6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 向量的加、减运算的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 2．掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 在学习过程中，借助平面直角坐标系，通过学习平面向量的正交分解、坐标表示及两个向量加、减运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养. [情境引入] 三坐标雷达亦称三维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息．这使其成为对飞机引导作战的关键设备．此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示．平面向量的坐标有何运算规律呢？这就是本节要学习的内容． 问题　平面向量的坐标有何运算规律？ 提示　两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积；一个向量的坐标等于其终点坐标减去始点坐标． [知识梳理] [知识点一]　平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为　两个互相垂直　的向量，叫作把向量正交分解． 2．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个　单位向量　i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标． 3．向量的坐标表示 在向量a的直角坐标中 ，　x　叫作a在x轴上的坐标，　y　叫作a在y轴上的坐标，　a＝(x，y)　叫作向量的坐标表示． 显然，i＝　(1,0)　，j＝　(0,1)　，0＝　(0,0)　. 1.相等的向量的坐标一定相同吗？不相等的向量的坐标一定不同吗？ 提示：根据平面向量的基本定理，平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，即是说平面内的一个向量a，有且只有一个坐标(x，y)，故相等向量的坐标一定相同，不相等向量的坐标一定不同． [知识点二]　平面向量运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的运算律，可得a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j. 1．a＋b＝　(x1＋x2，y1＋y2)　.即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．a－b＝　(x1－x2，y1－y2)　.即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．如图，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))－eq \o(OA,\s\up13(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．即eq \o(AB,\s\up13(→))＝　(x2－x1，y2－y1)　.即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标． 2.向量的坐标就是表示向量的有向线段的终点坐标吗？两向量的位置不同，坐标就不同吗？ 提示：当向量的起点在坐标原点，向量的坐标就是其终点的坐标，否则不是．两向量的位置不同，但只要两向量是相等向量，坐标就相同，若不是相等向量，则坐标不同． [预习自测] 1．M(1,3)，N(－2,1)，则eq \o(MN,\s\up13(→))的坐标是(　　) A．(－3,2)　　　　　　 B．(3，－2) C．(－3，－2) D．(－2，－3) 答案：C 2．向量eq \o(OA,\s\up13(→))＝(x，y)(O为原点)的终点A位于第二象限，则有(　　) A．x>0，y>0 B．x>0，y<0 C．x<0，y>0 D．x<0，y<0 解析：C　[∵eq \o(OA,\s\up13(→))＝(x，y)，∴A(x，y)． 又点A在第二象限，∴x<0，y>0.] 3.如图所示，{e1，e2}为单位正交基，则向量a，b的坐标分别是(　　) A．(3,4 )，(2，－2) B．(2,3)，(－2，－3) C．(2,3)，(2，－2) D．(3,4)，(－2，－3) 解析：C　[根据平面直角坐标系，可知a＝2e1＋3e2，b＝2e1－2e2，∴a＝(2,3)，b＝(2，－2)．] 4．已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________． 解析：∵a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 5．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \o(AC,\s\up13(→))＝(－4，－3)，则向量eq \o(BC,\s\up13(→))＝________. 解析：∵Aeq \o(C,\s\up13(→))＝Oeq \o(C,\s\up13(→))－Oeq \o(A,\s\up13(→))， ∴Oeq \o(C,\s\up13(→))＝Aeq \o(C,\s\up13(→))＋Oeq \o(A,\s\up13(→))＝(－4，－3)＋(0,1)＝(－4，－2)， Beq \o(C,\s\up13(→))＝Oeq \o(C,\s\up13(→))－Oeq \o(B,\s\up13(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 平面向量的坐标表示 [例1]　如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B，D的坐标和eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AD,\s\up13(→))的坐标． [思路点拨]　先将向量正交分解，把它们分解为横纵坐标的形式，然后写出相应的坐标． [解]由题意知，点B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin 30°＝eq \f(1,2)，x2＝cos 120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2)，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). ∴eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标． (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． [变式训练] 1.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标． 解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)， 则a1＝|a|cos 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2). a2＝|a|sin 45°＝2×eq \f(\r(2),2)＝eq \r(2)， b1＝|b|cos 120°＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq \f(3,2)， b2＝|b|sin 120°＝3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),2)， c1＝|c|cos (－30°)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)， c2＝|c|sin (－30°)＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2. 因此a＝(eq \r(2)，eq \r(2))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，c＝(2eq \r(3)，－2)． 平面向量加、减运算的坐标表示 [例2] 如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标． [思路点拨]　利用向量的平行四边形法则，先计算eq \o(BD,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))，再求eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→)). [解]　如图，由向量加法的平行四边形法则可知 eq \o(BD,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→))＝[－2－(－1)，1－3]＋[3－(－1)，4－3]＝(3，－1) eq \o(OD,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→))＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)．所以顶点D的坐标为(2,2)． 1．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则eq \o(AB,\s\up13(→))＝(xB－xA，yB－yA)． 2．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差．“两个向量相等，则它们的坐标相同”，解题中主要应用了方程的思想与数形结合思想． [变式训练] 2．已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，试用坐标来表示eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))和eq \o(AD,\s\up13(→))－eq \o(CD,\s\up13(→)). 解：eq \o(AD,\s\up13(→))＝(－3,5)，eq \o(BD,\s\up13(→))＝(－4,2)，eq \o(CD,\s\up13(→))＝(－5,1)， ∴eq \o(AD,\s\up13(→))＋eq \o(BD,\s\up13(→))＋eq \o(CD,\s\up13(→))＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)． ∴eq \o(AD,\s\up13(→))－eq \o(CD,\s\up13(→))＝(－3,5)－(－5,1)＝(2,4)． 向量坐标运算的综合应用 [例3]　已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))，试求t为何值时： (1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上； (3)点P在第四象限． [思路点拨]　设出点P的坐标为(x，y)，利用eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))列方程组用t表示P的坐标(x，y)，再利用点P所在的位置求t的值或范围 [解]　设点P的坐标为(x，y)，则eq \o(OP,\s\up13(→))＝(x，y)， ∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(4t,5)－(1，t)＝(4t－1,5－t)， ∴eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))－eq \o(AB,\s\up13(→))＝(1，t)－(4t－1,5－t)＝(2－4t,2t－5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2－4t,y＝2t－5)). (1)若点P在x轴上，则y＝2t－5＝0，t＝eq \f(5,2)； (2)若点P在y轴上，则x＝2－4t＝0，t＝eq \f(1,2)； (3)若点P在第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－4t>0，,2t－5<0，))解得t<eq \f(1,2). 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的． [变式训练] 3．已知点A(λ，3)，B(5,2λ)(λ∈R)，C(4,5)．若eq \o(AP,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))，试求λ为何值时， (1)点P在一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 解：设点P的坐标为(x，y)， 则eq \o(AP,\s\up13(→))＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)， 又∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝(5,2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)， eq \o(AC,\s\up13(→))＝(4,5)－(λ，3)＝(4－λ，2)， ∴eq \o(AP,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－λ＝9－2λ,y－3＝2λ－1))，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝9－λ,y＝2λ＋2))， (1)若P在一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝eq \f(7,3). (2)若P在第一象限内，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9－λ>0,2λ＋2>0))，∴－1<λ<9. ∴λ＝eq \f(7,3)时，点P在一、三象限角平分线上； －1<λ<9时，点P在第一象限内． $