6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P271 1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　 ) A．±2 B．0 C．－2 D．2 解析：B　[由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.] 2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影向量为(　　 ) A．(，) B．(－，－) C．(，－) D．(－，) 解析：D　[向量a在b方向上的投影向量为·＝·＝(－，－)．] 3．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝(　　 ) A．1 B．3 C．4 D．5 解析：D　[因为a＝(x，y)，b＝(－1,2)，所以a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)， 所以解得所以a＝(2,1)， 所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5.] 4.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则(－)·(－)(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．4 解析：D　[如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1， 故＝(1,0)，＝(0,2)，＝(2,1)， 则(－)·(－)＝(1，－2)·(2，－1)＝2＋2＝4.] 5．(多选题)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值可能为(　　) A．－ B. C. D. 解析：ABC　[∵＝(2,3)，＝(1，k)， ∴＝－＝(－1，k－3)． 若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝. 故所求k的值为－或或.] 6．(多选题)角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　 ) A．－ B. C. D. 解析：AC　[∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)， ] 7.若|a|＝2，b＝(，)，a·(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________． 解析：因为b＝(，)，所以|b|＝2.因为|a|＝2，a·(b－a)＋2＝0， 所以a·b－a2＝a·b－22＝－2，所以a·b＝2. 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为. 答案： 8．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x，2＋log2x)，则满足a·b＜0的实数x的取值集合为________． 解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2＜0⇒(log2x＋1)(log2x－2)＜0，所以－1＜log2x＜2，所以＜x＜4. 答案： 9．已知a＝(2,1)与b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________，|a＋tb|的最小值为________． 解析：∵a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝＝.∴当t＝－时，|a＋tb|有最小值. 答案：－　 10．已知O为坐标原点，＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)，则在线段上是否存在点M，使得⊥？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设存在点M，且＝λ＝(6λ，3λ)(0≤λ≤1)，∴＝(2－6λ，5－3λ)，＝(3－6λ，1－3λ)． ∵⊥，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝或λ＝.∴＝(2,1)或＝.∴存在M(2,1)或M满足题意． 11．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)， (1)试求向量2＋的模； (2)若向量与的夹角为θ，求cos θ； (3)求向量在上的投影向量． 解：(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)， ＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，所以2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)， 所以|2＋|＝ ＝5. (2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)， 所以cos θ＝＝. (3)由(2)知向量与的夹角的余弦为cos θ＝，且||＝. 所以向量在上的投影向量为 12.如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·(b－a)＝(　　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：A　[因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以 a ＝ b ＝1，a·b＝0. 由题意，可设＝－(b－a)＋λ·(b＋a)，λ∈R，所以p·(b－a)＝－(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)＝－(b－a)2＋( b2－ a 2) ＝－( a2＋ b2－2a·b)＝－(1＋1－0)＝－.] 13．已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值． 解：由题知，|a|＝2，|b|＝1， a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b. 由x⊥y得，[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0， 即－ka2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3－3t)b2＝0. ∵|a|＝2，|b|＝1，∴k＝.∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－. 即当t＝－2时，有最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $