8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P303 1．异面直线是指(　　) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 解析：D　[对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除． 对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除． 对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D.] 2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是(　　 ) A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：A　[由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．] 3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　 ) A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交 解析：D　[根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．] 4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　 ) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 解析：D　[由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．] 5.(多选)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线BN与MB1是异面直线 C．直线AM与BN平行 D．直线A1M与BN共面 解析：BD　 [A选项，∵A，M，C，C1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；B选项，∵B、N、M、B1四点不共面，∴根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；C选项，取DD1的中点E，连接AE、EN，则有AB∥EN，AB＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，∵AM与AE交于点A，∴AM与AE 不平行，则AM与BN不平行，故C错误；D选项，连接A1M，MN，NB，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知：BA1∥D1C，所以MN∥A1B，∴A1，B，M，N四点共面，∴直线A1M与BN共面，故选项D正确．] 6．(多选题)以下四个命题正确的是(　　) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价 C．若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面 解析：AC　[由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确； 由a⊂α，b⊂β，若直线a，b相交，平面α，β必相交， 若平面α，β相交，平面α内的直线a，β内的直线b未必相交，可能异面；B错误． 由基本事实3，C正确． 对于D，若n条直线相交于同一点，则它们未必共面．] 7．如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC＝l.现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②l∥AD；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④l与平面SCD所成的角为45°.其中，正确结论的个数是(　　) A．1　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析：C　[因为底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，所以ACBD为正方形，所以AD∥BC，又BC⊂平面SBC，AD⊄平面SBC，所以AD∥平面SBC，①正确；因为平面SAD∩平面SBC＝l，AD⊂平面SAD，AD∥平面SBC，所以l∥AD，②正确；当∠ASB≤90°时，△SAE的最大面积等于△SAB的面积，当∠ASB＞90°时，△SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90°的截面三角形的面积，所以③不正确；因为l∥AD，所以l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，就是∠ADC，易知∠ADC＝45°，所以④正确．综上，正确结论的个数为3，故选C.] 8．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是________． 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交． 答案：③ 9．下列命题正确的有________． ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线； ④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交； ⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面； ⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b. 解析：①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的． 答案：①⑤ 10．如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？平面A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？ 解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， ∴直线A′B在平面ABB′A′内． ∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B， ∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交． ∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交． ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．平面A′B∥平面CD′， 平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC、平面A′C′都相交． 11．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由； (2)判断c与a的位置关系，并说明理由． 解：(1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α. (2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a、b⊂γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内， 因此a∥b.又c∥b，所以c∥a. 12．给出下列命题： ①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点； ②两个平面的交线可能是一条线段； ③经过空间任意三点的平面有且只有一个； ④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面． 其中正确命题的序号为________． 解析：两个平面相交，则两个平面就是只有一条公共的交线，故①②错误；若空间中的任意三点在一条直线上，则经过这三点就有无数个平面，故③错误；④是正确的． 答案：④ 13.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是正方体，画出图中阴影部分的平面与平面ABCD的交线，并给出证明． 证明：如图，过点E作EN⊥CD于点N，连接NB并延长，交EF的延长线于点M，连接AM，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面， 因此EF与BN相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB， 而EF⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点． 又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点，所以AM为这两平面的交线． 学科网（北京）股份有限公司 $