8.6.3 平面与平面垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P315 1．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　 ) A．60°　　　　　　　　　 B．120° C．60°或120° D．不确定 解析：C　[若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.] 2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　 ) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：C　[因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.] 3．已知l，m、n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与直线m垂直，则直线n与平面α的关系是(　　 ) A．n∥α B．n∥α或n⊂ α C．n⊂α或n与α不平行 D．n⊂α 解析：A　[∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.] 4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题： ①a∥b，a∥α⇒b∥α； ②a⊥b，a⊥α⇒b∥α； ③a∥α，β∥α⇒a∥β； ④a∥α，β⊥α⇒a∥β 其中不正确的有(　　 ) A. 1个　 B. 2个　 C．3个　 D．4个 解析：D　[①中b⊂α有可能成立，所以①不正确；②中b⊂α有可能成立；故②不正确；③中a⊂β有可能成立，故③不正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.] 5．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：B　[异面直线所成的角α的范围为0°<α≤90°，直线和平面所成的角β的范围为0°≤β≤90°，二面角的平面角θ的范围为0°≤θ≤180°，只有二面角的平面角可能为钝角。] 6．(多选题)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝，构成三棱锥A′－BCD，则(　　) A．平面A′BD⊥平面BDC B．平面A′BD⊥平面A′BC C．平面A′DC⊥平面BDC D．平面A′DC⊥平面A′BC 解析：AD　[在三棱锥A′－BDC中，A′D＝A′B＝1，故BD＝，DC＝，又A′C＝，故A′C2＝A′D2＋DC2，则CD⊥A′D，又CD⊥BD，A′D∩BD＝D，所以CD⊥平面A′BD，故平面A′BD⊥平面BDC.又CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D，A′D∩CD＝D，所以A′B⊥平面A′DC，故平面A′DC⊥平面A′BC.] 7.如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B­PA­C的大小等于________． 解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC， 所以∠BAC是二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°， 则二面角B­PA­C的大小等于90°. 答案：90° 8.如图，PA⊥平面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可) 解析：根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时BM⊥PC.当BM⊥PC时，根据对称性可得DM⊥PC，又BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意． 答案：BM⊥PC(答案不唯一) 9.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝\r(2)，等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________. 解析：如图， 取AB的中点E，连接DE，CE. 因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时， 因为平面ADB∩平面ABC＝AB， 所以DE⊥平面ABC. 所以DE⊥CE. 由已知可得DE＝，CE＝1. 在Rt△DEC中，CD＝＝2. 答案：2 10.如图所示，在三棱锥A­BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD. (1)求证：平面ABD⊥平面ACD； (2)若AB＝2BD，求二面角A­DC­B的正弦值． 解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B. ∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD. (2)由(1)知∠ADB为二面角A­DC­B的平面角． 在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝＝BD，∴sin ∠ADB＝＝． 即二面角A­DC­B的正弦值为． 11.如图，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′ED是△AED绕DE翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题： ①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； ②恒有平面A′GF⊥平面BCED； ③三棱锥A′­FED的体积有最大值； ④直线A′E与BD不可能垂直． 其中正确命题的序号是________． 解析：对于命题①，由题意，知A′G⊥DE，FG⊥DE，A′G∩FG＝G，故DE⊥平面A′FG.又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当A′G⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当A′E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时，易证A′E与BD垂直，故该命题不正确． 答案：①②③ 12．如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD∥BC，BC＝kAB(k>0)，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN⊥平面BCDA，再将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O. (1)如图2，当k＝时，若点B1在MN上，且DM＝1，AB>1，证明：AB1⊥平面B1CD，并求AB的长度． (2)如图3，当k＝时，若点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1­AC­D的余弦值的取值范围． 解析：(1)∵点B1在平面ABCD上的射影为O且点B1在MN上，∴点O恰好落在边AD上，平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，平面AB1D∩平面ACD＝AD，∴CD⊥平面AB1D，又AB1⊂平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，CD∩CB1＝C，CD⊂平面B1CD，CB1⊂平面B1CD，∴AB1⊥平面B1CD，B1D⊂平面B1CD，∴AB1⊥B1D，设AB＝x，BC＝AD＝\r(2)x，则NB1＝，∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D＝·AB1＝，在Rt△B1CD中，x2＋ 2＝(x)2，解得x＝，∴AB＝． (2)作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，如图：当点O恰好落在△ACD的内部(不包括边界)时，点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1­AC­D的平面角，当k＝时，由△AEF∽△CEB，可得＝，且B1E＝EB，∴cos ∠B1EF＝∈，故二面角B1­AC­D的余弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $