8.6.1 直线与直线垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P311 1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　 ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 解析：D　[因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.] 2．在三棱锥A­BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　 ) A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 解析：B　[如图， 在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊BD，同理GF綊BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.] 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　 ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：C　[如图， 因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.] 4.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[如图所示， 取BC的中点G，连接FG，EG. ∵E，F分别为CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD， 且FG＝AC，EG＝BD. ∵AC＝BD，∴FG＝EG， ∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角． ∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形． ∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.] 5．(多选题)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　 ) A．15° B．30° C．75° D．60° 解析：AC　[如图， 设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綊AB，FG綊CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角，∠GEF是EF与AB所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF. 当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.] 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论，其中正确的结论为(　　) A．直线AM与C1C是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：CD　[∵A、M、C1三点共面，且在平面ABC1D1，但C∉平面ABC1D1，C1∉AM，∴直线AM与C1C是异面直线，故A错误；因为M∈C1D1⊂平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1，但N∉平面ABC1D1，B∉AM，所以直线AM与BN也是异面直线，故B错误；因为B1∈B1C1⊂平面B1BCC1，BN⊂平面B1BCC1，但M∉平面B1BCC1，B1∉BN，所以直线BN与MB1是异面直线，故C正确；因为A∈平面A1ADD1，DD1⊂平面A1ADD1，但M∉平面A1ADD1，A∉DD1，所以直线AM与DD1是异面直线，故D正确．] 7.如图，P是平面ABC外的一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.则异面直线PA与BC所成的角的大小为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 解析：C　[取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA. 同理可得EF∥BC. ∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)． 在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝， ∴DE2＝DF2＋EF2， ∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.故选C.] 8.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形． 解析：由图易证：EF綊AC綊HG，∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形． 答案：AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB与A1D1所成的角为________，直线AD1与DC1所成的角为________． 解析：因为A1B1∥AB，所以∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角． 因为∠D1A1B1＝90， 所以直线AB与A1D1所成的角为90°. 连接AB1，B1D1. 因为AB1∥DC1， 所以AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角． 又AD1＝AB1＝B1D1， 所以△AB1D1为正三角形， 所以直线AD1与AB1所成的角为60°， 即直线AD1与DC1所成的角为60°. 答案：90°　60° 10.在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成角的大小． 解：如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF. ∵EO∥AB，∴＝＝，＝＝． ∵AB＝3，∴EO＝2. 又＝，∴＝ ∴OF∥DC，∴OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角，＝＝． ∵DC＝3，∴OF＝1. 在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，所以AB和CD所成的角为90°. 11. 如图，在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成的角的大小． 解：(法一)　如图， 连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O， 取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G， 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1.∴∠GOA1＝90°， ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. (法二)　如图，连接A1D 取A1D的中点H，连接HE， 则HE綊DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角． 连接HF，设AA1＝1， 则EF＝，HE＝， 取A1D1的中点I，连接IF，IH，则HI⊥IF， ∴HF2＝HI2＋IF2＝， ∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. 12.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为______. 解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确. 答案：①③ 13.已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角． 解：如图， 取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝AB； PN∥CD，且PN＝CD， 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角． 因为直线AB与CD成60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为AB＝CD，所以PM＝PN， ①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°. ②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°. 综上可知：AB与MN所成角为60°或30°. 学科网（北京）股份有限公司 $