6.2.3 向量的数乘运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业word （人教A版）

对应学生课时P261 1．下列各式计算正确的个数是(　　 ) ①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　[根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．] 2．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[∵A，B，D三点共线，∴＋λ＝1，λ＝.] 3．下列各组向量中，能推出a∥b的是(　　 ) ①a＝－3e，b＝2e；②a＝e1－e2，b＝－e1；③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋ A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：B　[①中，a＝－b，所以a∥b；②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线．] 4．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　 ) A．反向平行　　　　 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：A　[由－＝2，得＝＋.同理可得，＝＋，＝＋，所以＋＋＝－，故选A.] 5．(多选题)已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b ＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b 解析：AB　[由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故A正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故B正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，且b与a不一定共线，故C错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D错误．] 6．(多选题)已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(　　) A．a＝e1，b＝－2e2 B．a＝e1－3e2，b＝－2e1＋6e2 C．a＝3e1－e2，b＝2e1－e2 D．a＝e1＋e2，b＝e1－3e2 解析：BC　[因为e1，e2是不共线的向量， 所以e1，e2都不是零向量． A．若a与b共线，则e1，e2共线，这与已知矛盾，所以a与b不共线． B．因为b＝－2e1＋6e2＝－2(e1－3e2)＝－2a，所以a与b共线． C．因为b＝2e1－e2＝＝a，所以a与b共线． D．若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a＝λb， 即e1＋e2＝λ(e1－3e2)， 所以(1－λ)e1＋(1＋3λ)e2＝0. 因为e1，e2是不共线向量， 所以所以λ不存在， 所以a与b不共线．] 7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 解析：由已知得，解得x＝y＝. 答案：　 8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b. 答案：－a＋b 9．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________. 解析：设AC＝3k(k>0)，则CB＝2k，∴AB＝5k，∴＝，＝－. 答案：　－ 10.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值． 解析：＝＋＝＋＝ m＋， ∴＝m－.又＝＋＝＋(－)＝－，设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝. 11．(1)设a，b是两个不共线的向量，已知＝3a－2b，＝－2a＋4b，＝－2a－4b，试判断A，C，D三点是否共线； (2)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝3a－2b，＝2a－4b，证明：四边形ABCD为平行四边形． 解析：(1)∵＝＋＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b，又＝－2a－4b＝－2(a＋2b)，∴＝－2，∴与共线．又∵与有公共点C，故A，C，D三点共线． (2)证明：∵＝＋＝(a＋2b)＋(2a－4b)＝3a－2b＝，又A，B，C，D四点不共线，∴四边形ABCD是平行四边形． 12.如图所示，设M，N为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为________． 解析：如图所示，设＝，＝， 则＝＋.由平行四边形法则知，MQ∥AB， ∴＝＝．同理＝．∴＝． 答案：2∶3 13.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论． 解：b与a＋c共线．证明如下：∵a＋b与c共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①,∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，,∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.故a＋c与b共线． 学科网（北京）股份有限公司 $