8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

8．3.2　 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第八章 立体几何初步 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第八章 立体几何初步 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式． 2．知道球的表面积和体积计算公式． 3．能用公式解决简单的实际问题. 通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养. [情境引入] 　我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，线段由点构成，点的多少表示线段的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它． 问题　同一摞硬币，当改变摆放的形式时，这摞硬币的体积是否会改变？如何计算柱体的体积？ 提示　不会改变；柱体的体积是底面积乘以高． [知识梳理] [知识点一]　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形．如图，设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则这个矩形的长等于圆柱底面的周长C＝2πr，宽等于圆柱的母线长l，于是可得S圆柱侧＝Cl＝2πrl. (2)圆柱的表面积：圆柱的表面积等于它的两个底面面积与侧面积的和，即S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形．如图①，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长C＝2πr，半径等于圆锥的母线长l，于是可得S圆锥侧＝eq \f(1,2)Cl＝πrl. (2)圆锥的表面积：圆锥的表面积等于它的底面面积与侧面积的和，即S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 3．圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环．如图②，设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，上、下底面圆周长分别为2πr′，2πr，于是可得S圆台侧＝π(r′＋r)l. (2)圆台的表面积：圆台的表面积等于它的侧面积与上下底面面积的和，即S圆台表＝π(r′＋r)l＋πr′2＋πr2＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)． 推导过程：设小圆锥的母线长为l′，则eq \f(l′,l)＝eq \f(r′,r－r′)，所以l′＝eq \f(r′,r－r′)·l，所以大圆锥的母线长为l′＋l＝eq \f(r,r－r′)·l，所以圆台的侧面积S侧＝πr(l′＋l)－πr′l′＝πeq \f(r·r,r－r′)·l－πr′·eq \f(r′,r－r′)·l＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r－r′)－\f(r′2,r－r′)))·l＝π(r＋r′)l. 所以圆台的表面积S＝S底＋S侧＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)． [知识点二]　圆柱、圆锥、圆台的体积 1．圆柱、圆锥、圆台的高 (1)圆柱的高：两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)圆锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (3)圆台的高：两个底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线．这点与垂足(垂线与下底面的交点)之间的距离． 2．圆柱的体积 圆柱的体积：底面半径为r，高为h的圆柱的体积是V圆柱＝πr2h＝Sh(S为底面积)． 综上可知，柱体的体积公式是V柱体＝Sh，其中S为底面面积，h为柱体高． 3．圆锥的体积圆锥的体积：底面半径为r，高为h的圆锥的体积是V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积)． 4．圆台的体积 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别为r′，r，高为h，那么它的体积公式是V圆台＝eq \f(1,3)(S＋eq \r(SS′)＋S′)h＝eq \f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h. 1.棱柱、棱锥、棱台的体积之间有何关系？ 提示：通过比较棱柱、棱锥、棱台的体积公式，可以得到如下结论： V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)； V锥体＝eq \f(1,3)Sh(S为底面积，h为锥体高)； V台体＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)． 当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式． [知识点三]　球的表面积和体积 1．球的表面积 半径为R的球的表面积是S＝4πR2. 2．球的体积 半径为R的球的体积V＝eq \f(4,3)πR3. 2.球的表面是曲面吗？ 提示：(1)球的表面是曲面，不能在一个平面上展开，即使是球面上任意小的一块，也不能在一个平面上展开，因此球没有展开图． (2)依据此函数关系，已知球的半径可求球的表面积，已知球的表面积可求球的半径． (3)球的表面积之比为其半径比的平方． 球的体积是对球体所占空间的大小的度量，只与半径R有关，是以半径R为自变量的函数． 半径为R的球的体积为V＝eq \f(4,3)πR3. 3．球的体积与半径的关系如何？ 提示：(1)球的体积是关于其半径的三次函数． (2)根据此函数关系，已知球的半径可求球的体积，已知球的体积可求球的半径． (3)球的体积之比为其半径比的立方． [预习自测] 1．若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为(　　) A．2π　　 B．3π　　　 C．π　　　 D．4π 解析：D　[由题知圆柱的底面半径r＝1，母线长l＝2，则它的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π.故选D.] 2．若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 解析：B　[由题意，得圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为2π，则该圆锥的侧面积为eq \f(1,2)×2π×2＝2π.] 3．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为(　　) A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 解析：B　[设大铁球的半径为R cm，则有eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×(eq \f(6,2))3＋eq \f(4,3)π×(eq \f(8,2))3＋eq \f(4,3)π×(eq \f(10,2))3，解得R＝6.] 4．若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为eq \r(3)a，则这个圆台的体积为________． 解析：圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝eq \r(3)a，可知∠ADB＝90°。分别过点D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝eq \f(\r(3),2)a，所以HB＝eq \r(BD2－DH2)＝eq \r(3a2－\f(3,4)a2)＝eq \f(3,2)a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积为V＝eq \f(1,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a2＋\f(1,2)a2＋a2))·eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(7\r(3),24)πa3. 答案：eq \f(7\r(3),24)πa3 5．已知一圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比． 解：如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，圆锥母线长为l，则有eq \f(r,R)＝ eq \f(R－r,R)，即eq \f(r,R)＝eq \f(1,2)，∴R＝2r，l＝eq \r(2)R. ∴eq \f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq \f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq \f(4πr2,4\r(2)πr2＋4πr2)＝eq \f(4πr2,4\r(2)＋1πr2)＝eq \f(1,\r(2)＋1)＝eq \r(2)－1. 圆柱的表面积与体积 [例1]　(1)已知圆柱的轴截面的面积为S，则圆柱的侧面积为________． (2)底面直径为2的圆柱，被一平面所截，截得的几何体中，最短的母线长为2，最长的母线长为4，求此几何体的体积． [思路点拨]　利用公式直接求解． [解析]　(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝S，S侧＝2πrh＝πS. (2)将此几何体补接一个同样的几何体，得到母线长为6的圆柱．∴V＝eq \f(1,2)×π×1×6＝3π. [答案]　(1)πS　(2)3π 对于圆柱，关键抓住底面半径和母线及轴截面来寻找各量的关系． [变式训练] 1．若圆柱的底面面积为S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是(　　) A．4πS　　 B．2πS　　　 C．πS　　　 D.eq \f(2\r(3),3)πS 解析：A　[设圆柱的底面半径为r，则πr2＝S，母线l＝2πr，S侧＝(2πr)2＝4π2r2＝4πS.] 圆锥的体积与表面积 [例2]　如图所示，△ABC中的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，则以AB边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S为________． (2)如图，BD是边长为3的正方形ABCD的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________． [思路点拨]　先判断旋转一周后所得到的几何体的构成部分，然后再利用公式求解． [解析]　(1)在△ABC中，作CD⊥AB交AB于点D(如图)，则AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∴CD＝eq \f(12,5). 那么以△ABC的AB边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r＝eq \f(12,5)，母线长分别是3,4， ∴S＝πr(AC＋BC)＝π×eq \f(12,5)×(3＋4)＝eq \f(84,5)π. (2)对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，所以V＝π·32·3－eq \f(1,3)·π·32·3＝18π. [答案]　(1)eq \f(84,5)π　(2)18π 求圆锥的体积和表面积涉及的关键量是底面半径、高和母线． [变式训练] 2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq \r(3)，则这个圆锥的表面积等于________． 解析：设圆锥的底面圆的直径为a，则圆锥母线长为a，由题意得eq \f(\r(3),4)a2＝eq \r(3)，a＝2，所以圆锥底面半径为1，圆锥的表面积＝π·12＋π·1×2＝3π. 答案：3π 圆台的体积与表面积 [例3]　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，AD＝2，CD＝2eq \r(2)，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． [思路点拨]　四边形eq \o(――→,\s\up7(绕AD所在),\s\do5(直线旋转))圆台、圆锥组合体―→利用公式求解． [解]　由∠ADC＝135°，得∠EDC＝45°. 又因为CD＝2eq \r(2)，所以ED＝CE＝2. 因为AB＝5，AE＝AD＋DE＝4， 所以BC＝eq \r(AB－CE2＋AE2)＝5. 所以几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆台侧＋S圆台下底面 ＝π·CE·CD＋π(CE＋AB)·BC＋π·AB2 ＝π×2×2eq \r(2)＋π(2＋5)×5＋π×52 ＝(4eq \r(2)＋60)π. V圆锥＝eq \f(1,3)π×CE2·DE＝eq \f(8,3)π. V圆台＝eq \f(1,3)π×4(4π＋eq \r(4π×25π)＋25π)＝52π. V＝V圆台－V圆锥＝52π－eq \f(8,3)π＝eq \f(148,3)π. 要分清台体的体积公式与上、下底面积的表达关系，常因公式记错而解错问题． [变式训练] 3．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？ 解：如图设圆台的上底面圆的周长为c，因为扇环的圆心角是180°， 所以c＝π·SA. 又c＝2π×10＝20π， 所以SA＝20. 同理SB＝40. 所以AB＝SB－SA＝20. 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 所以圆台的表面积为1 100π cm2. 球的表面积与体积 [例4]　若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为(　　) A.eq \r(2)∶2　　 B．2∶1 C.eq \r(5)∶2 D．3∶2 (2)若三个球的表面积之比为1∶4∶9，则这三个球的体积之比为________． [思路点拨]　(1)先设出圆锥与球的各相关量，然后根据题中的两个等量关系求各相关量的关系，再求圆锥侧面积与球的表面积之比． (2)先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比． [解析]　(1)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)πr2h＝\f(4,3)πR3，,r＝2R，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(R＝h.,r＝2h，)) ∴l＝eq \r(r2＋h2)＝eq \r(5)h， ∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×eq \r(5)h＝2eq \r(5)πh2，S球＝4πR2＝4πh2， ∴eq \f(S圆锥侧,S球)＝eq \f(2\r(5)πh2,4πh2)＝eq \f(\r(5),2). 故圆锥侧面积与球的表面积之比为eq \r(5)∶2. (2)设三个球的半径分别为R1，R2，R3， ∵三个球的表面积之比为1∶4∶9， ∴4πReq \o\al(2,1)∶4πReq \o\al(2,2)∶4πReq \o\al(2,3)＝1∶4∶9，即Req \o\al(2,1)∶Req \o\al(2,2)∶Req \o\al(2,3)＝1∶4∶9， ∴R1∶R2∶R3＝1∶2∶3， ∴V1∶V2∶V3＝eq \f(4,3)πReq \o\al(3,1)∶eq \f(4,3)πReq \o\al(3,2)∶eq \f(4,3)πReq \o\al(3,3)＝Req \o\al(3,1)∶Req \o\al(3,2)∶Req \o\al(3,3)＝1∶8∶27. [答案]　(1)C　(2)1∶8∶27 对于球的表面积公式S＝4πR2及球的体积公式V＝eq \f(4,3)πR3，一定要记准、记牢．计算球的表面积或体积的关键是确定球的半径R.一般来说，题中不会直接给出球的半径，而是将其隐藏在某些条件中．解题过程中，一定要注意 [变式训练] 4．已知三个球的半径分别为R1，R2，R3，且满足R1＋2R2＝3R3，则 (1)它们相应的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是________； (2)它们相应的体积V1，V2，V3满足的等量关系是________． 解析：(1)因为S1＝4πReq \o\al(2,1)，所以R1＝eq \r(\f(S1,4π))＝eq \f(\r(S1),2\r(π))，同理可得R2＝eq \f(\r(S2),2\r(π))，R3＝eq \f(\r(S3),2\r(π)).由R1＋2R2＝3R3，得eq \r(S1)＋2eq \r(S2)＝3eq \r(S3). (2)由V1＝eq \f(4,3)πReq \o\al(3,1)，得R1＝eq \r(3,\f(3V1,4π))＝eq \f(\r(3,3)\r(3,V1),\r(3,4π))， 同理可得R2＝eq \r(3,\f(3V2,4π))＝eq \f(\r(3,3)\r(3,V2),\r(3,4π))，R3＝eq \r(3,\f(3V3,4π))＝eq \f(\r(3,3)\r(3,V3),\r(3,4π))， 由R1＋2R2＝3R3，得eq \r(3,V1)＋2eq \r(3,V2)＝3eq \r(3,V3). 答案：(1)eq \r(S1)＋2eq \r(S2)＝3eq \r(S3) (2)eq \r(3,V1)＋2eq \r(3,V2)＝3eq \r(3,V3) 球的切、接问题 [例5]　(1)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为eq \r(6)，则这个半球的体积为________． (2)已知三棱锥P－ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，则三棱锥P－ABC的内切球的表面积为________． [思路点拨]　通过切点或接点转化为平面问题求解． [解析]　(1)方法一　过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为eq \r(6)，所以CC′＝eq \r(6)，OC＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(6)＝eq \r(3). 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC′2，即(eq \r(6))2＋(eq \r(3))2＝R2，所以R＝3.故V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3＝18π. 方法二　将其补成球和内接长方体，设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体外接球的直径等于其对角线长，得(2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，即4R2＝6a2，所以R＝eq \f(\r(6),2)a＝3. 故V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3＝18π. (2)由题意，设三棱锥P－ABC的内切球的半径为r，球心为O，则V三棱锥P－ABC＝V三棱锥O－PAB＋V三棱锥O－PAC＋V三棱锥O－PBC＋V三棱锥O－ABC，即eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×r×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×r＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(5－\f(1,2))×r，解得r＝eq \f(1,4). 故内切球的表面积为4πr2＝eq \f(π,4). [答案](1)18π　(2)eq \f(π,4) 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．对于球与旋转体的组合，通常作出它们的轴截面来解题；对于球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图解题．在球的截面中，常利用球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离组成的直角三角形计算其中的未知量来解题． [变式训练] 5．张衡(78年～139年)是中国东汉时期杰出的天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家，他的数学著作有《算罔论》．张衡给立方体定名为质，给球体定名为浑．他研究过球的外切立方体体积和内接立方体体积，研究过球的体积，其中还定圆周率值为10的开平方，直到五百多年后，印度和阿拉伯的数学家才得出这个数值．现有棱长为6eq \r(10)的正方体，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为________． 解析：设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，由a＝2r，求得半径，再代入球的体积公式求解．设正方体的棱长为a，内切球的半径为r，则a＝2r，因为a＝6eq \r(10)，所以r＝3eq \r(10)，又π＝eq \r(10)，所以球的体积为V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)×eq \r(10)×(3eq \r(10))3＝3 600. 答案：3 600 $