6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 在学习过程中，借助平面直角坐标系，通过学习平面向量的正交分解、坐标表示及两个向量加、减运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养. [情境引入] 三坐标雷达亦称三维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息．这使其成为对飞机引导作战的关键设备．此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示．平面向量的坐标有何运算规律呢？这就是本节要学习的内容． 问题　平面向量的坐标有何运算规律？ 提示　两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于其终点坐标减去始点坐标． [知识梳理] [知识点一]　平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为　两个互相垂直　的向量，叫作把向量正交分解． 2．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个　单位向量　i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标． 3．向量的坐标表示 在向量a的直角坐标中 ，　x　叫作a在x轴上的坐标，　y　叫作a在y轴上的坐标，　a＝(x，y)　叫作向量的坐标表示． 显然，i＝　(1,0)　，j＝　(0,1)　，0＝　(0,0)　. 1.相等的向量的坐标一定相同吗？不相等的向量的坐标一定不同吗？ 提示：根据平面向量的基本定理，平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，即是说平面内的一个向量a，有且只有一个坐标(x，y)，故相等向量的坐标一定相同，不相等向量的坐标一定不同． [知识点二]　平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，可得a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j. 1．a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　.即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　.即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．如图，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．即＝　(x2－x1，y2－y1)　.即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标． 2.向量的坐标就是表示向量的有向线段的终点坐标吗？两向量的位置不同，坐标就不同吗？ 提示：当向量的起点在坐标原点，向量的坐标就是其终点的坐标，否则不是．两向量的位置不同，但只要两向量是相等向量，坐标就相同，若不是相等向量，则坐标不同． [预习自测] 1．M(1,3)，N(－2,1)，则的坐标是(　　) A．(－3,2)　　　　　　 B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－2，－3) 答案：C 2．向量＝(x，y)(O为原点)的终点A位于第二象限，则有(　　) A．x>0，y>0 B．x>0，y<0 C．x<0，y>0 D．x<0，y<0 解析：C　[∵＝(x，y)，∴A(x，y)． 又点A在第二象限，∴x<0，y>0.] 3.如图所示，{e1，e2}为单位正交基，则向量a，b的坐标分别是(　　) A．(3,4 )，(2，－2) B．(2,3)，(－2，－3) C．(2,3)，(2，－2) D．(3,4)，(－2，－3) 解析：C　[根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，∴a＝(2,3)，b＝(2，－2)．] 4．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 解析：∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________. 解析：∵A＝O－O， ∴O＝A＋O＝(－4，－3)＋(0,1)＝(－4，－2)， B＝O－O＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 平面向量的坐标表示 [例1]　如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B，D的坐标和，的坐标． [思路点拨]　先将向量正交分解，把它们分解为横纵坐标的形式，然后写出相应的坐标． [解]由题意知，点B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，∴B，D. ∴＝，＝. (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． [变式训练] 1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×＝. a2＝|a|sin 45°＝2×＝， b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝， c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 平面向量加、减运算的坐标表示 [例2] 如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标． [思路点拨]　利用向量的平行四边形法则，先计算＝＋，再求＝＋. [解]　如图，由向量加法的平行四边形法则可知 ＝＋＝[－2－(－1)，1－3]＋[3－(－1)，4－3]＝(3，－1) ＝＋＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)．所以顶点D的坐标为(2,2)． 1．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)． 2．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差．“两个向量相等，则它们的坐标相同”，解题中主要应用了方程的思想与数形结合思想． [变式训练] 2．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示＋＋和－. 解：＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)， ∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． ∴－＝(－3,5)－(－5,1)＝(2,4)． 