6.2.4 向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6.2.4　向量的数量积 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量数量积与投影向量的关系． 3．会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 通过学习向量的数量积，重点提升学生的数学运算，逻辑推理，数学抽象素养. [情境引入], 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？ 问题　力对物体做功，由哪些量来确定？ 提示　由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算结果． [知识梳理],[知识点一]　向量的夹角, 1．已知两个非零向量a和b，如图，作＝a，＝b，则θ＝　∠AOB　(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角． 2．当θ＝0°时．a与b　同向　；当θ＝180°时，a与b　反向　；当θ＝90°.a与b垂直，记作　a⊥b　. 3．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定　零向量　可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [知识点二]　两个向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 1.向量的线性运算的结果是一个向量，向量的数量积运算呢？ 提示：实数． [知识点三]　向量的投影 如图1，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的　投影向量　. 如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． [知识点四]　向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影向量的数量|b|cos θ的乘积，也等于b的长度|b|与a在b上的投影向量的数量|a|cosθ的乘积．显然，a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是不同的． 2.一个向量在另一个向量方向上的投影可以是一个负数或0吗？ 提示：可以．如b在a的方向上的投影数量|b|cos θ，当θ∈(90°，180°]时，投影是负数，当θ＝90°时，投影数量是0. [知识点五]　向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． 1．a⊥b⇔　a·b＝0　； 2．当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　，当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　； 3．a·a＝　a2　或|a|＝＝； 4．cos θ＝　　； 5．|a·b|　≤　|a||b|. 3.a，b都是非零向量，|a·b|≤|a||b|中等号何时取到？ 提示：由于|a·b|＝|a||b||cos θ|， ∴当θ＝0°或180°时，取等号． [知识点六]　向量的数量积的运算律 1．a·b＝　b·a　(交换律)； 2．(λ a)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λ b)　(结合律)； 3．(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 4.对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立．∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立． [预习自测] 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　) A．12 B．12 C．－12 D．－12 答案：C 2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为(　　) A．3 B. C．2 D. 答案：B　 3．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则a·b＝________. 解析：由已知e1·e2＝cos＝，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5. 答案：5 4．等腰直角三角形ABC中，||＝||＝2，则·＝________. 答案：－4 5．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________. 解析：(ka－b)·a＝k－＝0，k＝. 答案： 数量积的基本概念 [例1]　下列判断： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a·b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________(填序号)． [思路点拨]　依据数量积的概念逐一判断。 [解析]　由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2＋b2＝0.则a＝b＝0.故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量．所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错误； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错误； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错误； 对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0，因此⑦错误； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非长度，故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． [答案]　①②⑥ 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． [变式训练] 1．绐出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0：②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________． 解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． 答案：④ 数量积运算 [例2] 已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为θ＝135°，求： (1)a·b； (2)(2a＋b)·(a－b)． [思路点拨]　利用向量数量积的定义和运算律计算． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝6×8×cos 135°＝－24. (2)(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝2|a|2－(－24)－|b|2 ＝2×62＋24－82 ＝8＋24. (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当求向量式的数量积时，先利用向量数量积的运算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算． [变式训练] 2．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2O＋A＋A＝0，|O|＝|A|，则C·C的值是　________　. 解析：如图，D为BC中点， ∵2＋A＋A＝0， ∴2O＋2A＝0， ∴A＝－O，∴A＝A ∵O与D重合，∴BC为圆的直径． ∵||＝|A|＝1，||＝2，∴||＝，∴∠ACB＝， ∴C·C＝|C|·|C|·cos∠ACB＝·2·＝3. 答案：3 求向量的模 [例3] 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. [思路点拨]　要求|a－b|，利用模长公式|a－b|＝，只需求2a·b即可． [解]　由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝. 此类问题直接套用公式求解即可． (1)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝ . [变式训练] 3．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.计算 (1)|a＋b|；(2)|4a－2b|. 解：由已知，a·b＝4×8×＝－16. (1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4. (2)|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162 ∴|4a－2b|＝16. 两向量的垂直与夹角问题 [例4] 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． [思路点拨]　首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与cos θ＝联立求解． [解]　由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|， ∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或求值的目的． (2)要求a与b的夹角，只要求出|a|、|b|及a·b即可．