8.5.3 平面与平面平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P309 1．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是(　　) A．平面E1FG1与平面EGH1 B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1 D．平面E1HG1与平面EH1G 解析：A　[如图， 易证E1G1∥平面EGH1，G1F∥平面EGH1. 因为E1G1∩G1F＝G1，所以平面E1FG1∥平面EGH1.] 2．给出下列四个命题： ①若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则a∥b；②若直线a∥直线b，直线a∥平面α，直线b∥平面β，则α∥β；③若平面α∥平面β，直线a⊂α，则a∥β；④若直线a∥平面α，a∥平面β，则α∥β. 其中真命题的个数为(　　 ) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 解析：A　[①错误，a与b平行或异面；②错误，平面α与平面β有可能相交；③正确；④错误，平面α和平面β有可能相交．] 3. 如图，若E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(　　) A．平行　　　　　 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：A　[因为E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，所以A1D1∥E1F1.又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，所以A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点，所以A1E1∥BE，即四边形A1EBE1是平行四边形，所以A1E∥BE1.又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，所以A1E∥平面BCF1E1.又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.] 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 解析：C　[如图， 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理，则BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形．] 5．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，则(　　) A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1 C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1 解析：AC　[∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，又∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D， ∴FG∥平面AA1D1D，故选项A正确； ∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交， ∴EF与平面BC1D1相交，故选项B错误； ∵FG∥BC1，FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故选项C正确； ∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故选项D错误．] 6．(多选题)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB 解析：ABC　[ 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B，C正确．] 7.在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1的位置关系是__________. 解析：因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1. 同理可证BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以平面ABC∥平面A1B1C1. 答案：平行 8．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在棱DD1上且满足D1E＝ED，点F是侧面ABB1A1上的动点，且D1F∥平面AEC，则动点F在侧面ABB1A1上的轨迹长度为________． 解析：如图， 取AA1的中点G，并连接GD1、GB、BD1，因为E在棱DD1上且满足D1E＝ED，即E是棱DD1的中点，所以BG∥CE，又BG⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BG∥平面AEC，同理可证D1G∥平面AEC，又BG∩GD1＝G，所以平面BGD1∥平面AEC，又平面BGD1∩平面ABB1A1＝BG，所以动点F在侧面ABB1A1上的轨迹即为BG，因为正方体的棱长为1，由勾股定理有：BG＝＝． 答案： 9.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________. 解析：因为ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，且AB＝CD. 又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD， 又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH， 所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH. 因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE， 所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1. 因为PA＝AB＝PB＝2， 所以PE＝，GH＝PE＝． 答案：1　 10.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面A1BD∥平面CB1D1. 证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，易证A1B∥D1C.因为A1B⊄平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，所以A1B∥平面CB1D1.同理可证A1D∥平面CB1D1.又A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，A1B∩A1D＝A1，所以平面A1BD∥平面CB1D1. 11．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②. 求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG. 证明：在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG. 12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________. 解析：由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，＝2=2＝． 答案： 13.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点． (1)若N是PD上的点，MN∥平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明． (2)在PB上是否存在一点Q，使AQ∥平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由． 解：(1)MN∥BC，理由如下，因为MN∥平面ABCD，MN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴MN∥AD.又因为BC∥AD，∴MN∥BC； (2)当Q是PB的中点时，AQ∥平面BDE成立，理由如下，取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴QF∥BE.∵QF⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴QF∥平面BDE，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，∴E为CF的中点，∴OE∥AF，∵AF⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AF∥平面BDE，又QF∩AF＝F，∴平面AQF∥平面BDE，∵AQ⊂平面AQF，∴AQ∥平面BDE. 学科网（北京）股份有限公司 $