6.3.1 平面向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P265 1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　 ) A．e1－e2，e2－e1 B．2e1－e2，e1－e2 C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2 解析：D　[选项A中，e1－e2＝－(e2－e1)，即e1－e2与e2－e1共线，不能作为基底；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，即2e1－e2与e1－e2共线，不能作为基底；选项C中，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，即2e2－3e1与6e1－4e2共线，不能作为基底；选项D中的两个向量不共线，可作为基底．] 2．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3，则(　　 ) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 解析：A　[由＝3得－＝3(－)，即3＝－＋4，所以＝－＋.] 3．已知非零向量，不共线，且2＝＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：A　[由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，∴，消去λ得x＋y＝2.] 4．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　 ) A. B. C．1 D．3 解析：B　[如图， 因为＝，所以＝ ，＝m＋＝m＋，因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，故选B.] 5．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的是(　　) A．λe1＋μ e2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数λ，μ有无数多对 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. 解析：BC　[由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选BC.] 6．(多选题)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝－a＋b C.＝－a＋b D.＝－a＋b 解析：ABD　 [由题意可得，＝＋＝b＋a，故A正确； ＝＋＝－a＋b＋a＝b－a，故B正确； ＝＋＝－a＋＝－a＋b＋a×＝b－a，故C错误； ＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a，故D正确．] 7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． 解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4. 答案：(－∞，4)∪(4，＋∞) 8．已知a＝e1＋e2，b＝2e1－e2，c＝－2e1＋4e2(e1，e2是同一平面内的两个不共线向量)，则c为________(用a，b表示)． 解析：设c＝λa＋μb，则－2e1＋4e2＝λ(e1＋e2)＋μ(2e1－e2)，所以 解得故c＝2a－2b. 答案：2a－2b 9．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________. 解析：∵向量e1，e2不共线， ∴解得 答案：－15　－12 10．如图所示，平行四边形ABCD中，M是DC的中点，N在线段BC上，且NC＝2BN.已知＝c，＝d，试用c，d表示和. 解析：因为四边形ABCD为平行四边形，M为DC的中点，NC＝2BN，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋.因为＝c，＝d，所以 解得＝(3d－c)，＝(2c－d)． 11．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，若存在实数λ和μ，使d＝λa＋μb与c共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？ 解析：∵d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，若d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线． 12．已知O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，则点P的轨迹一定过△ABC的(　　 ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 解析：D　[∵O为△ABC所在平面上一点，D是AB的中点，动点P满足＝[(2－2λ)＋(1＋2λ)](λ∈R)，且(2－2λ)＋(1＋2λ)＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故选D.] 13．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O为三角形ABC内一点，且满足：＋2＋3＝3＋2＋，则＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵O为三角形ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋， ∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－)⇒3＋＋2＝0， ∵SA·＋SB·＋SC·＝0.∴＝＝＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $