8.6.1 直线与直线垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

8．6　空间直线、平面的垂直 8．6.1　直线与直线垂直 第八章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2．掌握两异面直线所成的角的求法. 通过异面直线所成角、线线垂直概念的学习，以及计算异面直线所成角的大小，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养、直观想象素养. [情境引入] 　空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线．在初中我们已经研究了平行直线和相交直线．本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系． [知识梳理] [知识点]　异面直线所成的角 1．两条异面直线所成的角的定义 如图(1)(2)，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． 1.怎样做两异面直线的夹角？ 提示：(1)由“空间等角定理”可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的任一条直线上，如图． (2)研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把空间角问题转化为平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． 2．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a和b，记作a⊥b. 2.作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗？点O的位置怎样取才比较简便？ 提示：根据等角定理可知，夹角的大小与点O的位置无关．通常将O点取在其中一条直线上比较方便． 3．如果两条直线垂直，它们一定相交吗？ 提示：不一定．在空间中，两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 3．异面直线所成角的范围 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°.所以异面直线所成角α的取值范围是0°<α≤90°. 4．异面直线所成角的求法 求异面直线所成角的步骤如下： (1)平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线(即作出异面直线所成的角)．这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的端点或中点，也可以是异面直线中某一条直线上的一个特殊点． (2)证明：证明作出的角就是要求的角． (3)计算：求角度，常利用解三角形的知识． (4)下结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是要求的异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是要求的异面直线所成的角． 以上步骤可简记为：作、证、求、下结论． [预习自测] 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A．45°　　　 B．60° C．90° D．120° 解析：B　[取A1B1的中点M，连接GM，HM. ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，∴△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角， ∴∠MGH＝60°.] 2．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．90° 解析：C　[由原来的直三棱柱补成一个正方体ABDC－A1B1D1C1(图略)，∵AC1∥BD1， ∴∠A1BD1即为异面直线BA1与AC1所成的角． ∵△A1BD1为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°.故选C.] 3．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论： ①AB与CD所在直线垂直； ②CD与EF所在直线平行； ③AB与MN所在直线成60°角； ④MN与EF所在直线异面． 其中正确结论的序号是(　　) A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 解析：C　[画出原正方体如图所示， 连接DN，DM，由图可知①②错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以③AB与MN所在直线成60°角，是正确的；显然④MN与EF所在直线异面，是正确的．] 4．空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝eq \r(3)，则异面直线AD，BC所成的角为________． 解析：如图取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD，所以∠EHF就是异面直线AD，BC所成的角(或所成角的补角)，因为AD＝BC＝2，所以EH＝HF＝1，则△EHF是等腰三角形，又EF＝eq \r(3)，所以∠EHF＝120°，则异面直线AD，BC所成的角为60°. 答案：60° 5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1， 求证：AC⊥B1D. 证明：如图，连接BD，交AC于O， 设BB1的中点为E， 连接OE，则OE∥DB1，所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角． 连接AE，CE，易证AE＝CE， 又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D. 异面直线的判定或证明 [例1]　如图，若点P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M为AB的中点．求证：PN与MC为异面直线． [思路点拨] [证明]　(方法一：反证法) 假设PN与MC不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN⊂α，MC⊂α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α. ∵PA≠PB，PN⊥AB，N为垂足，M是AB的中点，∴点M与点N不重合．∵M∈α，N∈α，∴直线MN⊂α. ∵A∈直线MN，B∈直线MN，∴A∈α，B∈α. 即A，B，C，P四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾． ∴假设不成立，即PN与MC为异面直线． (方法二：判定定理法) ∵PA≠PB，∴点N与点M不重合． ∵N∈平面ABC，P∉平面ABC，CM⊂平面ABC，N∉CM， ∴根据异面直线判定定理可知，直线PN与MC为异面直线． 