6.2.2 向量的减法运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．2.2　向量的减法运算 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则． 2．掌握向量减法的几何意义．能熟练进行向量的加、减运算. 通过本节向量减法的学习，重点培养学生的逻辑推理，数学运算素养. 对应学生用书P7 [情境引入] 如图所示，两个班级举行一项热身运动：拔河比赛． 如果一方的力记为F1，另一方的力记为F2. 问题　那么它们的合力的大小是多少？方向如何？ 提示　设|F1|>|F2|，合力大小为||F1|－|F2||＝|F1|－|F2|，方向与力F1的方向一致． [知识梳理] [知识点一]　相反向量 与a长度　相等　，方向　相反　的向量，叫作a的相反向量． 1．规定：零向量的相反向量仍是　零向量　； 2．－(－a)＝　a　； 3．a＋(－a)＝　(－a)＋a　＝　0　； 4．若a与b互为相反向量，则a＝　－b　，b＝　－a　，a＋b＝　0　. 　模相等的向量是相反向量吗？相反向量是共线向量吗？ 提示：由相反向量定义可知，模相等的向量不一定是相反向量，相反向量是共线向量． [知识点二]　向量的减法 1．定义：a－b＝a＋　(－b)　，即减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　. 2.向量减法是向量加法的逆运算． 设x＋b＝a，则x＝a－b，如图，设＝a，＝b. 由向量加法的三角形法则可知 ＝＋， 则＝－＝a－b. 3．几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则　　＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量　b　的终点指向向量　a　的终点的向量． [知识点三]　非零向量a，b的差向量的三角不等式 1.当a，b不共线时， 如图①，作＝a，＝b， 则a－b＝－＝　　. 2．当a，b同向时， 若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b| 若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. 3．当a，b反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 4．可见，对任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 说明：①若a、b至少有一个为零向量时，向量不等式的等号成立． ②由于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，将－b代入b得： |a|－|－b|≤|a－b|≤|a|＋|b|， 即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. [预习自测] 1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　) A．a与b的长度相等 B．a∥b C．a与b一定相等 D．a是b的相反向量 答案：C　 2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－a＝0. 正确的个数是(　　) A．3　　　 B．4　　　　 C．5　　　 D．6 答案：D 3.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a、b表示向量 和 分别是(　　) A．a＋b和a－b　　　 B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a 答案：B　 4.＋－＝________. 答案：0 5．化简：(1)(－)＋(－)．(2)A＋D＋B－B－C 解析：(1)原式＝(＋)－(＋) ＝－＝＋＝. (2)A＋D＋B－B－C ＝(A＋B)＋D－(B＋C) ＝A＋D－B ＝－B＝A. 对应学生用书P9 向量减法法则的应用 [例1]　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d. [思路点拨]　利用减法的几何意义作图． [解]　如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d. 则a－b＝，c－d＝. 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a、b，如图①所示．作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b. [变式训练] 1．如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c. [解]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c. 由向量加法的平行四边形法则得＝a＋b； 由向量的减法法则得＝－＝a＋b－c. 所以就是所要求作的向量a＋b－c(如图所示)． 向量减法的运算 [例2]　化简下列式子： (1)－－－； (2)(－)－(－)． [思路点拨]　利用向量减法的运算律进行化简 [解]　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0. (2) 原式＝－－＋ ＝(－)＋(－)＝＋＝0. 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号．(2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点、由减数向量的终点指向被减数向量的终点． [特别提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化筒的重要技巧． [变式训练] 2．化简： (1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－)． [解]　(1)(－)－(－) ＝－＝. (2)(＋＋)－(－－) ＝＋－＋(＋) ＝＋－＋ ＝－＋＝＋＋ ＝＋＝0. 向量加法、减法的综合运算 [例3] 如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示： (1)－；(2)＋； (3)－. [思路点拨]　寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，再灵活运用三角形或平行四边形法则表示即可． [解]　(1)∵＝b，＝d， ∴－＝＝－＝d－b. (2)∵＝a，＝b，＝c，＝f， ∴＋＝(－)＋(－) ＝b＋f－a－c. (3)∵＝d，＝f， ∴－＝＝－＝f－d. (1)解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－”改为“＋”． [变式训练] 3.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，求. 解：在△AOD中，＝＋， 在△BOC中，＝－， 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝， ∴＝＋－＝a＋c－b. 对应学生课时P259 1．下列等式中，正确的个数为(　　 ) ①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0. A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C.] 2．化简下列各式：①＋＋；②－＋－；③－＋；④＋＋－.其中结果为零向量的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：D　[4个向量化简后均为零向量．] 3．下列说法正确的是(　　 ) A．两个方向相同的向量之差等于0 B．两个相等向量之差等于0 C．两个相反向量之差等于0 D．两个平行向量之差等于0 解析：B　[根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的．] 4．已知O为平行四边形ABCD所在平面上一点，且＝a，＝b，＝c，＝d，则(　　 ) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b－c＋d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b＋c－d＝0 解析：D　[在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴a－d＝，c－b＝，∴a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)＝＋＝0，∴选D.] 5．(多选题)化简下列各式，其结果为0的是(　　) A.－(－) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ 解析：ABCD　[A.－(－)＝＋＋＝＋＝0. B.－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0. C.－＋＝＋＝0. D.＋＋－＝＋＝0. 以上各式化简后结果均为0，故选ABCD.] 6．(多选题)下列各式中，化简结果为的是(　　) A．(－)－ B.－(＋) C．－(＋)－(＋) D．－－＋ 解析：ABC　[A.(－)－＝＋＋＝＋＝；B.－(＋)＝－0＝；C.－(＋MC)－(＋)＝－－－＝＋－＝；D.－－＋＝＋＋＝＋2.] 7．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则可用，表示为________． 解析：＝＋＝＋2＝＋2(－)，∴＝2－. 答案：2－ 8．对于非零向量a，b，当且仅当________时，有|a－b|＝||a|－|b||. 解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||. 答案：a与b同向 9．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则(1)|a＋b＋c|＝________； (2)|a－b＋c|＝________. 解析： (1)由已知得a＋b＝＋＝，∵＝c， ∴延长AC到E， 使||＝||.则a＋b＋c＝， 且||＝2.∴|a＋b＋c|＝2. (2)作＝，连接CF， 则＋＝，而＝－＝－＝a－b， ∴|a－b＋c|＝＋＝且||＝2. ∴|a－b＋c|＝2. 答案：(1)2　(2)2 10．已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d. 求证：ABCD是平行四边形． 证明：因为a＋c＝b＋d，所以a－b＝d－c，因为向量＝a，＝b，＝c，＝d，所以－＝－，即＝，所以BA∥CD，且BA＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形． 11．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝e，＝d，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示，，－，＋，－，＋＋. 解：＝－＝c－a，＝－＝d－a，－＝＝－＝d－b，＋＝－＋－＝b－a＋f－c，－＝＝－＝f－d＋＋＝0. 12.八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则－＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[－＝－＝.] 13．在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，且|a＋b|＝|a－b|，|a|＝6，|b|＝2. 求|a－b－c|. 解：a＋b＝，a－b＝，|a＋b|＝|a－b|， 故||＝||，故平行四边形ABCD是矩形， |a|＝6，|b|＝2，||＝||＝＝4， a－b－c＝－－＝－＋＝＋＝2，∴|a－b－c|＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $