6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.通过实例了解如何用坐标表示两个共线向量． 2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 3．会根据平面向量的坐标判断向量是否共线. 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养. [情境引入] 1．向量(共线)平行的用途是什么？ 提示　利用向量平行(共线)可以证明向量共线、三点共线，解决有关平行问题． 2．当两个向量共线时，如何利用向量的坐标运算求点的坐标？ 提示　当两个向量共线时，利用向量的坐标运算可求点的坐标．比如A，B，P三点共线且||＝3||，如果知道点A，B的坐标就可以求出点P的坐标．事实上，由||＝3||且A，B，P三点共线，可知＝3或＝－3，这样根据向量的坐标运算就可以求出点P的坐标． [知识梳理] [知识点一]　实数与向量的积的坐标表示 设λ∈R，则λa＝λ(x1i＋y1j)＝λx1i＋λy1j，λa＝　(λx1，λy1)　.即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． [知识点二]　平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，若a∥b，则存在实数λ，使得a＝λb，可知x1i＋y1j＝λ(x2i＋y2j)＝λx2i＋λy2j.于是 消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 这就是说，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是　x1y2－x2y1＝0　. 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？ 提示：通过坐标求出b＝λ a中的λ，λ>0，同向；λ<0，反向． [预习自测] 1．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　) A．(－2，－1)　　　　 B．(2,1) C．(3，－1) D．(－3,1) 解析：A　[∵a∥b，∴2×(－2)－1×x＝0. ∴x＝－4，则b＝(－4，－2)， a＋b＝(2,1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)．] 2．下列各组的两个向量，共线的是(　　) A．a1＝(－2,3)，b1＝(4,6) B．a2＝(1，－2)，b2＝(7,14) C．a3＝(2,3)，b3＝(3,2) D．a4＝(－3,2)，b4＝(6，－4) 答案：D 3．若O(0,0)，B(－1,3)，且＝3，则点A的坐标为(　　) A．(3,9) B．(－3,9) C．(－3,3) D．(3，－3) 答案：B 4．已知a＝(x－2,2)，b＝(3,2x)，且a∥b，则x的值为________． 答案：3或－1 5．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，求y的值． 解：＝(－8,8)，＝(3，y＋6)． ∵A、B、C三点共线，∴∥. ∴－8(y＋6)－3×8＝0.∴y＝－9. 向量共线的判定 [例1] 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？ [思路点拨]　利用向量共线的坐标表示进行判断． [解]　＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线． 又＝－2，∴，方向相反． 综上，与共线且方向相反． (1)利用向量共线定理(几何)或向量共线坐标的条件(代数)进行两向量是否共线的判断． (2)利用b＝λ a中λ的正负判断a，b同向还是反向． [变式训练] 1．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？ 解：∵b－c＝(3,3)，∴a＝(6,6)＝2(3,3)＝2(b－c)．∴b－c与a共线． 利用向量共线求参数的值 [例2] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [思路点拨]　先求出两向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示列出k的方程，再求k的值，也可以利用共线向量定理求解． [解]　方法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2) ＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∵(ka＋b)∥(a－3b)，∴－4(k－3)－10(2k＋2)＝0.∴k＝－. 当k＝－时，ka＋b＝(k－3,2k＋2)＝＝－(10，－4)． ∴ka＋b与a－3b反向． 方法二：同方法一得ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4) 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， ∴解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时 ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)， ∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向． 对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λ b(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． [变式训练] 2．向量＝(4,3)，＝(12，k)，＝(k,10)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解：＝－＝(8，k－3)， ＝－＝(k－4,7)． ∵A，B，C三点共线，∴与共线． ∴8×7－(k－3)(k－4)＝0，即k2－7k－44＝0. 解得k＝－4或k＝11. 　由共线向量的坐标表示证明点共线、线平行问题 [例3] 如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线． [思路点拨]　A，B，C三点共线时确定m的值，则一定有＝λ成立．所以可利用向量相等，列方程组求解m即可．也可以先求出、的坐标，再利用共线向量坐标表示列出m的方程求m. [解]　方法一：A、B、C三点共线，即、共线． ∴存在实数λ，使得＝λ. 即i－2j＝λ(i＋mj)． 于是，∴m＝－2. 即m＝－2时，A、B、C三点共线． 方法二：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)． 则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)． 而、共线，∴1×m－1×(－2)＝0. ∴m＝－2.∴当m＝－2时，A、B、C三点共线． (1)三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点． (2)直线的平行问题也是转化为向量共线． [变式训练] 3.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A，B，C三点恰好共线，则m＝(　　) A．7　　　 B.　　　 C.　　 D．8 解析：C　[由题图可知，A(3,3)，B(5,6)，C(m,10) 所以＝(5－3,6－3)＝(2,3)，＝(m－5,10－6)＝(m－5,4)，因为∥，所以3(m－5)＝2×4，解得m＝.] 对应学生课时P269 1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b的坐标是(　　 ) A．(7,1) B．(－7，－1) C．(－7,1) D．(7，－1) 解析：B　[∵a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，∴－3a－2b＝－3(3，－1)－2(－1,2)＝(－7，－1)．] 2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　 ) A．3a－b B．3a＋b C．－a＋3b D．a＋3b 解析：A　[设c＝x a＋y b，则解得∴c＝3a－b.] 3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为(　　 ) A. B. C. D. 解析：A [　＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为 4.已知向量与a＝(3，－4)的夹角为π，且||＝2|a|，若A点的坐标为(－1，2)，则B点的坐标为(　　 ) A．(－7,10) B．(7,10) C．(5，－6) D．(－5,6) 解析：A　[由题意知，与a的方向相反，又||＝2|a|，∴＝－2a＝－2(3，－4)＝(－6,8)．设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，∴解得故点B的坐标为(－7,10)．] 5．(多选题)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值可以为(　　) A．－2 B．2 C．－11 D．11 解析：AD　[＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.] 6．(多选题)已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面四个结论，其中正确的有(　　) A.与平行 B.＋＝ C.＋＝ D.＝－2 解析：ACD　[＝(2，－1)，＝(－2,1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以与平行，A正确.＋＝≠，所以B不正确.＋＝(0,2)＝，所以C正确.＝(－4,0)，－2＝(0,2)－(4,2)＝(－4,0)，所以D正确．] 7．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________. 解析：－＝＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，因为点Q是AC的中点，所以＝，所以＝＋＝(1,5)＋(－3,2)＝(－2,7)．因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2,7)＝(－6，21)． 答案：(－6,21) 8．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－3b共线，则＝________. 解析：由向量的坐标运算知，ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－3b＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m＋2n)＝－3×(2m－n)，化简得＝－. 答案：－ 9．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至E点，使||＝||，则点C的坐标为________，点E的坐标为________． 解析：设O为坐标原点，∵＝，∴－＝(－)．∴＝2－＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)． 又∵||＝||，且E在DC的延长线上，∴＝－. 设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)， 得，得 ∴点E的坐标为 答案：(3，－6)　 10．已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标． 解：设P点坐标为(x，y)，||＝2||. 当P在线段AB上时，＝2.所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)， 所以解得所以P点坐标为. 当P在线段AB延长线上时，＝－2.所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，所以解得 综上所述，点P的坐标为或(－5,8)． 11．已知四点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)． (1)求实数x，使两向量，共线； (2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？ 解：(1)＝(x,1)，＝(4，x)．因为，共线，所以x2－4＝0， 则当x＝±2时，两向量，共线． (2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)， 则∥，此时A，B，C三点共线， 又∥，从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上． 当x＝2时，A，B，C，D四点不共线． 12．若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可以取________．(写出一组数值即可，不必考虑所有情况) 解析：据题意，可知k1a1＋k2a2＋k3a3＝0， 即k1(1,0)＋k2(1，－1)＋k3(2,2)＝(0,0)． ∴令k2＝2，则k3＝1，k1＝－4. 答案：－4,2,1 13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量的坐标． 解：(1)a＝＝(5，－5)，b＝＝(－6，－3)，c＝＝(1,8) 3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(6，－42)； (2)a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n)＝(－6m＋n，－3m＋8n) 解得m＝－1，n＝－1； (3)设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)＝(3,24) x＋3＝3，x＝0，y＋4＝24，y＝20.M(0,20)，同理N(9,2)，∴＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)． 学科网（北京）股份有限公司 $