8.6.2 直线与平面垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

8.6.2　直线与平面垂直 第八章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.了解直线与平面所成的角，会求直线与平面所成的角． 2．了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的判定定理． 3．掌握直线与平面垂直的性质，会运用直线与平面垂直求点到平面的距离. 通过对直线与平面垂直的判定与性质的运用，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养. [情境引入] 鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常遇到直角，为省事他经过改进做成一把“L”形的木尺，叫曲尺．现在的木工要检查一根木棒是否和板面垂直．只需用曲尺在不同的方向(不是相反方向)检查两次，曲尺的两边分别与木棒和板面密合即可． 问题　这种操作得出木板与板面垂直的依据是什么？ 提示　直线与平面垂直的判定定理． [知识梳理] [知识点一]　直线与平面垂直的定义及画法 1．直线与平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的　任意一条　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.如图(1)．其中，直线l叫作平面α的　垂线　，平面α叫作直线l的　垂面　，直线l与平面α唯一的公共点P叫作　垂足　. 1.如果直线与平面内无数条直线垂直，那它和平面垂直吗？ 提示：不一定．当直线与平面不垂直时，平面内也有无数条直线与直线垂直． 2．a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α对吗？ 提示：不一定．只有当a与b相交时，才有l⊥α. [知识剖析] (1)定义中强调的是直线l垂直于平面内的任意一条直线(即所有直线)，并不是无数条直线． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但巳知直线与平面垂直时，可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直，从而给判定两条直线垂直带来方便．例如，若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，简述为“若线面垂直，则线线垂直”．这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法． 2．直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若平面水平放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的横边垂直[如图(1)]；若平面竖直放置，则将直线画成与表示平面的平行四边形的竖直边垂直[如图(2)]． 3．重要结论 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条． 4．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫作这个点到该平面的距离． [知识点二]　直线与平面垂直的判定 1．判定定理 (1)文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图． (3)符号语言：l⊥m，l⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α⇒l⊥α. [知识剖析] (1)该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”． (2)该定理的作用：证明线面垂直． (3)在应用该定理判定一条直线和一个平面垂直时，一定要注意这条直线是和平面内的两条相交直线垂直，而不是和任意的两条直线垂直． (4)要证一条直线与一个平面垂直，只需在这个平面内找到两条都和该直线垂直的相交直线即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线和已知直线是否有公共点也是无关紧要的． 2．平面的斜线与直线与平面所成的角 (1)一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的　斜线　，斜线和平面的交点A叫做　斜足　，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的　射影　. (2)平面的一条斜线和　它在平面上的射影　所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． (3)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是　90°　；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是　0°　.直线与平面所成的角θ的取值范围是　0°≤θ≤90°　. 3．(1)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线　平行　，用符号表示为：a⊥α，b⊥α，则　a∥b　. (2)与垂直有关的结论 ①如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也　垂直于　这个平面． ②过空间中一点．有且只有一条直线与已知平面垂直． 3.两条平行线中的一条垂直一个平面，另一条垂直这个平面吗？ 提示：垂直． 4．垂直于同一个平面的两个平面一定平行吗？ 提示：不一定．例如正三棱柱的两个侧面都垂直于底面，但它们不平行． 5．证明两条直线平行的常用方法有哪些？ 提示：(1)基本事实4；(2)线面平行的性质定理；(3)面面平行的性质定理；(4)线面垂直的性质定理． [预习自测] 1．如果一条直线垂直于一个平面的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． A．①③　 B．②　 C．②④　 D．①②④ 解析：A　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．] 2．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①②　 B．②④　 C．①③　 D．②③ 解析：B　[对于①，易证AB与CE所成角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直； 对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，CE，ED⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，得ED⊥AB，易证EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　) A．相交　 B．异面　 C．平行　 D．不确定 解析：C　[∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，∴l∥m.] 4．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq \r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________． 解析：由题意知∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq \f(PA,AC)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠PCA＝30°. 答案：30°. 5.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝eq \f(5,4)，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝eq \r(2)．证明：D′H⊥平面ABCD. 证明：由已知得：AC⊥BD，AD＝CD， 又由AE＝CF，得eq \f(AE,AD)＝eq \f(CF,CD)，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝eq \f(AB2－AO2)＝4. 由EF∥AC得eq \f(OH,DO)＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(1,4)，所以OH＝1，D′H＝DH＝3， 于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，OH，EF⊂平面ABCD. 所以D′H⊥平面ABCD. 线面垂直概念的理解 [例1]　下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线； ④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直； ⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条． [思路点拨]　正确理解线面垂直的定义是解题的关键． [解析]　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤. [答案]　④⑤ 1．直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． 2．由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. [变式训练] 1．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是(　　) A．若直线a与平面α内的一条直线垂直，则直线a与平面α垂直 B．若直线a与平面α内的两条平行直线垂直，则直线a与平面α垂直 C．若直线a与平面α内的两条相交直线垂直，则直线a与平面α垂直 D．若直线a与平面α内的无数条直线垂直，则直线a与平面α垂直 解析：C　[直线a与平面α内的两条相交直线垂直才可得直线a与平面α垂直，A，B不符；D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符；故A，B，D错误，C正确．] 