8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

8.4.2　 空间点、直线、平面之间的位置关系 第八章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养. [情境引入] 深夜的街道非常寂静．路口处只有几盏灯亮着，斑马线上无人走过． 问题　街道上斑马线所在直线都互相平行吗？ 提示　互相平行． [知识梳理] [知识点一]　空间中直线与直线的位置关系 1．异面直线 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作　异面直线　. 2．空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种：　相交、平行和异面　. (1)相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点 . (2)平行直线：在同一平面内，没有公共点 . (3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 . 3．空间中两条直线位置关系的分类 　空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： (1)从有无公共点的角度分类： 直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(两条直线有且仅有一个公共点：相交直线,两条直线无公共点\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(平行直线,异面直线)))) (2)从是否共面的角度分类： 直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(相交直线,平行直线)),不共面直线：异面直线)) 1.分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？ 提示： (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点． (2)“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其中的“任何”二字必不可少．不能把“不同在任何一个平面内”误认为“不同在某一平面内”．例如，图(1)中直线a⊂α，直线b⊄α，a∥b，不能因a，b不同在平面α内就误认为a与b异面．实际上，由a∥b知a与b共面． (3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的平面，而后者指的是分别在两个平面内确定的两条直线，这两条直线的位置关系不能确定．它们可能平行[如图(1)]，也可能相交[如图(2)]，还可能异面． 4．异面直线的画法 画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交的特点，通常用一个或两个平面衬托，以加强直观性，如图． [知识点二]　空间中直线与平面的位置关系 1．直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种： (1)直线在平面内——　有无数个公共点　； (2)直线与平面相交——　有且只有一个公共点　； (3)直线与平面平行——　没有公共点　. 当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为　直线在平面外　.直线a在平面α外可用a⊄α来表示． 2．空间中直线与平面位置关系的符号表示和图形表示 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2.怎样具体画直线与平面相交？ 提示：一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内，勿画在平行四边形外；直线a与平面α相交时，应画成直线与平面有一个公共点，被平面遮住部分画成虚线或者不画；直线与平面平行时，表示直线的线段应画成与表示平面的平行四边形的一条边平行． 3．直线和平面位置关系的分类 (1)按公共点个数分类： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线和平面相交——有且只有一个公共点,直线和平面平行——没有公共点,直线在平面内——有无数个公共点)) (2)按是否平行分类： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线与平面平行,直线与平面不平行\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线与平面相交,直线在平面内)))) (3)按直线是否在平面内分类： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线与平面平行, 直线在平面内直线不在平面内\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(直线与平面相交,直线在平面内)))) 3.如何判断一条直线在平面内呢？ 提示：利用基本事实1判断． 4．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”意义相同吗？ 提示：不同．前者包括直线与平面平行和直线在平面内两种情况，后者仅指直线与平面平行． [知识点三]　空间中平面与平面的位置关系　(重点) 1．两个平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： (1)两个平面平行——　没有公共点　； (2)两个平面相交——　有一条公共直线　. 2．平面与平面位置关系的图形表示和符号表示 位置关系 图形表示 符号表示 公共点情况 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝a 有一条公共直线 5.两个平面会只有1个交点吗？ 提示：根据基本事实3，若两个不重合的平面相交，则有一条公共交线，而不会只交于一点． 6．平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a和平面β的关系是什么？ 提示：a∥β.∵α∥β， ∴平面α与平面β无公共点． 又∵a⊂α，∴直线a与平面β无公共点， ∴a∥β. 3．两个平行平面的画法 　画两个平行平面时，注意要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图． 7.判断线面、面面位置关系的方法有哪些？ 提示：依据定义，判断线面、面面位置关系的方法是看公共点的个数：若线面没有公共点，则线面平行；若线面有且只有一个公共点，则线面相交；若线面有无数个公共点，则线在面内；若面面没有公共点，则面面平行；若面面有公共点，则面面相交． [预习自测] 1．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2(　　) A．是异面直线 B．是相交直线 C．是平行直线 D．可能是相交，或平行，或异面直线 解析：D　[构造长方体，令l3为一侧棱，可知选D.] 2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l(　　) A．平行　　　 B．相交 C．垂直 D．异面 解析：C　[若直线l∥平面α，则直线l不会和平面α内的任何直线相交，所以排除B. 若直线l与平面α相交，则直线l不会和平面α内的任何直线平行，所以排除A. 若直线l⊂平面α，则直线l和平面α内的任何直线都是共面直线，所以排除D.] 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是(　　) A．三条交线为异面直线 B．三条交线两两平行 C．三条交线交于一点 D．三条交线两两平行或交于一点 解析：D　[三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线两两平行或交于一点．如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是互相平行的；但有时三条交线交于一点，如长方体的三个相邻的面两两相交，交线交于一点，此点就是长方体的顶点．] 4．给出下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b； ②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，，则a与b平行或异面； ④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交． 其中正确的是________．(将你认为正确的说法的序号都填上) 解析：分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点，所以可能平行，也可能异面，所以③正确；④中a与β也可能平行． 答案：③ 5.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的位置关系并证明你的结论． 解：a∥b，a∥β证明如下： 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ， 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ， ∵α∥β，a⊂α，b⊂β.∴a，b无公共点． 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点． 又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 空间中两直线位置关系的判定 [例1]　如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱和中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)． [思路点拨] [解析]　如题干图①中，GH∥MN. 图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面． 图③中，连接GM，GM∥HN，因此，GH与MN共面． 图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面． 所以图②，④中GH与MN异面． [答案]　②④ 判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交． (2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α则AB与l是异面直线(如图)． [变式训练] 1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________； (4)直线AB与直线B1C的位置关系是________． 解析： 序号 结论 理由 (1) 平行 因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C (2) 异面 A1B与B1C不同在任何一个平面内 (3) 相交 D1D∩D1C＝D1 (4) 异面 AB与B1C不同在任何一个平面内 答案：(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面 直线与平面的位置关系 [例2]　下列说法中，正确的有(　　) ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面． A．0个　 B．1个　　 C．2个　　 D．3个 [思路点拨]　利用定义进行判断，为提高准确性，可选择适当的载体． [解析]　B　[如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以②正确；对于③显然有无数条；而④，也有可能相交，所以错误．] 直线与平面位置关系的判断 (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决． 另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点． [变式训练] 2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？ (1)AM所在的直线与平面ABCD； (2)CN所在的直线与平面ABCD； (3)AM所在的直线与平面CDD1C1； (4)CN所在的直线与平面A1B1C1D1. 解：(1)∵A∈平面ABCD，M∉平面ABCD，∴AM所在的直线与平面ABCD相交． (2)∵C∈平面ABCD，N∉平面ABCD，∴CN所在的直线与平面ABCD相交． (3)因为在正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AM⊂平面ABB1A1，所以AM所在的直线与平面CDD1C1平行． (4)因为CN所在的直线与平面ABCD相交，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以CN所在的直线与平面A1B1C1D1相交． 平面与平面的位置关系 [例3]　以下四个命题中，正确的命题有(　　) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行； ④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交． A．③④ B．②③④　 C．②④　 D．①④ [思路点拨]　作出图形或选择适当的几何体，根据平面与平面之间位置关系的定义作出判断． [解析]　A　[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．] 平面与平面的位置关系的判断方法 (1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点． (2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点． [变式训练] 3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　) A．平行　　　　 B．相交 C．平行或相交 D．垂直 解析：C　[根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系．如图所示．] $