6.4.3 第三课时 正、余弦的综合运用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P279 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75° B．60° C．45° D．30° 解析：B　[∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.] 2．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C等于(　　) A． B． C． D． 解析：B　[由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sin B＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sin C＝．] 3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：C　[由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝．由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝．] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin Bsin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　 ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝，又由sin Bsin C＝sin 2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．故选C.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC可以是(　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：AB　[由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin 2A＝sin 2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝．故选AB.] 6．(多选题)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　) A． B．3 C．2 D．4 解析：AC　[由AB＝2，AC＝2，B＝30°及正弦定理＝得sin C＝＝＝． 由角C为三角形的内角可知C＝60°或120°.因此A＝90°或30°. 在△ABC中，由AB＝2，AC＝2，A＝90°或30°， 得面积S＝AC·AB·sin A＝2或．] 7．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为________． 解析：由余弦定理，得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理，得＝＝2. 答案：2 8．在△ABC中，AB＝，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________. 解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°， 所以S△ABD＝··1·sin 30°＝，又D是BC边中点，所以S△ABC＝2SABD＝． 答案： 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________. 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．由＝得sin B＝sin A＝， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0， 解得c＝3(舍负)． 答案：　3 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A＝ccos A＋acos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值． 解析：(1)根据正弦定理，得2bcos A＝ccos A＋acos C⇒2cos Asin B＝cos Asin C＋sin Acos C＝sin (A＋C)＝sin B，∵sin B≠0，∴cos A＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°. (2)由余弦定理，得7＝a2＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 把b＋c＝4代入，得bc＝3，故bc＝3. 11．在△ABC中，a2＋b2－mc2＝0(m为常数)， 且＋＝，求m的值． 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2＝c2＋2abcos C，由a2＋b2－mc2＝0，得c2＋2abcos C＝mc2，即2abcos C＝(m－1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin Bcos C＝(m－1)sin 2C，又由＋＝， 得＝＝，即sin Asin Bcos C＝sin 2C，得m－1＝2⇒m＝3. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，则△ABC为(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：D　[因为lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，所以lg ＝lg sin A＝lg ，所以c＝b，且sin A＝．因为A为锐角，所以A＝， 所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D.] 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得：2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即2cos Csin (A＋B)＝sin C．故2sin Ccos C＝sin C．可得cos C＝，所以C＝． (2)由已知，absin C＝．又C＝，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.故a2＋b2＝13，从而 (a＋b) 2＝25.所以△ABC的周长为5＋． 学科网（北京）股份有限公司 $