6.2.3 向量的数乘运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．2.3　向量的数乘运算 课程标准 素养解读 1.掌握向量数乘的运算及其运算律． 2．理解数乘向量的几何意义． 3．掌握共线向量的基本定理． 4．熟练运用共线定理处理有关的共线向量问题． 5．理解直线的向量表示. 通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养. 对应学生用书P11 [情境引入] 有一汽车从O出发，向西行进1秒后到达A点，按照相同的速度，3秒后车在哪里？用向量怎么表示？ 问题　类比情境，引入求a＋a＋a的结果，并说明其结果与a有怎样的关系？ 提示　a＋a＋a＝3a,3a与a方向相同，且长度是a长度的3倍．[知识梳理] [知识点一]　向量数乘运算 实数λ与向量a的积是一个　向量　，这种运算叫作向量的　数乘　，记作　λ a　，它的长度方向规定如下： 1．|λ a|＝　|λ||a|　； 2．当λ>0时，λ a的方向与a的方向　相同　； 当λ<0时，λ a的方向与a的方向　相反　. 3．当λ＝0时，λ a＝　0　. 1.你能说出3a的几何意义吗？ 提示：向量3a的几何意义是将表示向量a的有向线段在原方向上伸长为原来的3倍． [知识点二]　数乘向量的运算律 1．λ(μ a)＝　(λμ)a　； 2．(λ＋μ)a＝　λ a＋μ a　； 3．λ(a＋b)＝　λ a＋λ b　. 特别地，有(－λ)a＝－(λ a)＝　λ(－a)　； λ(a－b)＝　λ a－λ b　. 2.数乘向量与数乘数的积有何不同？ 提示：数乘向量λ a仍是向量，既有大小，又有方向，与向量a共线；而实数的乘积仍是实数，只有大小，没有方向． [知识点三]　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使　b＝λ a　. 3.若a＝0，a与b共线吗？存在唯一实数λ使b＝λ a吗？ 提示：若a＝0，则a与b共线． 当b≠0时，不存在λ使b＝λ a，当b＝0时，存在无数个实数λ使b＝λ a. [预习自测] 1．已知λ∈R，则下列命题正确的是(　　) A．|λ a|＝λ|a|　　　　 B．|λ a|＝|λ|a C．|λ a|＝|λ||a| D．|λ a|>0 答案：C 2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　) A．a－2b　　 B．a　 C．a－6b　 D．a－8b 答案：D　 3．四边形ABCD中，若＝，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 答案：B 4．已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1＋2e2和3e1＋ke2共线，则实数k＝________. 解析：∵ke1＋2e2和3e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使得ke1＋2e2＝λ(3e1＋ke2)． ∴ke1＋2e2＝3λe1＋kλe2， ∴解得k＝±. 答案：± 5．已知▱ABCD中，＝a，＝b，对角线AC，BD交于点O，则O＝________，B＝____________. 解析：如图： ＝＝(＋)＝(－a－b)． ＝＝(－)＝(b－a)． 答案：(－a－b)　(b－a) 对应学生用书P12 向量数乘的定义 [例1]　已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． [思路点拨]　根据数乘运算的几何意义判断． [解]　(1)真命题．∵2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍． (3)真命题．∵－2a＋2a＝(－2＋2)a＝0.故－2a与2a是一对相反向量． (4)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等向量． 对数乘向量的四点说明 (1)λa的实数λ叫作向量a的系数． (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0. (4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量． [变式训练] 1．已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有(　　) ①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反； ②λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同； ③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同； ④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反． A．1个　 B．2个　　 C．3个　 D．4个 解析：D　[由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向．∴λa与μa同向，当λμ<0时．则λ与μ异号，λμ与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．] 向量数乘的运算 [例2] (1)化简； (2)(x＋y)(a＋b)－(x－y)(2a＋b)； (3)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [思路点拨]　此类问题只需利用向量数乘、加法、减法的运算律化简即得结果． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝a－b. (2)原式＝[(x＋y)－2(x－y)]a＋[(x＋y)－(x－y)]b ＝(3y－x)a＋2yb. (3)原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b ＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j ＝－i－5j. 向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性运算．形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用． [变式训练] 2．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，c，b为已知向量，则未知向量y＝________. 解析：2－＋b＝0 ∴y－a＋b－c＝0 ∴y＝a－b＋c ∴y＝a－b＋c. 答案：y＝a－b＋c 共线向量的判断及其应用 [例3] 已知非零向量e1，e2不共线． 欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [思路点拨]　对于本题，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． [解]　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λ a即可．应用共线向量定理可证明三点共线，两直线平行等几何问题证明三点共线，只需在三点中任意构造两个向量，转证两个向量共线即可，证明两直线平行，只需在两直线上构造两个向量，转证两个向量平行，并说明两直线不重合即可．另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件． [变式训练] 3．在四边形ABCD中，A＝a＋2b，B＝－4a－b，C＝－5a－3b，其中a，b不共线． 求证：四边形ABCD为梯形． 证明：A＝A＋B＋C ＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b) ＝－8a－2b ＝2(－4a－b) ＝2B ∴A＝2B∴AD∥BC且|A|＝2|B| ∴四边形ABCD为梯形． 向量线性运算几何意义的应用 [例4] 如图所示，已知△OBC中，点C是以点A为对称中心的点B的对称点，点D在线段，OB上，OD＝2DB，设＝a，＝b.用a和b表示向量，. [思路点拨]　结合已知和所求，联想相关的运算法则和公式等，将所求向量反复分拆，直到全部可以用已知向量表示为止． [解]　由已知，点A是BC的中点， 则＝(＋)，从而＝2－＝2a－b，又OD＝2DB，所以＝＝b， ＝－＝2a－b－b＝2a－b. 待表示的向量通常放在三角形或平行四边形中，利用向量的加法、减法、数乘的几何意义向已知向量转化． [变式训练] 4.如图，在梯形ABCD中， AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和. 解：方法一：连接CN. ∵AN∥DC，且AN＝DC＝AB，∴四边形ANCD为平行四边形，∴＝－＝－b. ∵＋＋＝0， ∴＝－－＝b－a， ＝－＝＋＝a－b. 方法二：在梯形ABCD中 ，有＋＋＋＝0， 即a＋＋＋(－b)＝0，可得＝b－a，在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0， 即b＋a＋＋＝0，可得＝a－b. 对应学生课时P261 1．下列各式计算正确的个数是(　　 ) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．] 2．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[∵A，B，D三点共线，∴＋λ＝1，λ＝.] 3．下列各组向量中，能推出a∥b的是(　　 ) ①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：B　[①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．] 4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　 ) A．反向平行　　　　 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：A　[由－＝2，得＝＋.同理可得，＝＋，＝＋，所以＋＋＝－，故选A.] 5．(多选题)已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b ＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b 解析：AB　[由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故A正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故B正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，且b与a不一定共线，故C错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D错误．] 6．(多选题)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(　　) A．a＝e1，b＝－2e2 B．a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C．a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 解析：BC　[因为e1，e2是不共线的向量， 所以e1，e2都不是零向量． A．若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，所以a与b不共线． B．因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，所以a与b共线． C．因为b＝2e1－e2＝＝a，所以a与b共线． D．若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb， 即e1＋e2＝λ(e1－3e2)， 所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 因为e1，e2是不共线向量， 所以所以λ不存在， 所以a与b不共线．] 7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 解析：由已知得，解得x＝y＝. 答案：　 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b. 答案：－a＋b 9．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析：设AC＝3k(k>0)，则CB＝2k，∴AB＝5k，∴＝，＝－. 答案：　－ 10.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值． 解析：＝＋＝＋＝ m＋， ∴＝m－.又＝＋＝＋(－)＝－，设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝. 11．(1)设a，b是两个不共线的向量，已知＝3a－2b，＝－2a＋4b，＝－2a－4b，试判断A，C，D三点是否共线； (2)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝3a－2b，＝2a－4b，证明：四边形ABCD为平行四边形． 解析：(1)∵＝＋＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b，又＝－2a－4b＝－2(a＋2b)，∴＝－2，∴与共线．又∵与有公共点C，故A，C，D三点共线． (2)证明：∵＝＋＝(a＋2b)＋(2a－4b)＝3a－2b＝，又A，B，C，D四点不共线，∴四边形ABCD是平行四边形． 12.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________． 解析：如图所示，设＝，＝， 则＝＋.由平行四边形法则知，MQ∥AB， ∴＝＝．同理＝．∴＝． 答案：2∶3 13.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论． 解：b与a＋c共线．证明如下：∵a＋b与c共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①,∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，,∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线． 学科网（北京）股份有限公司 $