直线与平面垂直的判定定理 [例2]　如图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD于点E，作AH⊥BE于点H.求证：AH⊥平面BCD. [思路点拨]　在平面BCD内寻找两条相交直线都和AH垂直即可． [证明]　连接AE，取AB的中点F，连接CF，DF. ∵AC＝BC，∴CF⊥AB. 又∵AD＝BD，∴DF⊥AB. ∵CF∩DF＝F，CF⊂平面CDF，DF⊂平面CDF， ∴AB⊥平面CDF. 又∵CD⊂平面CDF，∴CD⊥AB. 又∵CD⊥BE，AB∩BE＝B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE， ∴CD⊥平面ABE.又∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，BE⊂平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AH⊥平面BCD. 1．要证线面垂直，即证这条直线垂直于平面内的两条相交直线，而要证线线垂直，又可以考虑证一条直线垂直于另一条直线所在的平面．若两条直线共面还可以用平面几何的知识或勾股定理的逆定理来证明． 2．线线垂直和线面垂直的相互转化 [变式训练] 2.如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC. 在RtABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB， ∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥平面ABC. (2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD， 于是BD垂直于平面SAC的两条相交直线． ∴BD⊥平面SAC. 求直线与平面所成的角 [例3]　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点．求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值． [思路点拨]　先作出AE在平面ABC1D1上的射影，找角，再求角． [解]如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于点O，连接AO，B1C. 由ABCD－A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1⊂平面ABC1D1，D1C1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1. ∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C， ∴EF⊥平面ABC1D1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角． 在Rt△EOA中，EO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,2)B1C＝eq \f(\r(2),2)， AE＝eq \r(A1E2＋AA\o\al(2,1))＝eq \r((\f(1,2))2＋12)＝eq \f(\r(5),2)， ∴sin∠EAO＝eq \f(EO,AE)＝eq \f(\r(10),5)． ∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为eq \f(\r(10),5)． 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． [变式训练] 3.如图，在正四面体A－BCD中，E是棱AD的中点，求直线CE与底面BCD所成的角的正弦值． 解：设正四面体A－BCD的棱长为1. 如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O是△BCD的重心，故OD＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)． 过点E作EG∥OA，EG∩OD＝G，则EG⊥平面BCD.连接CG，于是∠ECG就是直线CE与底面BCD所成的角． 在Rt△EGC中，EG＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)eq \r(AD2－DO2)＝ eq \f(1,2)×eq \r(12－(\f(\r(3),3))2)＝eq \f(\r(6),6)，CE＝eq \f(\r(3),2)， ∴sin∠ECG＝eq \f(EG,EC)＝eq \f(\f(\r(6),6),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(2),3)． ∴直线CE与底面BCD所成的角的正弦值为eq \f(\r(2),3)． 线面垂直性质定理的应用 [例4]　如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交． 求证：EF∥BD1. [思路点拨]　要证线线平行，先证线面垂直，证EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C. [证明]　如图所示， 连接AB1，B1D1，B1C，BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D， ∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 证明线线平行常用的方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行． [变式训练] 4．如图(1)，在梯形ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD＝DE＝1，AE＝BC＝2，现将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使AD＝eq \r(5)，BD＝eq \r(3)，得到如图(2)所示的几何体，求证：AB∥CD. 证明：如图(1)在Rt△EDC中，CD＝DE＝1，所以EC＝eq \r(2)，∠DEC＝∠ECB＝45°，在△BEC中，EC＝eq \r(2)，BC＝2，∠ECB＝45°，由余弦定理得BE＝eq \r(2＋4－2×\r(2)×2×\f(\r(2),2))＝eq \r(2)，所以EC2＋BE2＝BC2，所以BE⊥EC，同理可得，在△ABE中，AB＝eq \r(2)，且AB⊥BE.如题图(2)在△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因为BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BDE，所以AB⊥平面BDE，在Rt△EDC中，ED⊥CD，在△BDC中，BD2＋CD2＝BC2，则BD⊥CD，因为ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDE，所以CD⊥平面BDE，所以AB∥CD. 直线与平面垂直的应用 [例5]　如图所示，已知P为△ABC外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离． [思路点拨]　先作线面垂直，再解△AOB求出OA，然后解Rt△OPA求出PO，即点P到平面ABC的距离． [解]　如图所示，过P作PO⊥平面ABC于O点， 连接AO，BO，CO， ∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.∵PA＝PB＝PC＝a， ∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．又PA，PB，PC两两垂直，∴AB＝BC＝CA＝\r(2)a， ∴△ABC为正三角形，∴OA＝eq \f(\r(3),3) AB＝eq \f(\r(6),3) a. ∴PO＝eq \r(PA2－AO2)＝eq \f(\r(3),3)a.∴点P到平面ABC的距离为eq \f(\r(3),3)a. 1．求点线距离：一般先作点到直线的垂线段，再把此垂线段放在一个三角形中，解此三角形求垂线段的长度． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上的任一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离，求线面距离常转化为求点面距离或平行线间的距离． 3．求点面距离的常用方法； (1)直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常是化归到某一个直角三角形中去求解； (2)转移法：借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解； (3)等积法：利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高)． [变式训练] 5.如图所示，三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD； (2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A－MBC的体积． (1)证明　∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B， AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD. (2)解：由AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，得AB⊥BD. ∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝eq \f(1,2)． ∵M是AD的中点，∴S△ABM＝eq \f(1,2)S△ABD＝eq \f(1,4)． 由(1)知，CD⊥平面ABD， ∴三棱锥C－ABM的高h＝CD＝1， 因此三棱锥A－MBC的体积VA－MBC＝eq \f(1,3)S△ABM·h＝eq \f(1,12)． $