6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 1.经历用向量方法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 3．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法，向量方法解决几何问题的“三步曲”. [情境引入] 我们从求合力、分力等中引入向量的线性运算，从求功中引入向量的数量积运算，反之，我们也可以用向量来解决物理中的这些问题． 平面几何中的平行与向量共线密切相关，平面几何中的垂直、角度、距离与向量数量积密切相关，因此，我们可以用向量作为工具，解决平面几何中的这些问题． 通过本课时的学习，我们要体会向量的工具性作用，体会如何将物理、几何问题转化为向量问题，并加以解决． [知识梳理] [知识点一]　向量在平面几何中的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)证明直线平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：　a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)　. (2)证明直线垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： 　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0　(其中a，b为非零向量)． 1.两直线平行、两直线垂直应转化为向量的什么问题来证明？ 提示：两直线平行应转化为向量的共线问题，两直线垂直应转化为两向量的垂直问题． (3)求夹角问题，若向量a与b的夹角为θ，则求夹角的余弦公式： cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(其中a，b为非零向量)． (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模长公式：|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)〔其中a＝(x，y)〕或|AB|＝|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)〔其中A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)〕． (5)对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决几何问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [知识点二]　向量在物理中的应用 向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积的物理背景．因此，利用向量可以解决一些物理问题． 1．向量在物理中的应用 (1)向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上． 2.有两个力F1、F2作用在质点A上，F1的大小是5 N，F2的大小是3 N，则F1、F2作用在A上的合力是8 N吗？应如何求合力，合力的大小与什么有关？ 提示：合力的大小不一定是8 N，应用向量的平行四边形或三角形法则求合力，合力的大小与力F1与F2的夹角有关． (2)向量与速度、加速度及位移 速度、加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标运算来处理． (3)向量与功、动量 力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ，(θ为F和s的夹角)．动量mv实际上是数乘向量． 2．用向量讨论物理学中相关问题的步骤 (1)问题的转化：把物理问题转化成数学问题． (2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获取：求出数学模型的解． (4)问题的答案：回到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象． [预习自测] 1．在△ABC中，若(eq \o(CA,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→)))·(eq \o(CA,\s\up13(→))－eq \o(CB,\s\up13(→)))＝0，则△ABC为(　　) A．正三角形　　　　　 B．直三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定 解析：C　[∵(eq \o(CA,\s\up13(→))＋eq \o(CB,\s\up13(→)))·(eq \o(CA,\s\up13(→))－eq \o(CB,\s\up13(→)))＝0， ∴eq \o(CA,\s\up13(→))2－eq \o(CB,\s\up13(→))2＝0，eq \o(CA,\s\up13(→))2＝eq \o(CB,\s\up13(→))2. ∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形．] 2．在平行四边形ABCD中，下列关系式不正确的是(　　) A.eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→)) B.eq \o(DB,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))－eq \o(AD,\s\up13(→)) C．|eq \o(AC,\s\up13(→))|2＋|eq \o(DB,\s\up13(→))|2＝2(|eq \o(AB,\s\up13(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up13(→))|2) D．|eq \o(AC,\s\up13(→))|＝|eq \o(AB,\s\up13(→))|＋|eq \o(AD,\s\up13(→))| 答案：D 3．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路为s km，位移为|a| km，则 A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析：A　[路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.] 4．若向量eq \o(OF1,\s\up13(→))＝(2,2)，eq \o(OF2,\s\up13(→))＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则合力F1＋F2的大小是________． 答案：5 5．某质点在力F＝(2,1)的作用下，由A(1,1)运动到B(2,3)，求力F对质点做的功． 解：∵A(1,1)，B(2,3)，∴位移eq \o(AB,\s\up13(→))＝(1,2)． ∴力F对质点做的功为W＝F·eq \o(AB,\s\up13(→))＝2×1＋1×2＝4. 用向量解决平面几何中的平行垂直问题 [例1]　(1)如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF. [思路点拨]　要证明HG∥EF，由向量共线定理知，只需证明eq \o(FE,\s\up13(→))＝λeq \o(HG,\s\up13(→))(λ≠0)． (2)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. [思路点拨] (1)解析：∵eq \o(DG,\s\up13(→))⊥eq \o(BE,\s\up13(→))，eq \o(AE,\s\up13(→))⊥eq \o(BE,\s\up13(→))，∴eq \o(GD,\s\up13(→))∥eq \o(AC,\s\up13(→)). 设eq \o(OA,\s\up13(→))＝λeq \o(OD,\s\up13(→))(λ≠0)，则eq \o(AE,\s\up13(→))＝λeq \o(DG,\s\up13(→)).同理eq \o(AF,\s\up13(→))＝λeq \o(DH,\s\up13(→)). 于是eq \o(FE,\s\up13(→))＝eq \o(AE,\s\up13(→))－eq \o(AF,\s\up13(→))＝λ(eq \o(DG,\s\up13(→))－eq \o(DH,\s\up13(→)))＝λeq \o(HG,\s\up13(→))， ∴eq \o(HG,\s\up13(→))∥eq \o(FE,\s\up13(→))，即HG∥EF. (2)解析：(方法一)　设eq \o(AD,\s\up13(→))＝a，eq \o(AB,\s\up13(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0， 又eq \o(DE,\s\up13(→))＝eq \o(DA,\s\up13(→))＋eq \o(AE,\s\up13(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BF,\s\up13(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up13(→))·eq \o(DE,\s\up13(→))＝(b＋eq \f(a,2))·(－a＋eq \f(b,2))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0. 故eq \o(AF,\s\up13(→))⊥eq \o(DE,\s\up13(→))，即AF⊥DE. (方法二)　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \o(AF,\s\up13(→))＝(2,1)，eq \o(DE,\s\up13(→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up13(→))·eq \o(DE,\s\up13(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以eq \o(AF,\s\up13(→))⊥eq \o(DE,\s\up13(→))，即AF⊥DE. 向量可以解决直线(线段)的平行、垂直、夹角、距离(长度)等问题．解决的关键是顺利把几何中的元素转化为向量，常用方法有坐标法和几何法，用坐标法注意坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底的选取． [变式训练] 1.如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC. 证明：设Aeq \o(B,\s\up13(→))＝c，Aeq \o(C,\s\up13(→))＝b，Aeq \o(D,\s\up13(→))＝m，则Beq \o(D,\s\up13(→))＝Aeq \o(D,\s\up13(→))－Aeq \o(B,\s\up13(→))＝m－c， Ceq \o(D,\s\up13(→))＝Aeq \o(D,\s\up13(→))－Aeq \o(C,\s\up13(→))＝m－b. ∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2， ∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2， 即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2， ∴2m·(c－b)＝0，即2Aeq \o(D,\s\up13(→))·(Aeq \o(B,\s\up13(→))－Aeq \o(C,\s\up13(→)))＝0， ∴Aeq \o(D,\s\up13(→))·Ceq \o(B,\s\up13(→))＝0，∴AD⊥BC. 利用向量证明线段相等 [例2]　如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长度． [思路点拨]　此题是求线段长度的问题，可以转化为求向量的模． [解]　设eq \o(AD,\s\up13(→))＝a，eq \o(AB,\s\up13(→))＝b，则eq \o(BD,\s\up13(→))＝a－b，eq \o(AC,\s\up13(→))＝a＋b. 而|eq \o(BD,\s\up13(→))|＝|a－b|＝eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)，∴|eq \o(BD,\s\up13(→))|2＝5－2a·b＝4∴2a·b＝1. ∴|eq \o(AC,\s\up13(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝5＋2a·b＝6.∴|eq \o(AC,\s\up13(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6). 在平面几何中求线段的长度问题，转化到向量中就是求向量的模的问题，因此可适当构造向量，利用向量知识求解．利用向量求线段长度的关系有两种方法：(1)待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求线段比例关系；(2)建立平面直角坐标系，设定端点坐标，利用向量坐标表示求线段长度的关系． [变式训练] 2．已知AD为△ABC的中线，求证：AD2＝eq \f(1,2)(AB2＋AC2)－(eq \f(BC,2))2. 证明：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图．设A(a，b)，B(0,0)，C(c,0)，则D(eq \f(c,2)，0)，|eq \o(AD,\s\up13(→))|2＝(eq \f(c,2)－a)2＋(0－b)2＝eq \f(c2,4)－ac＋a2＋b2，eq \f(1,2)(|eq \o(AB,\s\up13(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up13(→))|2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(BC,\s\up13(→))|,2)))2＝eq \f(1,2)[a2＋b2＋(c－a)2＋b2]－eq \f(c2,4)＝a2＋b2－ac＋eq \f(c2,4)，从而|eq \o(AD,\s\up13(→))|2＝eq \f(1,2)(|eq \o(AB,\s\up13(→))|2＋|eq \o(AC,\s\up13(→))|2)－(eq \f(|\o(BC,\s\up13(→))|,2))2，即AD2＝eq \f(1,2)(AB2＋AC2)－(eq \f(BC,2))2. 用向量法解物理问题 [例3] 已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) [思路点拨]　物理中的矢量主要有力、速度、位移，一般求功、动量，前面的三种只需根据它们的运算特征作出几何图形，即可利用向量求解，功是向量的数量积． [解]　如图所示，设木块的位移为s，则 WF＝F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×eq \f(\r(3),2)＝500eq \r(3)(J)． 将力F分解，它在垂直方向上的分力F1的大小为 |F1|＝|F|sin 30°＝50×eq \f(1,2)＝25 N， 所以，摩擦力f的大小为 |f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即F和f所做的功分别为500eq \r(3) J和－22 J. 先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关系，然后把物理量转化为向量求解，具体应用中一般涉及力、位移、速度等量的合成与分解，要充分借助三角形或平行四边形法则来运算． [变式训练] 3．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250 m，河水的速度为向东2eq \r(3) km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250eq \r(3) m的码头C处卸货．若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6 km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少？ 解：如图所示： AB＝250 m＝0.25 km，BC＝250eq \r(3) m＝eq \f(\r(3),4) km，tan∠CAB＝eq \f(BC,AB)＝eq \r(3)⇒∠CAB＝eq \f(π,3)⇒∠CAD＝eq \f(5π,6)，设合速度为v，小货船航行速度为v1，水流的速度为v2， 则有v1＋v2＝v⇒v1＝v－v2，所以有|v1|＝|v－v2|＝eq \r(v－v22)＝eq \r(v2＋v\o\al(2,2)－2v·v2)＝ eq \r(36＋12－2×6×2\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))))＝2eq \r(21). $