8.5.1 直线与直线平行-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

8.5　空间直线、平面的平行 8.5.1　直线与直线平行 第八章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.了解基本事实4和定理． 2．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系. 通过学习基本事实4和定理，培养数学抽象核心素养，在应用基本事实4和定理的过程中，提升直观想象、逻辑推理核心素养. [情境引入] 1．如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 提示　不一定．这两条直线可能相交、平行或异面． 2．同一平面内，一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．空间中是否有类似规律？ 提示　有．观察图形有∠AOB＝∠A′O′B′. [知识梳理] [知识点一]　直线与直线平行 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实4 平行于同一 条直线的两 条直线平行 a∥c，b∥c⇒ a∥b 作为证明空间中两条直线平行的依据 用此定理证明空间中两条直线a，b平行的步骤：(1)先找到直线c；(2)证明a∥c，同时b∥c； (3)得到a∥b. 证明两条直线平行还可以依据平行线的定义：平面内没有交点的两条直线为平行直线． 依据平行线的定义证明两条直线平行的步骤：(1)证明两条直线共面；(2)证明两条直线没有交点． [知识剖析] 基本事实4所表述的性质也叫作空间平行线的传递性，这是对初中所学的平行线的传递性内容的推广．注意并非所有对于平面图形成立的结论对于立体图形都成立． [知识点二]　空间等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 符号表示：已知∠AOB和∠A′O′B′，AO∥A′O′，BO∥B′O′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°，如图． [知识剖析] (1)此定理实质上由如下两个结论合成：①若一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． (2)此定理表明，把空间一角平移后，角的大小不变． (3)由这个定理可推出，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等． 1.基本事实4有什么作用呢？ 提示：可用于证明空间中两条直线平行，也可用于作空间中直线的平行线． 2．空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补呢？ 提示：观察两个角在空间中张口的相对方向，当方向相同时，两角相等；当方向相反时，两角互补． 3．两条相交直线与另两条相交直线对应平行，它们所成的锐角(或直角)相等吗？ 提示：相等． [预习自测] 1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为(　　) A．60° B．120° 　 C．30°　 D．60°或120° 解析：D　[由等角定理可知，β为60°或120°.] 2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，则这两个三角形(　　) A．全等　　　　　　　 B．相似 C．仅有一个角相等 D．无法判断 解析：B　[由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似．] 3．下列命题中，真命题有(　　) ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；’ ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 解析：B　[如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以①为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以③为假命题；②④是真命题．] 4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________． 解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC. 又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1. 答案：平行 5．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形． 证明　如图，连接AC. ∵M，N分别为棱CD，AD的中点，∴MN綊\f(1,2)AC.由正方体的性质可知AC綊A′C′，∴MN綊\f(1,2)A′C′，∴A′N与MC′相交， 即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′， ∴四边形MNA′C′是梯形． 平行线的传递性(基本事实4)的应用 [例1]　如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； (2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形． [思路点拨]　利用基本事实4转化． [证明]　(1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． (2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD. 因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF. 又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形． 证明两条直线平行的方法：(1)定义法，即在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线；(2)利用三角形的中位线平行于第三边这一性质；(3)利用基本事实4；(4)利用平行四边形的对边互相平行这一性质． [变式训练] 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1. 证明　如图．取BB1的中点G，连接GC1，GE. ∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F， ∴四边形BGC1F为平行四边形， ∴BF綊GC1. 又∵EG綊A1B1，A1B1綊D1C1，∴EG綊D1C1， ∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1.∴BF綊ED1. 空间等角定理及其应用 [例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．求证：∠EA1F＝∠E1CF1. [思路点拨]　等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情形都有可能． [证明]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，则BF＝A1M＝\f(1,2)AB.连接MF1，MB，F1C.∵BF∥A1M， ∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. ∵F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，∴F1M綊C1B1. ∵C1B1綊CB，∴F1M綊CB， ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴BM∥F1C. 又∵BM∥A1F，∴A1F∥F1C.取A1D1的中点N， 连接E1C，ND.同理得A1E∥CE1.∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且两边方向对应相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1. 证明角相等常用以下三种方法：(1)利用三角形相似；(2)利用三角形全等；(3)利用空间等角定理．根据等角定理证明两角相等的步骤：①证明两个角的两条边分别对应平行；②证明两个角的两条边的方向相同或者相反． [变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 证明　如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点，∴A1E1綊AE，∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1A綊E1E.又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B， ∴四边形E1EBB1是平行四边形．∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行，且方向相同，∴∠B1E1C1＝∠BEC. $