6.1 平面向量的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．1　平面向量的概念 课程标准 素养解读 1.理解向量的几何表示的意义和方法． 2．理解零向量，单位向量及向量的模等概念． 3．理解零向量、相等向量及共线向量的概念． 4．掌握向量的夹角及其表示. 通过学习向量的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养. [情境引入] 猫和老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A点向正东追． 问题　1.猫能否追上老鼠？ 2．若猫的速度记为υ1，老鼠的速度记为υ2，那么υ1和υ2有什么关系？ 提示1.能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的速率． 2．υ1和υ2为共线向量． [知识梳理] [知识点一]　向量的概念 1．向量：既有　大小　，又有　方向　的量叫向量． 2．数量：只有　大小　，没有　方向　的量叫数量． 1.两个向量能否比较大小？ 提示：不能．向量是既有大小又有方向的量．所以只能比较它们模的大小． [知识点二]　向量的表示 1．有向线段 带有　方向　的线段叫作有向线段，它包含三个要素：　起点　、　方向　和　长度　，以点A为起点，B为终点的有向线段记作. 2．向量的几何表示 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说　向量　. 3．用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用带箭头的小写字母　　， 　　，　　，…表示向量． 2.有向线段就是向量吗？ 提示：不是．向量是既有大小又有方向的量，而有向线段除了有大小、方向外还有起点，所以二者是不同的，但是可以用有向线段表示向量． [知识点三]　向量的长度(模) 1．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 2．两种特殊的向量 (1)长度为0的向量称为 零向量 ，记作或0，任何方向都可以作为零向量的方向． (2)模等于1个单位长度的向量称为单位向量． [知识点四]　相等向量和共线向量 1．相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作　a＝b　.若两条有向线段方向相同，长度相等，则它们表示的向量是相等的．代表相同向量的有向线段与起点位置无关． 2．(1)若两个向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为　共线　向量或　平行　向量，也称这两个向量　共线或平行　，记作a∥b. (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线　重合或平行　. (3)若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为　相反向量　.相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作　－a　. (4)零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量． 3.单位向量都相等吗？ 提示：不一定．单位向量的长度都相等，但方向不一定相同，故不一定相等． [预习自测] 1．下列量中不是向量的是(　　) A．位移 B．重力 C．速度 D．温度 答案：D 2．下列各选项中，正确的是(　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b　 B．|a|>|b|⇒a>b C．|a|＝0⇒a＝0 D．|a|＝0⇒a＝0 答案：C 3．下列说法错误的是(　　) A．向量与模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 答案：D 4．零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”)． 答案：共线 5.如图以1×2方格中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)与A相等的向量有________； (2)与A共线的向量有________________． 解析：(1)与A相等的向量有B、C. (2)与A共线的向量有E、B、D. 答案：(1)B、C　(2)E、B、D 　向量的有关概念 [例1] 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨]　解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假． [解析]　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． [答案]　③ 向量有关概念的辨析问题，关键是理解有关概念的意义．向量是既有大小又有方向的量．向量的大小叫向量的长度或模．向量的有关概念都是从方向和大小两个方面定义的．仅从向量的大小考虑：长度为1个单位的向量叫单位向量，长度为0的向量叫零向量．仅从方向考虑：方向相同或相反的向量叫平行或共线向量；从两方面考虑：方向相同、大小相等的向量叫相等向量． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则a∥b B．|a|＞|b|，则a＞b C．若a∥b，则b∥c，则a∥c D．若a≠b，则a与b不共线 解析：A　[由向量相等的定义知A正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故B错误；选项C中，当c＝0时，a与c不平行，故C不正确；选项D中，a≠b可以是a∥b但a与b的模不相等，故D不正确．] 　向量的表示 [例2] 某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围． (1)作出向量，，； (2)求出|. [思路点拨]　作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，为此可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解． [解]　 (1)向量、、如图所示． (2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又||＝||， ∴在四边形ABCD中，AB綊CD. ∴四边形ABCD为平行四边形． ∴＝，∴||＝||＝200 km. (1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示，用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算． [变式训练] 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量，，； (2)求的模． 解析： (1)作出向量，，；如图所示． (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以＝＝5(米)， 所以||＝5米． 