判定或证明异面直线的方法有两种：(1)定义法，由定义法判定两条直线不可能在同一平面内，常用反证法； (2)判定定理法，过平面外一点与平面内一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线． [变式训练] 1.如图，观察正方体ABCD－A1B1C1D1，证明直线A1B与B1C，AB与B1C为异面直线． 证明：∵直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点， ∴两直线平行， ∵直线D1D与直线D1C相交于D1点， 点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内， ∴直线A1B与直线B1C异面． 同理，直线AB与直线B1C异面． 求异面直线所成角的大小 [例2]　在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值． [思路点拨]　先通过找平行线作出角，再求解． [解]　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1， 则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角． 设AB＝a，∵AA1与AC、AB所成的角均为60°， 且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos 30°＝eq \r(3)a. 又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝eq \r(2)a， ∴A1D1＝eq \r(2)a，∴A1 Deq \o\al(2,1)＋A1B2＝BDeq \o\al(2,1)，∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝eq \f(A1B,BD1)＝eq \f(a,\r(3)a)＝eq \f(\r(3),3)． 1．平移法作异面直线所成角的策略： (1)直接平移； (2)找等分点(如中点)平移； (3)补形平移． 2．求两条异面直线所成的角的一般步骤； (1)构造：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角或其补角； (2)证明：证明作出的角就是要求的角或其补角； (3)计算：求角度，常利用三角形求解； (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． [变式训练] 2. (1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　) A．30°　　　 B．45° C．60° D．90° (2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝2，E为BC的中点，BC＝2AE＝2eq \r(2)，则异面直线AE与A1C所成的角是________． 解析：(1)连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为异面直线B1C与EF所成的角或其补角． 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. (2)如图，取B1C1的中点E1，连接A1E1，E1C， ∵AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角或其补角． ∵A1C1＝A1B1＝AA1＝2，B1C1＝2eq \r(2)，∴∠B1A1C1＝90°. 在正方形AA1C1C中，A1C＝2eq \r(2)．∵A1E1⊥B1C1，A1E1⊥CC1，B1C1∩CC1＝C1，∴A1E1⊥平面BB1C1C，∴A1E1⊥CE1.∴在Rt△A1E1C中，cos∠E1A1C＝eq \f(A1E1,A1C)＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，∴异面直线AE与A1C所成的角是60°. 答案：(1)C　(2)60° 异面直线与三角形的综合 [例3]　 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq \r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． [思路点拨]　先做出角，然后把它放到可解的三角形中求解． [解]　取AC的中点F，连接EF和BF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF∥CD，∴∠FEB或其补角即为异面直线BE与CD所成的角． 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq \r(2)，∴AB＝AC＝1. 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，∴BE＝eq \f(\r(5),2)． 在Rt△AEF中，AF＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)，AE＝eq \f(1,2)，∴EF＝eq \f(\r(2),2)． 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq \f(1,2)，∴BF＝eq \f(\r(5),2)． ∴BE＝BF，∴△EBF是等腰三角形． ∴cos∠FEB＝eq \f(\f(1,2)EF,BE)＝eq \f(\f(\r(2),4),\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),10)． ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10)． 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． [变式训练] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M是棱CC1的中点，则异面直线BM与AC所成角的正弦值为(　　) A．eq \f(\r(10),5)　　 B．eq \f(3\r(10),10)　　 C．eq \f(\r(15),5)　 D．eq \f(\r(10),10) 解析：C　[如图所示， 取DD1中点N，连接AN，CN，AC，MN，取AC中点O，连接ON，则MN∥CD∥AB，MN＝CD＝AB，所以四边形ABMN是平行四边形，所以BM∥AN，所以∠NAC或其补角是异面直线BM与AC所成角，设正方体棱长为2，则AN＝CN＝eq \r(5)，AC＝2eq \r(2)， 在等腰△ANC中，O是AC中点，所以ON⊥AC，所以sin ∠NAC＝eq \f(ON,AN)＝eq \f (\r(AN2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))2),AN)＝eq \f(\r(3),\r(5))＝eq \f(\r(15),5)，即异面直线BM与AC所成角的正弦值为eq \f(\r(15),5)．] $