第八章 立体几何初步 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂教师用书word（人教A版）

对应学生用书P124 [网络构建] [归纳提升] 　空间几何体的表面积和体积 1．几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 2．常用的计算方法 (1)公式法：根据题意直接套用表面积或体积公式求解． (2)割补法：割补法的思想是通过分割或补形，将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积． (3)等体积变换法：等积变换法的思想是从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理来求原几何体的体积． [例1]　如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：A　[如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH， 容易求得EG＝HF＝， AG＝GD＝BH＝HC＝， 取AD的中点O，连接GO，易得GO＝， ∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝， ∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱锥AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱锥AGD－BHC＝×××2＋×1＝．故选A.] [变式训练] 1．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积． 解：如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱． 设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. ∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝．又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边AB＝2rsin 45°＝r， ∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V＝S底·h＝(r)2·2r＝4r3＝4()3＝． 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为． 　空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透．在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理，特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律．如下图所示是平行关系相互转化的示意图． [例2]　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． [解]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图，连接BD交AC于点O，连接FO，则PF＝PB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是BD的中点，∴OF∥PD. 又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD， ∴OF∥平面PMD.又MA綊\PB， ∴PF綊MA.∴四边形AFPM是平行四边形． ∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD. ∴AF∥平面PMD. 又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC， ∴平面AFC∥平面PMD. [变式训练] 2.如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC 证明：∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC. 又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC， ∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC. ∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綊BD. ∴四边形BCND为矩形．∴DN∥BC. 又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴DN∥平面ABC.又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，∴平面DMN∥平面ABC. 　空间中的垂直关系1.空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法有： ①计算所成的角为90°(包括相交直线所成的角和异面直线所成的角)； ②由线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b)； ③面面垂直的定义：若两平面垂直，则两平面相交形成的二面角的平面角为90°； (2)判定线面垂直的方法有： ①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)； ②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)； ③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)； ④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)； ⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)． (3)面面垂直的判定方法有： ①根据定义(作两平面构成的二面角的平面角，计算：其为90°)； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2．垂直关系的转化是： [例3]　 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以四边形ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，又CD⊂平面ABCD， 所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD， AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 所以BE∩EF＝E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， 所以CD⊥平面BEF. 因为CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. [变式训练] 3.如图所示，在四棱锥P－AB－CD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 证明：(1)在四棱锥P－ABCD中． ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， ∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE， ∴PD⊥平面ABE. 　空间角问题1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题．空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视． 2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)． 3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)． 4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法． 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． [例4]　如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，故cos∠DAP＝＝．所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为． (2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC. (3)过点D作AB的平行 线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.在Rt△DCF中，可得DF＝＝2， 在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝． 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为． [变式训练] 4．△ABC所在平面外有一点S，已知SC⊥AB，SC与底面ABC所成角为θ，二面角S－AB－C的大小为φ，且θ＋φ＝90°，求二面角C－SB－A的大小． 解：如图，作SO⊥平面ABC于点O，连接CO并延长交AB于点D，连接SD. 则∠SCO是SC与平面ABC所成的角，∴∠SCO＝θ. ∵SO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴SO⊥AB. 又∵SC⊥AB，SO∩SC＝S，SC⊂平面SDC，SO⊂平面SDC，∴AB⊥平面SDC. ∵SD，CD⊂平面SDC，∴AB⊥CD，AB⊥SD. ∴∠SDO是二面角S－AB－C的平面角，即∠SDO＝φ. ∵θ＋φ＝90°，∴SC⊥SD. 又∵SC⊥AB，AB∩SD＝D，AB⊂平面SAB， SD⊂平面SAB，∴SC⊥平面SAB. 又∵SC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB， ∴二面角C－SB－A的大小为90°. 　立体几何中的探索性问题　解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解． [例5]　在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中(如图)，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE：ED＝2：1. (1)证明：PA⊥平面ABCD； (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． [证明]　(1)∵底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°， ∴AB＝AD＝AC＝a. 在△PAB中，PA2＋AB2＝2a2＝PB2， ∴PA⊥AB，同理PA⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)如图，连接BD交AC于G，则G是BD的中点，连接GE.取PE的中点H，连接BH. ∵PE：ED＝2：1，∴PH＝HE＝ED，即E是DH的中点． 在△BHD中，EG为中位线， ∴EG∥BH. 取PC的中点F，连接FH，BF，则FH∥CE. ∵BH⊄平面AEC，EG⊂平面AEC，∴BH∥平面ACE， 同理FH∥平面AEC， 又BH∩FH＝H，BH⊂平面BHF，FH⊂平面BHF， ∴平面BHF∥平面AEC，又BF⊂平面BHF， ∴BF∥平面AEC. 故在棱PC上存在一点F，使BF∥平面AEC. [变式训练] 5．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在线段A1D上． (1)证明：AA1⊥平面ABCD； (2)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时三棱锥E－ACD的体积． 解：(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝2. ∵AA1＝2，A1B＝2，AB＝2，∴AA＋AB2＝A1B2， ∴AA1⊥AB. 同理，AA1⊥AD. 又∵AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB∩AD＝A， ∴AA1⊥平面ABCD. (2)当E为A1D的中点时，A1B∥平面EAC. 证明：连接BD交AC于O，连接OE，则OE∥A1B. 又OE⊂平面EAC，A1B⊄平面EAC， ∴A1B∥平面EAC， 此时＝＝1. ∴设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1且EF＝\f(1,2)A1A＝1. 又由(1)知AA1⊥平面ACD，∴EF⊥平面ACD， ∴三棱锥E－ACD的体积 VE－ACD＝×1××2×2×＝． 学科网（北京）股份有限公司 $