8.6.2 直线与平面垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P313 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．6 解析：B　[仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．] 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　) A. B1B⊥l B. B1B∥l C．B1B与l异面但不垂直 D．B1B与l相交但不垂直 解析：B　[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.] 3．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于(　　) A．40° B．50° C．90° D．150° 解析：B　[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.] 4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是(　　) ①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α； ②若m⊥α，m⊂β，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n. A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 解析：B　[①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②由线面垂直的定义，易知②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．] 5．(多选题)下列命题错误的是(　　) A．若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α B．若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交 C．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行 D．过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直 解析：ABC　[A错误，若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与a平行、相交或l在α内、l⊥α都有可能； B错误，若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能； C错误，这两条直线可能平行，也可能不平行； D正确，不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A与直线a垂直，且α∩β＝l，设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c.因为a⊥α，a⊥β，所以a⊥b，a⊥c，这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的．所以，过点A和直线a垂直的平面只有一个．] 6．(多选题)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则(　　) A．AF⊥PB B．EF⊥PB C．AF⊥BC D．AE⊥平面PBC 解析：ABC　[对于A，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；对于B，由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；对于D，由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确．] 7．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形且边长为3，BD1与底面所成角的正切值为，则该四棱柱的侧棱长等于________． 解析：由题意得tan∠DBD1＝＝， 因为BD＝3，所以DD1＝BD＝×3＝2． 答案：2 8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是__________． 解析：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA. 又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC， 所以DE∥平面PAC. 答案：平行 9.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 解析：由已知得B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF，设AF＝x(0<x<3)，则CF2＝x2＋4，DF2＝1＋(3－x)2，CD2＝12＋32＝10，所以由CF2＋DF2＝CD2得x2＋4＋1＋(3－x)2＝10，解得x＝1或2，所以AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF. 答案：1或2 10．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.证明：B1C⊥AB. 证明：如图， 连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.因为BC1∩AO＝O，所以B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB. 11. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)求证：AE⊥平面PCD. (1) 解：在四棱锥P－ABCD中， 因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD. 所以PB在平面PAD内的射影为PA， 即∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. (2)证明：在四棱锥P－ABCD中， 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以CD⊥PA. 因为CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD. 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD. 12．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC, PC＝5，AB的中点为M，连接PM，CM，则PM与平面ABC所成的角的大小为________． 解析：由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角． 因为△ABC为等腰直角三角形，M是AB的中点， 所以AB＝＝10，CM＝AB＝5. 又PC＝5，所以∠PMC＝45°. 答案：45° 13.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，且D为棱AB的中点． (1)证明：AB⊥平面CC1D； (2)若2AA1＝3AB＝6，求点B1到平面ABC1的距离． 解：(1)由三棱柱的性质可知CC1∥AA1，因为AA1⊥平面ABC，所以CC1⊥平面ABC，因为AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB，因为D为AB的中点，且△ABC是等边三角形，所以CD⊥AB，因为CD、CC1⊂平面CC1D，且CC1∩CD＝C，所以AB⊥平面CC1D； (2)因为2AA1＝3AB＝6，所以AA1＝3，AB＝2，则△BB1C1的面积S＝×2×3＝3，作AE⊥BC，垂足为E，有AE⊂平面ABC，所以CC1⊥AE，又因为CC1、BC⊂平面BB1C1，CC1∩ BC＝C，所以AE⊥平面BB1C，因为△ABC是等边三角形，所以AE＝，则V三棱锥A­BB1C1＝S·AE＝×3×＝，因为CC1⊥平面ABC，AC、BC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥BC，则AC1＝BC1＝，故△ABC1的面积S1＝×2×＝2，设点B1到平面ABC1的距离为d，则三棱锥B1­ABC1的体积V三棱锥B1­ABC1＝S1d＝d，因为V三棱锥B1­ABC1＝V三棱锥A­BB1C1，所以d＝，所以d＝． 学科网（北京）股份有限公司 $