共线向量与相等向量 [例3] 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量： ①共线向量：________； ②方向相反的向量：________； ③模相等的向量：________. [思路点拨]　借助图形和向量相关概念进行判断。 [解析]　观察图形a∥d，b∥e，因此a与d是共线向量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向相反， 显然|a|＝，|c|＝，|d|＝因此a，c，d的模相等． [答案]　a与d，b与e　a与d，b与e　a，c，d 判断两个向量是否共线，关键是看方向是否相同或相反，判断两个向量相等，既要使方向相同，又要使长度相等． [变式训练] 3．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)若||＝3，求向量的模． 解：(1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB綊ED，AB綊DC，从而＝，＝， ∴＝，故与向量相等的向量是、. (2)∵＝，＝，∴＝. ∴与方向相同，从而E、D、C三点共线． ∴||＝||＋||＝2||＝6. 对应学生课时P255 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：C　[②③④⑤是向量．] 2．数轴上点A，B分别对应－1,2，则向量的长度是(　　 ) A．－1 B．2 C．1 D．3 解析：D　[||＝2－(－1)＝3.] 3．下列说法正确的个数为(　　 ) ①共线的两个单位向量相等； ②相等向量的起点相同； ③若∥，则一定有直线AB∥CD； ④若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：A　[①错，共线的两个单位向量的方向可能方向相反；②错，相等向量的起点和终点都可能不相同；③错，直线AB与CD可能重合；④错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线，故选A.] 4．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　 ) A．①④ B．③ C．①②③ D．②③ 解析：B　[a为任一非零向量，故|a|＞0.] 5. (多选题)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法正确的是(　　 ) A．与相等的向量只有一个(不含) B．与的模相等的向量有9个(不含) C.的模恰为的模的倍 D.与不共线 解析：ABC　[由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，.因此选项A，B正确；而Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝ ||.因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的，故选项D错误．] 6．下列说法不正确的是(　　 ) A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上； B．若向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0； C．向量的长度与向量的长度相等； D．单位向量都相等． 解析：D　[对于A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，故A正确．对于B，∵|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.故B正确．对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．故C正确．对于D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同．故D错误．] 7．给出以下5个条件： ①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)． 解析：相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立． 答案：①③④ 8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________. 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2. 答案：2 9．设O是正方形ABCD的中心，则(　　) A．向量，，，是相等的向量 B．向量，，，是平行的向量 C．向量，，，是模不全相等的向量 D.＝，＝ 解析：D　 [对于A项，，不共线，故A项错误； 对于B项，显然OA，OB不平行，且O，A，B三点不共线，故B项错误； 对于C项，根据正方形的性质，可知，，，的模相等，故C项错误； 对于D项，根据正方形的性质，，方向相同，，方向相同． 又，，，的模相等，所以＝，＝，故D项正确．] 10.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a. (2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么． 解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示． 11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地． (1)画出，，，； (2)求B地相对于A地的位置向量． 解： (1)向量，，，如图所示． (2)由题意知＝， ∴AD∥BC且AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形， ∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长6千米”． 12．一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点，则此人从C点回到A点的位移为______________． 解析：根据题意画出示意图(图略)．由题意可知，||＝100，||＝100，∠ABC＝45°＋15°＝60°，∴△ABC为正三角形，∴||＝100，即此人从C点回到A点所走的路程为100 m．又易知此人行走的方向为西偏北15°，所以此人从C点回到A点的位移为沿西偏北15°，长度为100 m. 答案：沿西偏北15°，长度为100 m 13．设O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： (1)分别找出与，相等的向量； (2)找出与共线的向量； (3)找出与模相等的向量； (4)向量与是否相等？ 解：(1)＝，＝.(2)与共线的向量有，，.(3)与模相等的向量有：，，，，，，.(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同． 学科网（北京）股份有限公司 $