6.2.4 向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P263 1．给出以下五个结论 ①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b| ≤a·b，其中正确结论的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[①②③显然正确；(a·b)·c与c共线，而a·(b·c)与a共线，故④错误；a·b是一实数，应该有│a·b│≥a·b，故⑤错误．] 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　 ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案：D 3．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝(　　 ) A．16 B．256 C．8 D．64 解析：A　[∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.] 4．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b>0，则△ABC是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 解析：D　[由·＞0知，·＜0，即角B为钝角．] 5．(多选题)已向量a，b和实数λ，下列选项中正确的是(　　) A．|a|2＝a2 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a＋b)＝λa＋λb D．|a·b|≤|a||b| 解析：ACD　[选项B中，|a·b|＝||a||b|cos θ|，其中θ为a与b的夹角．] 6．(多选题)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论错误的是(　　) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b 解析：ACD　[由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，∴a⊥b，B正确．] 7．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向的夹角为60°， |F| ＝5牛顿，物体从A至B力F所做的功W＝__________. 解析：由物理知识知W＝F·s＝ |F| · |s| cos θ＝5×10×cos 60°＝25(焦耳)． 答案：25焦耳 8．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1.则a与b的夹角θ为________． 解析：因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： 9．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________. 解析：·＝||||cos ∠BAC， 即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝， 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°. 又AB＝AC，故△ABC是等边三角形． 此时·＝||||cos 120°＝－8. 答案：等边三角形　－8 10．已知向量a，b满足 |a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°. (1)求(2a－b)·(a＋b)； (2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值． 解：(1)由题意，得a·b＝ a · b cos 60°＝1×4×＝2. ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12. 11．设a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋2e2，其中e1⊥e2且e＝e＝1. (1)求|a＋b|的值； (2)当k为何值时，ka＋b与a－3b互相垂直． 解析：(1)∵|a＋b|2＝(－2e1＋4e2)2＝4e－16e1·e2＋16e.又e1⊥e2，∴e1·e2＝0， ∴|a＋b|2＝20， ∴|a＋b|＝＝2. (2)由题知a2＝(e1＋2e2)2＝5，b2＝(－3e1＋2e2)2＝13，a·b＝(e1＋2e2)·(－3e1＋2e2)＝1.若ka＋b与a－3b垂直，则(ka＋b)·(a－3b)＝ka2＋(1－3k)a·b－3b2＝0，即5k＋(1－3k)－3×13＝0，解得k＝19. 12．(多选)定义：已知两个非零向量a与b的夹角为θ.我们把数量|a||b|sin θ叫做向量a与b的叉乘a×b的模，记作|a×b|，即|a×b|＝|a||b|sin θ.则下列命题中正确的有(　　) A．若平行四边形ABCD的面积为4，则|×|＝4 B．在正△ABC中，若＝|×|(＋)，则＝3 C．若|a×b|＝，a·b＝1，则|a＋2b|的最小值为2 D．若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2＋2 解析：ACD　[对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以||·||sin ∠BAD＝4， 所以|×|＝4，故A正确； 对于B，设正△ABC的边BC边上的中点为E，则＋＝2， 因为＝|×|(＋)，所以＝2||·||sin 60°＝||2， 所以＝＝＝＝，所以B错误； 对于C，因为|a×b|＝，a·b＝1，所以|a||b|sin 〈a，b〉＝，|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1， 所以tan 〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈(0，π)，所以〈a，b〉＝，所以|a|·|b|＝2， 所以|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2≥2＋4＝12，当且仅当|a|＝|b|＝2时等号成立，所以|a＋2b|的最小值为2，所以C正确； 对于D，若|a×b|＝1，|b×c|＝2，且b为单位向量，则当|a|＝，〈a，b〉＝，|c|＝4，〈b，c〉＝时，可以等于〈a，c〉＝＋＝， 此时|a×c|＝|a|·|c|sin 〈a，c〉＝4×＝2＋2，所以D正确．] 13．在△ABC中，设·＝·. (1)求证：△ABC为等腰三角形； (2)若|＋|＝2，B∈[，]，求·的取值范围． 解：(1)证明：因为·＝·，所以(－)·＝0.又因为＝－(＋)，所以－(＋)·(－)＝0，所以2＝2，即||2＝||2，所以||＝||，所以△ABC为等腰三角形． (2)因为B∈，所以cos B∈.设||＝||＝a，由|＋|＝2，得|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝，所以·＝a2cos B＝＝2－∈[－2，]．故·的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $