6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

第四课时　 余弦定理、正弦定理的应用举例 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解决简单的实际问题，提升数学建模素养．通过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培养数学运算素养. [情境引入] 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要用到解三角形的相关知识． 问题　解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 提示　测量距离，测量高度，测量角度等． [知识梳理] [知识点一]　测量中的有关概念 (1)测量中的常见角 名称 意义 图示 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小　正角　。 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的　锐角　. 仰角与 俯角 在同一铅垂平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角． 设坡角为α，坡度为i，则i＝eq \f(h,l)＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比. 1.方向角和方位角是同一个概念吗？ 提示　(1)方向角是从指定方向线到目标方向线的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角． (2)坡度和坡比 坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比． 2.利用正(余)弦定理解应用题常忽略的问题有哪些？ 提示　(1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知(原始)数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． [知识点二]　解三角形应用题的常见步骤 实际问题eq \o(――→,\s\up7(抽象概括),\s\do5(　))解三角形问题eq \o(――→,\s\up7(推理演算)) 三角形问题的解eq \o(――→,\s\up7(还原说明),\s\do5(　))实际问题的解 [预习自测] 1．某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的(　　) A．北偏西35°　　　 B．北偏东55° C．南偏西35° D．南偏西55° 解析：D　根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以点B在点A的南偏西55°.] 2．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10eq \r(3) n mile B．eq \f(10\r(6),3) n mile C．5eq \r(2) n mile D．5eq \r(6) n mile 解析：D　[在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq \f(BC,sin 60°)＝eq \f(10,sin 45°)， 解得BC＝5eq \r(6) n mile.] 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是________ m. 解析：设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq \r(3)x；在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得(eq \r(3) x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m. 答案：500 4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________ m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得 AB＝eq \f(ADsin ∠ADB,sin ∠ABD)＝eq \f(1 000sin 150°,sin 15°)＝500(eq \r(6)＋eq \r(2))(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(eq \r(3)＋1)(m)． 答案：500(\r(3)＋1) 5．某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？ 解：画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得cos C＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(23,31)，则sin2C＝1－cos2C＝eq \f(432,312)，∴sin C＝eq \f(12\r(3),31) (负值舍去)．∴sin ∠MAC＝sin (120°－C)＝sin 120° cos C－cos 120°·sin C＝eq \f(35\r(3),62)．在△MAC中，由正弦定理，得MC＝eq \f(ACsin∠MAC,sin ∠AMC)＝eq \f(31,\f(\r(3),2))×eq \f(35\r(3),62)＝35(千米)，从而有MB＝MC－BC＝15(千米)． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 测量距离问题 [例1] 如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°. 求：(1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． [思路点拨]　如图：(1)由∠BDA＝60°，利用正弦定理计算AD. (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD. [解]　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝eq \f(ABsin B,sin∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24. (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°， 解得CD＝8\r(3)．即C处与D处的距离为8eq \r(3) n mile. 1．日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解决，常有两种情况： (1)测量从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．(如图所示) (2)测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB. 2．解三角形应用问题的四个步骤 [变式训练] 1.如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12 nmile的水面上的B处，有蓝方一艘小艇正以每小时10 nmile的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇立即以每小时14 nmile的速度，沿北偏东(45°＋α)方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？ 解：设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 结合题意：易得∠ABC＝120°，AC＝14x，BC＝10x，BC＝12，在△ABC中，利用余弦定理：(14x)2＝122＋(10x)2－2×12×10xcos 120°，解得：x＝2，或x＝－eq \f(3,4)(舍去)． ∴红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要2小时． 测量高度问题 [例2]　《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下．在远近有端，与于光，故景库内也．”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述．如图为一次小孔成像实验，若物距：像距＝6∶1，OA＝OB＝12，cos∠A′OB′＝\f(23,32)，则像高为________． [思路点拨]　根据图形，把已知和所求分别放置在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系起来，由正(余)弦定理解决． [解析]　由cos∠A′OB′＝eq \f(23,32)，则cos∠AOB＝eq \f(23,32)， 又OA＝OB＝12，则AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OB×eq \f(23,32)＝288－2×12×12×eq \f(23,32)＝81，即AB＝9， 又物距∶像距＝6∶1，则A′B′＝eq \f(1,6)×AB＝eq \f(3,2)，即像高为eq \f(3,2)． [答案]　 eq \f(3,2) 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不同的三角形． [变式训练] 2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求另一山高MN. 解：根据图示，AC＝100eq \r(2)m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得eq \f(AC,sin 45°)＝eq \f(AM,sin 60)⇒AM＝100eq \r(3)m. 在Rt△AMN中，eq \f(MN,AM)＝sin 60°， ∴MN＝100eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝150(m)． 测量角度问题 [例3]　如图，甲船以每小时30\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10eq \r(2)海里．问：乙船每小时航行多少海里？ [思路点拨]　构造三角形，把已知和未知放到三角形中，利用正(余)弦定理求解． [解]　如图，连接A1B2由已知A2B2＝10eq \r(2)，A1A2＝30eq \r(2)×eq \f(20,60)10eq \r(2)， ∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10eq \r(2)． 由已知，A1B1＝20，在△A1B2B1中，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 由余弦定理得B1Beq \o\al(2,2)＝A1Beq \o\al(2,1)＋A1Beq \o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10eq \r(2))2－2×20×10eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝200， ∴B1B2＝10eq \r(2)．因此，乙船的速度为eq \f(10\r(2),20)×60＝30eq \r(2) (海里/时)． 解决测量角度问题的注意点 (1)明确方位角和方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [变式训练] 3．如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为eq \f(BC,2)＝14(海里/时)． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq \f(3\r(3),14)． $