向量坐标运算的综合应用 [例3]　已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及＝－，试求t为何值时： (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上； (3)点P在第四象限． [思路点拨]　设出点P的坐标为(x，y)，利用＝－列方程组用t表示P的坐标(x，y)，再利用点P所在的位置求t的值或范围 [解]　设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)， ∵＝(4t,5)－(1，t)＝(4t－1,5－t)， ∴＝－＝(1，t)－(4t－1,5－t)＝(2－4t,2t－5)，∴. (1)若点P在x轴上，则y＝2t－5＝0，t＝； (2)若点P在y轴上，则x＝2－4t＝0，t＝； (3)若点P在第四象限，则解得t<. 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的． [变式训练] 3．已知点A(λ，3)，B(5,2λ)(λ∈R)，C(4,5)．若＝＋，试求λ为何值时， (1)点P在一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 解：设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)， 又∵＝(5,2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)， ＝(4,5)－(λ，3)＝(4－λ，2)， ∴＝＋＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)， ∴，则， (1)若P在一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝. (2)若P在第一象限内，则，∴－1<λ<9. ∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上； －1<λ<9时，点P在第一象限内．对应学生课时P267 1．在平面直角坐标系中，|a|＝2018，a与x轴的正半轴的夹角为，则向量a的坐标是(　　 ) A．(1009，1009) B．(－1009，1009) C．(1009,1009) D．(1009，1009) 解析：C　[设a＝(x，y)，则x＝2018 cos＝1009，y＝2018 sin＝1009，故a＝(1009,1009)．] 2.如图所示，向量的坐标是(　　 ) A．(1,1)　　　 B．(－1，－2) C．(2,3) D．(－2，－3) 解析：D　[由题图知，M(1,1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．] 3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　 ) A．(2,4) B．(3,5) C．(1,1) D．(－1，－1) 解析：C　[＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．] 4．若＝(1,1)，＝(0,1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝(　　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：A　[＋＝＝－＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.] 5．(多选题)下面说法正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 解析：ABD　[由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误．] 6．已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a位于(　　 ) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：D　[因为a＝(x2＋x＋1，－x2＋x－1)，x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0，－x2＋x－1＝－2－＜0，故a位于第四象限．] 7．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6,5)，O为坐标原点，则＝______，＝______. 解析：因为点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(6,5)，点O的坐标为(0,0)，所以向量＝(2,3)，＝(6,5)． 答案：(2,3)　(6,5) 8．已知＝(1,2)，＝(－3，－4)，则＝__________. 解析： ＝－＝(1,2)－(－3，－4)＝(4,6)． 答案：(4,6) 9. 若将向量a＝(，1)按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为_________________． 解析：由三角函数的定义，可知a与x轴正向的夹角为，按逆时针方向旋转到OP的位置，易知|OP|＝2，∠xOP＝120°.根据三角函数的定义，OA＝2cos 120°＝－1，AP＝2sin 120°＝，所以b＝(－1，)． 答案：(－1，) 10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－9,12)，c＝(－2,2)，且a＝b－c，求点A的坐标． 解：∵b＝(－9,12)，c＝(－2,2)，∴b－c＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝. 又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，∴⇒，即A点坐标为(8，－10)． 11．已知点O(0,0)，A(1,2)． (1)若点B(3t,3t)，＝＋，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)若B(4,5)，P(1＋3t,2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明理由． 解：(1)＝＋＝(1,2)＋(3t,3t)＝(1＋3t,2＋3t)，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－. 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－. 若点P在第二象限，则∴－<t<－. (2)＝(1,2)，＝－＝(3－3t,3－3t)． 若四边形OABP为平行四边形，则＝， ∴该方程组无解． 故四边形OABP不能成为平行四边形． 12．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________________________________． 解析：F＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)． 设终点为D(x，y)，则：F＝，即(8,0)＝(x－1，y－1)， 所以⇒所以终点为(9,1)． 答案：(9,1) 13. 已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试求a，b, c的坐标． 解：根据题设，画出图形，如图所示，以O为原点， OA所在直线为x轴建立直角坐标系． 由三角函数的定义，得A(2,0)， B(cos 150°，sin 150°)， 即B，C(3cos 240°，3sin 240°)， 即C. 故a＝(2,0)，b＝，c＝. 学科网（北京）股份有限公司 $