注意向量夹角范围．由cos θ＝(其中a、b是非零向量，θ为a与b的夹角)判定θ的大小时，有五种可能情形：①当cos θ＝1时，θ＝0°；②当cos θ＝0时，θ＝90°；③当cos θ＝－1时，θ＝180°；④当cos θ<0且cos θ≠－1时，θ为钝角；⑤当cos θ>0，且cos θ≠1时，θ为锐角． [变式训练] 4．已知|a|＝2，|b|＝1，(a＋b)⊥，求a与b的夹角大小． 解：∵(a＋b)⊥， ∴(a＋b)·＝0. 即a2－a·b－b2＝0. ∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1， ∴4－3cos θ－＝0.∴cos θ＝. 又∵θ∈[0，π]．∴a与b的夹角θ为. 数量积的综合应用 [例5]　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2.|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围． [思路点拨] 首先根据夹角公式得出关于t的一元二次不等式，然后解式后，注意两向量共线的情况． [解]　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝<0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－. 当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 则∴故实数t的取值范围是∪ 1．求向量夹角时要注意： (1)当已知a，b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系； (2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围为[0，π]． 2．灵活应用a2＝|a|2，这给出了解决与模有关问题的思路． [变式训练] 5．已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？ 解：(1)∵a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|， ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2， ∴a·b＝ ＝＝＝. 又∵a·b＝|a||b|cos θ，∴＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝，即θ＝60°. (2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0， ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，∴μ＝－. ∴存在μ＝－，使得μa＋ b与a－2b垂直． 对应学生课时P263 1．给出以下五个结论 ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b| ≤a·b，其中正确结论的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一实数，应该有│a·b│≥a·b，故⑤错误．] 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　 ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案：D 3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(　　 ) A．16 B．256 C．8 D．64 解析：A　[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.] 4．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b>0，则△ABC是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：D　[由·＞0知，·＜0，即角B为钝角．] 5．(多选题)已向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　) A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 解析：ACD　[选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角．] 6．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析：ACD　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确．] 7．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向的夹角为60°， |F| ＝5牛顿，物体从A至B力F所做的功W＝__________. 解析：由物理知识知W＝F·s＝ |F| · |s| cos θ＝5×10×cos 60°＝25(焦耳)． 答案：25焦耳 8．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1.则a与b的夹角θ为________． 解析：因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： 9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________. 解析：·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时·＝||||cos 120°＝－8. 答案：等边三角形　－8 10．已知向量a，b满足 |a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°. (1)求(2a－b)·(a＋b)； (2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值． 解：(1)由题意，得a·b＝ a · b cos 60°＝1×4×＝2. ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12. 11．设a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋2e2，其中e1⊥e2且e＝e＝1. (1)求|a＋b|的值； (2)当k为何值时，ka＋b与a－3b互相垂直． 解析：(1)∵|a＋b|2＝(－2e1＋4e2)2＝4e－16e1·e2＋16e.又e1⊥e2，∴e1·e2＝0， ∴|a＋b|2＝20， ∴|a＋b|＝＝2. (2)由题知a2＝(e1＋2e2)2＝5，b2＝(－3e1＋2e2)2＝13，a·b＝(e1＋2e2)·(－3e1＋2e2)＝1.若ka＋b与a－3b垂直，则(ka＋b)·(a－3b)＝ka2＋(1－3k)a·b－3b2＝0，即5k＋(1－3k)－3×13＝0，解得k＝19. 12．(多选)定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量|a||b|sin θ叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即|a×b|＝|a||b|sin θ.则下列命题中正确的有(　　) A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|×|＝4 B．在正△ABC中，若＝|×|(＋)，则＝3 C．若|a×b|＝，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为2 D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2 解析：ACD　[对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以||·||sin ∠BAD＝4， 所以|×|＝4，故A正确； 对于B，设正△ABC的边BC边上的中点为E，则＋＝2， 因为＝|×|(＋)，所以＝2||·||sin 60°＝||2， 所以＝＝＝＝，所以B错误； 对于C，因为|a×b|＝，a·b＝1，所以|a||b|sin 〈a，b〉＝，|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1， 所以tan 〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈(0，π)，所以〈a，b〉＝，所以|a|·|b|＝2， 所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2≥2＋4＝12，当且仅当|a|＝|b|＝2时等号成立，所以|a＋2b|的最小值为2，所以C正确； 对于D，若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则当|a|＝，〈a，b〉＝，|c|＝4，〈b，c〉＝时，可以等于〈a，c〉＝＋＝， 此时|a×c|＝|a|·|c|sin 〈a，c〉＝4×＝2＋2，所以D正确．] 13．在△ABC中，设·＝·. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若|＋|＝2，B∈[，]，求·的取值范围． 解：(1)证明：因为·＝·，所以(－)·＝0.又因为＝－(＋)，所以－(＋)·(－)＝0，所以2＝2，即||2＝||2，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形． (2)因为B∈，所以cos B∈.设||＝||＝a，由|＋|＝2，得|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝，所以·＝a2cos B＝＝2－∈[－2，]．故·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $