6.3.1 平面向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 课程标准 素养解读 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 通过学习平面向量的基本定理有关内容，重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养. [情境引入] 七个音符谱出千支乐曲.26个字母写就百态文章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？ 问题　给定两个非零向量e1、e2(不共线)，平面内任意向量a都能用e1、e2表示吗？ 提示　可以表示． 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量a.存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [知识梳理] [知识点]　平面向量基本定理 1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个　不共线　向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　. 2．我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组　基底　. 　平面向量的基底唯一吗？ 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底． [预习自测] 1．下列关于基底的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量． ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 答案：C 2．e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　) A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2 答案：C 3．在△ABC中，D为AC的中点，＝3，BD与AE交于点F.若＝λ，则实数λ的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如题图，∵B，F，D三点共线，∴存在实数k使＝k＝(＋)，∴＝＋＝＋(＋)＝(1－)＋，＝＋＝＋.∵＝λ，∴(1－)＋＝λ＋. ∵与不共线，∴解得λ＝.] 4.如图所示，D是BC边的一个四等分点，用基底，表示＝______________. 答案：＋ 5．在▱ABCD中，设＝a，＝b，则A＝________，B＝________. 解析：设AC、BD交于点O，则 ＝＝a，＝＝b. 所以＝＋＝－ ＝a－b，＝＋＝a＋b. 答案：a－b　a＋b 对向量基底的理解 [例1]　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)． ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. [思路点拨]　只有两个不共线的非零向量才能做为基底． [解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． [答案]　②③ 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [变式训练] 1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝　________　a＋________b. 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb. 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理得所以 答案：　－ 用基底表示向量 [例2] 如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，. [思路点拨]　利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，来寻找向量和基底的关系． [解]　由题意得＋＝， 所以＝a－b， 则＝(a－b)，＝＝(a－b)， ＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. ＝＋＝＋＝ ＝×(a＋b)＝a＋b. 由平面向量的基本定理可知，两个不共线的向量可以作为一组基底，并可以唯一表示平面内任一向量．利用基底表示平面内的向量，可利用线性运算作转化，对有几何背景的题目，要灵活地运用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，恰当地将向量作转化． [变式训练] 2．已知△ABC为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则(　　) A.＝＋4 B.＝＋3 C.＝5＋4 D.＝＋3 解析：A　[选取，为基底， ＝＋＝3＋，＝＝2＝－2＋2， ＝＋＝2＋＝2－2＋＝3－2， 设＝x＋y＝－2x＋2x＋3y－2y＝(－2x＋3y)＋(2x－2y)， ∴，∴， 即＝＋4.] 平面向量基本定理的应用 [例3]如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. [思路点拨]　利用向量的加法，减法以及数乘运算法则，把要求的向量用已知向量表示是解题的关键． [解]　(1)∵＝－＝c－a， ∴＝＝(c－a)， ∴＝(＋) ＝＋ ＝－a＋(c－a) ＝c－a. (2)设＝λ，∴＝＋＝＋λ ＝a＋λ(c－a) ＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c， ∴λ＝，∴＝，∴AF∶CF＝4∶1. 主要应用三角形法则、平行四边形法则，数乘向量解决，将涉及的向量用基向量表示出来，体现了转化的思想． [变式训练] 3.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a，b为基表示. [解]　∵＝＋，＝＋，设＝m， ＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝ (1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na. ∵a与b不共线， ∴⇒n＝，m＝，∴＝a＋b. 对应学生课时P265 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　 ) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 解析：D　[选项A中，e1－e2＝－(e2－e1)，即e1－e2与e2－e1共线，不能作为基底；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，即2e1－e2与e1－e2共线，不能作为基底；选项C中，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，即2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为基底；选项D中的两个向量不共线，可作为基底．] 2．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3，则(　　 ) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析：A　[由＝3得－＝3(－)，即3＝－＋4，所以＝－＋.] 3．已知非零向量，不共线，且2＝＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：A　[由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴，消去λ得x＋y＝2.] 4．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　 ) A. B. C．1 D．3 解析：B　[如图， 因为＝，所以＝ ，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，故选B.] 5．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是(　　) A．λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数λ，μ有无数多对 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. 解析：BC　[由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选BC.] 6．(多选题)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝－a＋b 解析：ABD　 [由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确； ＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确； ＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a×＝b－a，故C错误； ＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．] 7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． 解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4. 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c为________(用a，b表示)． 解析：设c＝λa＋μb，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)，所以 解得故c＝2a－2b. 答案：2a－2b 9．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________. 解析：∵向量e1，e2不共线， ∴解得 答案：－15　－12 10．如图所示，平行四边形ABCD中，M是DC的中点，N在线段BC上，且NC＝2BN.已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC的中点，NC＝2BN，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋.因为＝c，＝d，所以 解得＝(3d－c)，＝(2c－d)． 11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λa＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？ 解析：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线． 12．已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　 ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 解析：D　[∵O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，且(2－2λ)＋(1＋2λ)＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故选D.] 13．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：＋2＋3＝3＋2＋，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵O为三角形ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋， ∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－)⇒3＋＋2＝0， ∵SA·＋SB·＋SC·＝0.∴＝＝＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $