＋2)·O＝2sin θ＋2cos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝. 对应学生课时P271 1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　 ) A．±2 B．0 C．－2 D．2 解析：B　[由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.] 2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影向量为(　　 ) A．(，) B．(－，－) C．(，－) D．(－，) 解析：D　[向量a在b方向上的投影向量为·＝·＝(－，－)．] 3．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝(　　 ) A．1 B．3 C．4 D．5 解析：D　[因为a＝(x，y)，b＝(－1,2)，所以a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)， 所以解得所以a＝(2,1)， 所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5.] 4.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(－)·(－)(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．4 解析：D　[如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1， 故＝(1,0)，＝(0,2)，＝(2,1)， 则(－)·(－)＝(1，－2)·(2，－1)＝2＋2＝4.] 5．(多选题)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　) A．－ B. C. D. 解析：ABC　[∵＝(2,3)，＝(1，k)， ∴＝－＝(－1，k－3)． 若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝. 故所求k的值为－或或.] 6．(多选题)角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　 ) A．－ B. C. D. 解析：AC　[∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)， ] 7.若|a|＝2，b＝(，)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________． 解析：因为b＝(，)，所以|b|＝2.因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0， 所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，所以a·b＝2. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为. 答案： 8．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x，2＋log2x)，则满足a·b＜0的实数x的取值集合为________． 解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2＜0⇒(log2x＋1)(log2x－2)＜0，所以－1＜log2x＜2，所以＜x＜4. 答案： 9．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________，|a＋tb|的最小值为________． 解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值. 答案：－　 10．已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)． ∵⊥，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.∴＝(2,1)或＝.∴存在M(2,1)或M满足题意． 11．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， (1)试求向量2＋的模； (2)若向量与的夹角为θ，求cos θ； (3)求向量在上的投影向量． 解：(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，所以2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)， 所以|2＋|＝ ＝5. (2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)， 所以cos θ＝＝. (3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos θ＝，且||＝. 所以向量在上的投影向量为 12.如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝(　　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以 a ＝ b ＝1，a·b＝0. 由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)＝－(b－a)2＋( b2－ a 2) ＝－( a2＋ b2－2a·b)＝－(1＋1－0)＝－.] 13．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值． 解：由题知，|a|＝2，|b|＝1， a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. 由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－. 即当t＝－2时，有最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $